Archiv autora: Rudolf Klusal

Vztah matematiky a fyziky

Nemohli jste si zajisté nepovšimnout, že mezi různými podobory přírodních věd panuje taková přirozená a neškodná nevraživost. Dnes bych se chtěl podívat na jeden skoro už fenomén — vztah matematikyfyziky. Alespoň tedy vnést svoji kapku pohledu do tohoto sporu.

Že nevíte, kde je spor? Normálně bych ho též neviděl, ale existují mezi námi jedinci, kteří to prostě vidí jinakza každou cenu obhajují své teze, i když už se zdají býti vyvrácené. V žádném případě to neznamená, že by dotyční byli nějací hlupáci či popletenci — to vůbec ne. Já nemám nejmenšího důvodu si něčeho takového o nich myslet, dokonce se s těmito lidmi znám a vím, že jsou to “bedny”, kteří by byli schopni mě a hromadu dalších lidí, kteří se zajímají o fyziku, strčit hravě do kapsy.

Jsou však témata, na kterých se s nimi prostě neshodnu — a přijde mi, že je toto téma, které zde chci uvést, tak často omíláno, až si prostě svůj vlastní miničlánek zaslouží.

Princip samotného sporu

Nejde o nic závažného: Lidé, se kterými nesouhlasím, tvrdí následující:

  • matematika má oporu v realitě
  • => matematika se musí řídit zákony “reality” (či toho, co za realitu považujeme)

To je vlastně celé. Že to vypadá triviálně? No, ono až tak není. Začněme nyní rozborem základní myšlenky “opozičního tábora”[1]od teď již OT.

Tito tvrdí, že matematika vznikla jako “odnož fyziky”[2]https://www.facebook.com/jan.fikacek/posts/789843034384241?comment_id=790072417694636&offset=0&total_comments=22, tedy musí se těmito zákony řídit. Já si myslím trošku něco jiného — nicméně k mému názoru až později. Jak to s matematikou a fyzikou ve starověku bylo, to přenechám historikům a odborníkům, kteří vědí zdaleka více než-li já. Ať už to bylo jakkoliv, historie tohoto nemá totiž na současné pojetí matematiky prakticky žádný vliv.

Současná matematika je — abych to zjednodušil — abstraktní vědou, takovou, která je schopna čistého důkazu[3]Jiná věda nic takového neumí — i třeba má oblíbená fyzika. Pokud chcete něco dokázat ve fyzice, buď použijete matematiku, anebo provedete experiment, který potvrdí to, co tvrdíte. V ostatních vědních oborech je to podobné.. Dalo by se tedy říci, že má mnohem blíže např. k filosofii než k fyzice. Často tvrdím, že matematika je jazykem abstraktních struktur, což neznamená nic jiného, že dává ostatním vědám a oborům návod a struktury, pomocí kterých už tyto vědy mohou řešit své problémy.

Nepůjdu zrovna daleko pro příklad — a uvedu ten nejjednodušší, který mě právě napadl: Komunitativnost členů při sčítání. Toto neříká nic jiného než že:

$$ x + y + z = x + z + y = y + x + z = y + z + x = z + x + y = z + y + x $$

Tedy slovně asi tolik, že pokud sčítám, naprosto nezávisí na pořadí členů v součtu. Tedy že \(5+10\) je totéž, co \(10+5\). Matematika jde však ještě dál — má definováno, co je to sčítání, co je to “pětka”, co je to “desítka”, k ničemu z toho nepotřebuje nic fyzického, definuje takové věci pouze na základě čistých matematických[4]a tedy abstraktních pravidel, která jsou zase dále definována. Není potřeba ani fenomenologického přístupu[5]Tedy takového, který zkoumá narozdíl od přičinné kauzálnosti právě fenomenologickou, tedy takovou, která řeší jakým způsobem “se jeví” dané věci člověku, než spíše jaké “doopravdy jsou.” Samozřejmě oba pojmy jsou naprosto abstraktní a pokud se tomu chcete věnovat, doporučuji další studium, zde již ne více o tom 🙂 , matematika totiž vytváří vlastní sadu pravidel — a ta nevznikla z ničeho jiného než z dalších sad pravidel.

Matematika jako jazyk struktur

Co tímto myslím — pokračujme dále v tom, co jsem již představil, tedy komutativnost při sčítání. Matematikovi je naprosto jedno, co se pod číslicemi či proměnnými skrývá. Pouze poskytl pravidlo k tomu, aby “se to tak mohlo dělat”.

Fyzik například potřebuje spočítat nějakou rovnici, uvedu třeba následující známou rovnici (kdo pozná, co vyjadřuje, má u mě Fidorku, počet Fidorek je omezený kapacitou zásob, tj. maximálně 1 kus) 😀 :

$$ i \hbar \frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar}{2m} \nabla^2 \Psi(r, t) + V( r )\Psi(r,t)$$

A zákon o komutativnosti tvrdí, že tuto rovnici můžu zapsat stejně tak jako:

$$ i \hbar \frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t} = V( r )\Psi(r,t) – \frac{\hbar}{2m} \nabla^2 \Psi(r, t) $$

Aniž bych třeba tušil, co výše zmíněné znamená, mohu to takto zapsat. Matematika tedy pouze poskytla návod na to, jak něco takového řešit, jak k tomu přistupovat — je to tedy čistě abstraktní strukturální jazyk.

S tím však OT nemají problém, jejich problém nastává v momentě, co se začneme pohybovat v “čistě matematických” vodách[6]Ono je toto stejně absurdní pojem, i komutitavita součtu je čistě abstraktní a matematický pojem, který nemá žádnou oporu v ostatních vědách, pouze ji využívají., například pokud začneme řešit nulynekonečna.

Nebudu se rozepisovato  tom, že existuje spousta “typů” nekonečna (navíc nejsem matematik a nejsem si jist, že bych to byl schopen správně popsat), nicméně to důležité, co si odnést — nekonečno není číslo! Ať už máme jakoukoliv úroveň nekonečna, pořád to není číslo.

A stejně tak i nekonečně malé číslo není vlastně číslo, i když se velmi nekonečně jemně blíží k nule. Ano, jde mi o zápisy diferenciálů. Např.:

$$ \frac{\partial s}{\partial t} = v$$

Případně obyčejné:

$$ \int_{x_0}^{x_1} F \mathrm{d}s = W$$

Velmi jednoznačné fyzikální vyjádření, které pouze využilo matematiku. To, že je za tím schovaný výpočet aktuální rychlosti či práce po obecné dráze, to už matematika nezajímá 😉 Matematik v tom vidí pouze abstraktní pojmy, proměnné, chcete-li.

Zde se však s OT neshoduji. OT tvrdí, že cokoliv v matematice má nějaký reálný (či tzv. reálný) podklad — tedy nic jako \(\mathrm{d}s\) nemůže existovat, protože neexistuje (hypoteticky, i když pravdu neznáme) nic menšího než Planckova vzdálenost (což je pojem, který vytáhneme z rovnice s planckovou konstantou a zjistíme, že nemůžeme mít menší vzdálenost než právě tuto vzdálenost). Jak říkám — jestli je to pravda nevíme, nicméně i kdyby to pravda byla, vůbec to nemění nic na tom, jak k tomu matematika přistupuje.

A jak k tomu matematika přistupuje? VŮBEC NIJAK, protože matematika neřeší fyzikální problémy! Matematice je jedno, že něco vynásobím nulou či budu se přibližovat “nekonečně dlouho”. Matematika tyto věci prostě a jednoduše neřeší.

Stejně tak matematika neřeší biologické problémy, mohl bych říci, že v DNA se párují nějaké páry tak či onak, proto nemůže existovat posloupnost taková či onaká (toto vám spíše vysvětlí kolega biolog Lukáš). A opět — matematiku to nezajímá 😉

Matematika totiž stojí “mimo” tyto věci (chtěl bych napsat “nad”, ale nemyslím tím, že je ostatním vědám nadřazená, stejně jako pokud řeknu “operace nad součtem”, nemyslím tím, že je tato operace nařazena součtu) a řeší pouze to, jakým způsobem spolu mohou abstraktní entity spolupracovat. Co se však v nich nachází, to už není ke zjištění úlohou matematika, ale ostatních — fyziků, biologů, …

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. od teď již OT
2. https://www.facebook.com/jan.fikacek/posts/789843034384241?comment_id=790072417694636&offset=0&total_comments=22
3. Jiná věda nic takového neumí — i třeba má oblíbená fyzika. Pokud chcete něco dokázat ve fyzice, buď použijete matematiku, anebo provedete experiment, který potvrdí to, co tvrdíte. V ostatních vědních oborech je to podobné.
4. a tedy abstraktních
5. Tedy takového, který zkoumá narozdíl od přičinné kauzálnosti právě fenomenologickou, tedy takovou, která řeší jakým způsobem “se jeví” dané věci člověku, než spíše jaké “doopravdy jsou.” Samozřejmě oba pojmy jsou naprosto abstraktní a pokud se tomu chcete věnovat, doporučuji další studium, zde již ne více o tom 🙂
6. Ono je toto stejně absurdní pojem, i komutitavita součtu je čistě abstraktní a matematický pojem, který nemá žádnou oporu v ostatních vědách, pouze ji využívají.

Limity

Naprosto zákaldní matematickou znalostí jsou limity — ať už pro pochopení derivací či integrací, tak často i pro pochopení některých průběhů funkcí.

Zápis limity

Limita má specifický matematický zápis, naprosto obecně vypadá např. takto:

$$ \lim_{x\to L} f(x) $$

Tento zápis nám doslova říká “vezměte \(x\) a nastavujte mu tak velkou hodnotu, aby se co nejblíže přiblížila k hodnotě \(L\) a sledujte při tom, co funkce závislá na \(x\) dělá.”

Několik příkladů k úplnému pochopení:

$$ \lim_{x\to 0} x = 0$$

To je snad jasné — pokud budu \(x\) přibližovat nule, potom se… \(x\) bude přibližovat nule 🙂 Přitvrdíme…

$$ \lim_{x\to 0} 15x = 0$$

Zde samozřejmě platí totéž, co výše — i kdybych to násobil libovolným reálným číslem, pořád budu mít výsledek nulový. Prostřednictvím limit však můžeme zapisovat i výrazy, které bychom jinak v matematice nazvali jako “chybné” či “nedávající smysl”. Nula zapsaná “s plusem” znamená, že se k dotyčné nule postupně přibližuji zprava, tedy z kladnější části číselné osy — proto plus. U druhého znaménka to platí přesně opačně.

$$ \lim_{x\to0^+} \frac{1}{x} = \infty $$

$$ \lim_{x\to0^-} \frac{1}{x} = -\infty $$

nevlastních limit[1]to jsou takové, které nemají “normální” výsledek můžeme takto tvrdit, že výsledek tzv. roste nade všechny meze. Podobně (přesně inverzně) to platí i u vlastních limit v nevlastním bodě:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

Limitní aritmetika

Když teď už víme, jak fungují limity, můžeme se podívat na pár příkladů, které se v praxi často objevují. Začněme polynomem:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{2x^3 – 6x^2-145x + 17}{3x^3 – 2x^2 – 6} $$

Pokud bychom měli určovat třeba vlastnosti tohoto polynomu, budeme hledat kořeny rovnice v čitateli, kořeny rovnice ve jmenovateli, abychom omezili dělení nulou a podobně. Nicméně tady nás zajímá jediné — jak se bude daný výraz chovat, pokud \(x\) budeme zvětšovat až k nekonečnu.

Nyní však musíme udělat drobnou odbočku a ukázat si pár elementárních znalostí — např. jak se budou chovat různé poměry a zlomky limitně:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

To už známe. Nicméně pokud zde bude takovýto poměr?

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x}{x} = ?$$

Víme, že dělit nulu nulou, stejně jako nekonečno nekonečněm (což je vlastně totéž, pokud mluvíme o limitách), je trošku nekošer, co se matematiky týče. Ale hleďte! Zde se řeší limity, zde nám věci, jako že bude mít polynom ve jmenovateli nulu, vlastně nevadí! Můžeme tedy dotyčný zlomek s klidným svědomím zkrátit a vyjde:

 $$ \lim_{x\to \infty} \frac{x}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{1} = 1$$

Vyřadili jsme tím “ze hry” tedy jakékoliv \(x\) a výsledek na něm vůbec nezávisí. A co třeba následující?

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x^n}{x^n} $$

Můžeme prostě pokrátit stejně, jako v případě výše, výsledek je tedy opět jednička. Případně můžeme rozložit na :

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x^n}{x^n} = \lim_{x\to \infty} \frac{x}{x} \frac{x^{n-1}}{x^{n-1}} $$

a takto to řešit do nekonečna 😉 S stejně tak logicky odvodíme, že:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{nx}{mx}$$

bude rovno \(\frac{n}{m}\) — protože “cokoliv” krát jedna je “cokoliv” 😉

Zkusme nyní další případ:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{x} = ?$$

V matematice (ono i ve fyzice, ale v matematice obzvlášť) platí, že pokud neznáte řešení komplexního problému, dekomponujte ho na řadu “menších” problémů, které nezávisle řešit umíte. Což můžeme udělat i zde. Výše uvedené tedy můžeme přepsat jako součin:

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x\to \infty} x \frac{x}{x}$$

Druhý zlomek už řešit umíme, to víme, že je \(1\), takže:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x\to \infty} x = \infty$$

Vidíme tedy, že pokud je v čitateli vyšší mocnina než ve jmenovateli, zlomek vystřelí do nekonečných výšin. A co pokud je to opačně? Samozřejmě už správně tušíte:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

Je to prosté! 🙂 Vraťme se nyní tedy k našemu původnímu příkladu:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{2x^3 – 6x^2-145x + 17}{3x^3 – 2x^2 – 6} $$

A rozepišme si zlomek na 3 zlomky:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{2x^3 – 6x^2-145x + 17}{3x^3 – 2x^2 – 6} = $$

$$ = \lim_{x\to \infty} \frac{2x^3}{3x^3 – 2x^2 – 6}  + \lim_{x\to \infty} \frac{ – 6x^2}{3x^3 – 2x^2 – 6} + \lim_{x\to \infty} \frac{-145x}{3x^3 – 2x^2 – 6} +\lim_{x\to \infty} \frac{17}{3x^3 – 2x^2 – 6} $$

Když se nyní podíváme na poslední tři limity, už vidíme, kam směřují — řekli jsme, že pokud je mocnina čitatele menší než jmenovatele, zlomek bude limitovat k nule. Můžeme tedy velmi snadno všechny tyto tři limity položit rovny nule a zbyde tak pouze zlomek se stejnou mocninou.

A co jsme si dále ukázali — že limita \(\frac{x^n}{x^n}\) je rovna jedné! Čili rovnou krásně vidíme, že výsledek limity bude \(\frac{2}{3}\).

Zajímavé poměry

U polynomu je tedy snad už jasné, nicméně pojďme se podívat na další “moc hezké” limity. Například tato:

$$ \lim_{x\to0} \frac{\sin(x)}{x}$$

Podíváme-li se na graf takové funkce, vidíme (chceme vidět), že limita bude rovná jedničce. Graficky tedy můžeme toto tvrdit, nicméně, jak to doopravdy spočítat?

Na pomoc si vezmeme tzv. L’Hospitalovo pravidlo, tedy pravidlo, které říká následující:

$$ \lim_{x\to0}\frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \lim_{x\to0}\frac{f_1^\prime(x)}{f_2^\prime(x)}$$

Tedy že limita poměru funkcí je limitou poměru derivací těchto funkcí. O derivacích si můžete přečíst v článku o kinematice, zde tedy použiji pouze rychlou derivaci:

$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)^\prime}{x^\prime} = \lim_{x\to0}\frac{\cos(x)}{1}$$

A to už je snané — budeme-li do \(\cos(x)\) za \(x\) dosazovat nulu, bude se cosinus blížit k jedničce. Ve jmenovateli máme jedničku — výsledný poměr je tedy jednička 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. to jsou takové, které nemají “normální” výsledek

Nekonečná rychlost pohybu světla při použití rotačního laseru

Kamarád (Pavel Kachlíř) se mě zeptal, jestli je možné, že zobrazení laseru na kruhové podložce může být rychlejší, než \(c\), pokud budu laserem dostatečně rychle hýbat. Použil k tomu následujícího situačního obrázku:

Rychlá odpověď — ano, průmět laseru se může pohybovat rychlostí \(> c\). Nicméně nyní proč:

Uvažujme samzořejmě (pro zjednodušení), že rychlost šíření laseru je právě \(c\), tedy rychlost světla. Samozřejmě si dokážeme představit, že z dotyčného situačního obrázku se intuitivně dokážeme dostat do stavu, kdy aniž by se laser pohyboval rychlostí větší než \(c\), jeho obrázek se takovou rychlostí pohybovat může.

Celý problém tkví v tom, co nám říká relativita[1]STR — speciální teorie relativity — stručně řečeno, že žádná informace, částice či předmět obecně se nemůže pohybovat rychlostí, která by dosáhla rychlosti \(c\), tedy že jakákoliv rychlost pohybu v prostoru musí být \(v < c\). Rychlost \(c\) je tedy nedosažitelná.

Překresleme si trošku sitauční plánek, využijme úhlové rychlosti a rychlosti pohybu:

Začněme tedy jednoduše — mějme takovouto situaci, kdy ve středu kruhu máme laser, který se otáčí nějakou rychlostí \(\omega\):

laser výchozí stav

Další důležitou informací pro nás bude poloměr kruhu, v našem případě tedy \(r\):laser poloměr

A nyní se ptáme: Jak závisí doba přenosu laseru ze středu soustavy na okraj? Odpověď přece známe — víme, že:

$$s = v t$$

čili

$$t_{\phi} = \frac{s}{v} = \frac{r}{c}$$

Protože se jedná o kruh, tato doba bude stále konstantní, ať už bude laser natočený kamkoliv.

Nyní si napišme rovnici:

$$\phi =  A \sin \left(\omega t + \phi_0\right)$$

Kde \(\omega t\) je úhlová rychlost pohybu, \(A\) je amplituda, tedy \(r\) a \(\phi_0\) je nějaký fázový posuv, který v našem případě bude záviset na \(t_{\phi}\), které jsme si vyjádřili výše.

Jak ale závisí? Víme, že doba, kterou signál (paprsek) potřebuje na uražení vzdálenosti laser–obvod bude \(t_\phi\), čili než tam signál doletí, laser se otočí o \(\omega t_\phi\). Čímž máme jasně daný fázový posuv a můžeme psát:

$$ \phi = r \sin \left(\omega t + \omega \frac{r}{c}\right)$$

Musíme však uvažovat, že signál se bude zpožďovat a ne předbíhat, musíme tedy psát:

$$ \phi = r \sin \left(\omega t – \omega \frac{r}{c}\right) $$

Pokud si za \(\omega\) nyní dosadíme takovou frekvenci, kdy by se změna \(\frac{\phi}{t}\) měla odehrávat rychleji, než \(c\), nic se nestane 😉 Bude docházet samozřejmě k fázovému zpoždění, ale samotné zobrazení (projekce) světla laseru se může zdánlivě pohybovat \(v>c\).

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. STR — speciální teorie relativity

Dopplerův jev

V tomto krátkém článku odvodíme rovnici dopplerova jevu, resp. tedy budeme zkoumat změnu vlnové délky (a frekvence) zvukového či obecného signálu v závislosti na pohybu posluchače a zdroje signálu.

Určitě jste s projevy Dopplerova jevu[1]dále jen DJ empiricky seznámeni; jedoucí vozidlo, vlak, sanitka, policisté — pokud se přibližují, jejich zvukový projev “zní výše”, než pokud jedou směrem “od vás”. Pojďme se nyní lehce podívat na závislosti těchto jevů, z čeho plynou a jaké jsou vlastnosi DJ.

Základní vzorečky, ze kterých vyjdeme:

Pevně věřím, že následující vztahy jsou pouhým opakováním, nicméně pro jistotu je uvedu:

  • Závislost dráhy \(s\), rychlosti \(v\) a času \(t\):
    $$\begin{array}{}s & = & v\cdot t\\ v & = & \frac{s}{t}\\ t & = & \frac{s}{v}\end{array}$$
  • Závislost frekvence \(f\), rychlosti \(v\) a vlnové délky \(\lambda\):
    $$\begin{array}{}\lambda & = & v\cdot \frac{1}{f} \\ f & = & v \cdot \frac{1}{\lambda}\end{array}$$
  • Závislost frekvence \(f\) a doby kmitu \(T\):
    $$f = \frac{1}{T}$$

Odvození pro lineární pohyb

Abychom odvození správně pochopili, musíme jít “od nejjednoduššího” případu a postupně přidávat další jevy. Takto je postupně budeme nabalovat, až tomu budeme vlastně rozumět celému 🙂 Takže hurá do toho!

Stacionární posluchač, pohyblivý zdroj zvuku

Začněme tím nejjednodušším. Eliminujeme všechny možné případy do jediného — kdy se po ose \(x\) pohybuje nějaký zdroj signálu rychlostí \(v_s\), my jako posluchači stojíme na konstantním místě \(x_p\). Budeme zkoumat vlastnosti zvukového projevu, když se náš předmět bude přibližovat a posléze oddalovat.

Jakou rychlostí se šíří zvuk? Nazvěme tuto rychlost \(c\) — stejně, jako rychlost šíření světla ve vakuu. Nyní však tato konstanta znamená rychlost šíření zvuku ve vzduchu (či tam, kde jsme jako posluchači). Dále víme, že zvukový zdroj vydává zvuk o konstantní vlnové délce \(\lambda\). Co to vlastně \(\lambda\) je? Vlnová délka není opravdu nic jiného než “divná délka” — délka, která vyjadřuje vzdálenost mezi dvěma na sebe zobrazitelnými body z dané křivky, která vlastnost vlnové délky má. Např. u klasické “sinusovky” můžeme počítat vlnovou délku jako vzdálenost mezi dvěma “kopečky” (amplitudami).

Pro představu — máme např. zvuk o frekvenci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a rychlost šíření zvuku ve vzduchu je zhruba \(340\ m\cdot s^{-1}\). Z toho snadno vypočítáme vlnovou délku:

$$\lambda = c \cdot \frac{1}{f} = 340 \cdot \frac{1}{1000} = 34\ \mathrm{cm}$$

Nyní si však uvědomme, co se stane během “jedné” takové vlnové délky. Při pohyblivém zdroji zvuku se mezitím zdroj posune o určitou vzdálenost, nazvěme ji nyní třeba \(x_d\). Jak velká bude tato vzdálenost?

Víme, že jedna vlna trvá \(T = \frac{1}{f}\) a dále víme, že \(s = v \cdot t\), v našem případě tedy \(s = v_s \cdot T\). Stejně tak můžeme psát “pro frekvence”, že pokud \(f = \frac{c}{\lambda_s}\), tak že \(T=\frac{1}{T_s} = \frac{\lambda_s}{c}\).

Pokud tedy \(x_d = v_s \cdot T_s\), potom \(x_d = v_s \frac{\lambda_s}{c}\). Index “s” značí, že počítáme s proměnnými, které popisují “zdroj signálu”. Jen pro přehlednost, aby byl pořádek v proměnných.

Pokud se tedy zdroj signálu přibližuje, vlnová délka se bude zkracovat, konkrétně:

$$\lambda_{p} = \lambda_s – x_d = \lambda_s – v_s\frac{\lambda_s}{c}$$

Můžeme tedy vyjádřit \(\lambda_p\):

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) $$

Případně pro frekvence:

$$ f_p = \frac{c}{\lambda_p} = \frac{c}{\lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c}\right)}$$

Nyní tedy praktický příklad: Představme si, že máme výše zmíněnou frekvenci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a zdroj se bude přibližovat rychlostí \(10\ \mathrm{ms^{-1}}\), potom:

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) = 0.34 \left( 1 – \frac{10}{340} \right) = 0.33\ \mathrm{m} = 33\ \mathrm{cm}$$

Vyjádříme-li to tedy frekvenčně, frekvence přibližujícího se zvuku bude:

$$ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{340}{0.33} = 1030\ \mathrm{Hz}$$

Jak takové dva zvuky zní za sebou si můžete poslechnout zde:

Případně si můžete stáhnout zvuk zde: 1000Hzvs1030Hz

Kontrolní výpočet dostaneme tak, že pokud dosadíme za \(v_s=c\), vidíme, že závorka se pak vynuluje a vyjde “nulová vlnová délka” (tedy nekonečná frekvence). Samozřejmě v reálu se nic takového nestane, ale vidíme, že vzorec v takovém případě nedává smysl — a to je správný stav.

Všechny ostatní případy, tedy kdy se posluchač pohybuje či kdy se pohybují současně posluchač i zdroj, se dají převést na tento model. Ostatní závislosti si tak můžete zkusit odvodit sami.

V příštím článku se podíváme na odvození těchto frekvencí pro obecný pohyb, tzn. takový, kdy se zdroj signálu nepřibližuje přímo k vám, ale bude vás míjet. Vytvoříme tedy funkci frekvence či vlnové délky v závislosti na vzájemné poloze. Ale to až zase příště, tak hezký den! 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. dále jen DJ

Entropie a termodynamické zákony

V článku o odvození rovnice ideálního plynu jsme nakousli několik termodynamických zákonitostí, nicméně bylo by dobré, abychom se na termodynamiku podívali i trochu obecněji a do hloubky.

Rovnici idálního plynu jsme si již odvodili, nyní však pro připomenutí:

$$PV=nRT$$

kde \(P\) odpovídá tlaku plynu, \(V\) jeho objemu, \(n\) molárnímu množství plynu, \(R\) je plynová konstanta a \(T\) odpovídá teplotě plynu.

Dále využijeme 1. termodynamického zákona, který nám stručně říká, že změna vnitřní energie nějaké soustavy odpovídá součtu změn práce a přijatého tepla, tedy[1]Další informace kupříkladu na http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/581-prvni-termodynamicky-zakon :

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}w + \mathrm{d}q$$

 Využijme těchto znalostí při prohlídce obyčejného pístu a válce:

píst bez popisků

 Zeleně je zobrazen nějaký (ideální) plyn, šedivě potom píst, černé jsou kontury. Představme si nyní situaci, kdy plyn trošku “přimáčkneme”:

píst síla a vzdálenost

Pokud budeme působit nějakou silou \(F\) na danou plochu \(A\), víme, že tvoříme nějaký tlak, konkrétně tedy \(P = \frac{F}{A}\). Taktéž víme, že práce \(w\) odpovídá síle \(F\) po nějaké dráze \(l\), tedy \(W = F \cdot l\).

Budeme-li se zajímat pouze o drobnou změnu práce, tedy \(\mathrm{d}w\), poté můžeme psát:

$$\mathrm{d}w = F \cdot \mathrm{d}l$$

 Výše jsme si řekli, že \(P = \frac{F}{A}\), tedy \(F = P A\), můžeme tedy dosadit:

$$\mathrm{d}w = P A \cdot \mathrm{d}l$$

Nu a do jsme se učili už na základní škole o ploše a výšce? Vynásobíme-li je, dostaneme objem! Takže vzhůru do toho:

$$\mathrm{d}w = P \cdot \mathrm{d}V$$

Správněji tedy \(\mathrm{d}w = {- P} \cdot \mathrm{d}V\), protože \(\mathrm{d}l\) zde objem snižuje a ne zvyšuje (tedy správně bychom od začátku měli psát \({-\mathrm{d}l}\), ale je doufám jasné, kde se vzalo. Také vidíme důležitý závěr: Pokud se nezmění objem, není práce[2]Zde by to chtělo podotknout, že mluvíme samozřejmě o fyzikální práci. Takže pokud jste nezaměstnaní a zhubnete, práci nedostanete 🙂 .

 První termodynamický zákon tedy můžeme přepsat jako:

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}q – P \mathrm{d}V$$

Můžeme tedy tvrdit, že energie je funkcí teploty a objemu[3]Proč ne tlaku? Tlak je totiž definován pomocí těchto dvou veličin (není to nezávislá veličina). Proto tedypouze teplota a objem.:

$$u = f(T, V)$$

 konkrétněji tedy:

$$\mathrm{d}u = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V} \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_{T} \mathrm{d}V $$

To znamená, že změna energie se dá popsat jako parciální derivace energie vzhledem k teplotě, pokud zachováme konstantní objem, krát změna teploty, plus parciální derivace energie vzhledem k objemu, pokud zachováme konstantní teplotu, krát změna objemu.

Nicméně — podívejme se nyní na druhou část zlomku. Pokud je objem konstantní, poté \(\mathrm{d}V\) je nulové (změna \(V\) je nulová), proto nám tedy celá druhá část zlomku vypadne a můžeme psát:

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}q + \mathrm{d}w = \mathrm{d}q + 0 = \mathrm{d}q = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V} \mathrm{d}T$$

Poslední části “před” \(\mathrm{d}T\), tedy \(\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V} = C_V\) říkáme tepelná kapacita při konstantním objemu. Tedy:

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}q = C_V \mathrm{d}T$$

To vše jsme si definovali, abychom si mohli definovat následující termín:

Entropie

Než tak však učiníme, definujme si ještě tzv. entalpii. Označíme ji velkým písmenem \(H\) a bude pro ni platit[4]Více informací: http://scienceworld.wolfram.com/physics/Enthalpy.html:

$$ H = u + P V $$

Entalpie je tedy funkcí teploty a tlaku, tedy \(H = f(T, P)\). Podle prvního termodynamického zákona[5]dále jen TZ1 jsme si ukázali:

$$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}q + \mathrm{d}w = \mathrm{d}q – P \mathrm{d}V$$

Můžeme tedy trošku popřeházet písmenka, aby:

$$ \mathrm{d}u + P \mathrm{d}V = \mathrm{d}q$$

a tedy

$$ \mathrm{d} (u+PV) = \mathrm{d}q $$

čili

$$ \mathrm{d}H = \mathrm{d}q $$

Vidíme, že tedy entalpie je funkcí teploty a tlaku, tedy \(H(T,P)\). A můžeme samozřejmě opět vytvořit parciální derivace:

$$ \mathrm{d}H = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_T \mathrm{d}P = \mathrm{d}q$$

Nu a opět, pokud uvažujeme konstantní tlak, celé \(\mathrm{d}P\) bude nulové, čili:

$$ \mathrm{d}H = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P \mathrm{d}T = \mathrm{d}q$$

Části \(\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P\) říkáme tepelná kapacita při konstantním tlaku. A můžeme si (po přeházení písmenek) ukázat, že:

$$ \mathrm{d}q = C_p \mathrm{d}T$$

Shrňme si nyní, co víme: Víme \(C_p\), \(C_V\), známe vzorec pro entalpii. Zkusme si s ním nyní trošku pohrát:

$$ H = u + PV $$

$$ \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p + \left(\frac{\partial PV}{\partial T}\right)_p $$

Vidíme, že pokud bychom derivovali (parciálně) při konstantním tlaku, poslední část, kde bychom derivovali i tlak samotný, by se převedla na \(\left(\frac{P \mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_p\), tedy:

$$ \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p + \left(\frac{P \mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_p $$

Vrátíme-li se na chvilku zpět k rovnici ideálního plynu, tedy \(PV = nRT\), pokud trošku přeházíme písmenka a vyjádříme jako diferenciály:

$$ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} = \frac{nR}{P} $$

Pro zjednodušení předpokládejme, že \(n=1\), čili:

$$ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} = \frac{R}{P} $$

a tedy

$$ \frac{P \mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} = R $$

Vidíme, že to je to, co nám vyšlo výše jako jeden z členů součtu — můžeme tedy dosadit do vzorce výše to, co už známe:

$$ C_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p + R $$

Nicméně abychom “minimalizovali” i tento vzorec, museli bychom mít konstantní jinou veličinu. Pokud máme konstantní tlak, tak změna objemu podle teploty není to, co  by se nám zrovna hodilo. Ale už jsme “skoro” tam, musíme akorát udělat malý trik. Využijeme “řetězového zákona”[6]Nevím, jak to lépe přeložit, každopádně další informace o tom zde: http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product_rule.. A ten nám neříká nic jiného, že naši parciální derivaci při konstantním tlaku můžeme rozepsat následovně:

$$ \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V + \left[\left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_T\right] \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p $$

Podívejme se nyní na třetí závorku, resp. druhou, jdeme-li od rovnítka vpravo (zvýraznil jsem ji hranatými závorkami). Ta operuje se změnou energie při konstantní teplotě. Nicméně výše jsme si řekli, že pokud je konstantní teplota, nejde žádná energie dovnitř ani ven[7]Tzn. jedná se o dokonalý stroj, který převádí tepelnou energii na energii pohybu pístu třeba — sice je to ideální zařízení, ale nám se to teď dost hodí.. Změna energie je tedy nulová — čímž i součin je nulový a celá poslední část vzorce “vypadne”.

Položíme proto rovnost:

$$ \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V $$

čímž si značně zjednodušíme práci s výrazem výše. Můžeme totiž poslední část nazvat \(C_V\), čili tepelnou kapacitu při konstantním objemu. A tedy samozřejmě pak platí, že:

$$ C_p = C_V + R $$


Podívejme se nyní, co tedy již víme:

$$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}q + \mathrm{d}w = \mathrm{d}q + p\mathrm{d}V = C_V \mathrm{d}T $$

Na tom dále vystavíme[8]a již brzy se dostaneme ke slíbené entropii, slibuji 🙂 , nicméně musíme se podívat na další “kus” informací ze světa termodynamiky — různé procesy. Určitě jste o nich už někdy slyšeli, ale pro zopakování si napíšeme malý seznam:

  • isotermický děj je takový, během kterého zůstává stejná teplota
  • isobarický děj je takový děj, během něhož zůstává konstantní tlak
  • isochodirký děj takový, kdy zůstává konstantní objem
  • isentalpický děj — zůstává zachována entalpie

Kromě těchto tří existují ještě isentropický  děj, kde zůstává zachována entropie. Zatím však nevíme, co to je, nebudu ho tam uvádět[9]A samozřejmě až budete vědět, co to je a jak je definováno, můžete si to tam virtuálně přiřadit. Zbývá však jeden, na který se ještě musíme podívat — děj adiabatický.

Adiabatický děj

Adiabatický děj je takový, během něhož zůstává celkové teplo[10]pozor, nokoliv teplota!! děje konstantní. Samozřejmě se může měnit leccos ostatního, včetně teploty, ale teplo systému je konstantní. Jak je to možné?

Můžeme náš testovací systém třeba dokonale (či co nejdokonaleji) odizolovat od okolního světa. Důležité je, že žádné teplo nejde ani dovnitř, ani ven. Můžeme tedy tvrdit, že \(\mathrm{d}q = 0\). Podívejme se ještě jednou na vztah:

$$\mathrm{d}u=\mathrm{d}q-p\mathrm{d}V=C_V\mathrm{d}T$$

Řekli jsme si, že \(\mathrm{d}q=0\), čili můžeme tento člen s klidným svědomím vypustit:

$$\mathrm{d}u={-p}\mathrm{d}V=C_V\mathrm{d}T$$

Tlak \(p\) si můžeme vyjádřit z nám již známého $pV=nRT$:

$$ p=\frac{nRT}{V} $$

A můžeme tedy dosadit:

$$\mathrm{d}u = {-\frac{nRT}{V}}\mathrm{d}V = C_V \mathrm{d}T$$

a po trošku úpravách[11]Jen přeházíme “sem a tam” přes rovnítko různé proměnné tak, aby nám na jedné straně u sebe zbyly diferenciály a proměnné teploty, na druhé objemu. získáme:

$$ {-nR}\frac{\mathrm{d}V}{V}=\frac{C_V\mathrm{d}T}{T} $$

Samozřejmě budeme považovat opět \(n=1\)[12]molární množství látky, takže se to celé zjednoduší na:

$$ {-R}\frac{\mathrm{d}V}{V}=\frac{C_V\mathrm{d}T}{T} $$

Menší už to snad ani nemůže být, máme připraveno na integrování. Integrování je matematická operace inverzní k derivování (a parciálnímu derivování), pokud bude zájem, o těchto metodách zvlášť napíšu článek. Napíšeme tedy:

$$ {-R}\int_{V_1}^{V_2}\frac{\mathrm{d}V}{V} = {C_V}\int_{T_1}^{T_2}\frac{\mathrm{d}T}{T}$$

a zintegrujeme. Funkce \(\frac{1}{x}\) se zintegruje na \(ln(x) +C\), tedy rozintegrované bude:

$$ {-R}\left[\ln(V)\right]_{V_1}^{V_2} = C_V \left[\ln(T)\right]_{T_1}^{T_2}$$

Po dosazení[13]Jak na to se dozvíte v tom slibovaném článku o integrálech, ale když se na to zakoukáte, vymyslíte to 🙂 bude:

$$ {-R}\left(\ln(V_2)-\ln(V_1)\right) = C_V \left( \ln(T_2)-\ln(T_1)\right) $$

Podle pravidel o logaritmování tedy:

$$ {-R}\ln\frac{V_2}{V_1} = C_V \ln \frac{T_2}{T_1}$$

A abychom se zbavili “mínus” před \(R\), stačí si představit, jak by to vypadalo, pokud bych se ho zbavil již výše, než jsem použil pravidla o logaritmování — otočilo by se pouze pořadí, tedy:

$$ {R}\ln\frac{V_1}{V_2} = C_V \ln \frac{T_2}{T_1}$$

Dále použiji pravidla o logaritmování součinu, který se v logaritmu převede na mocninu. Takže vzhůru do toho:

$$ \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{R} = \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^{C_V}$$

Pokud se podíváme, je jasné, že aby toto platilo, musí se “vnitřky závorek” mezi sebou rovnat (závorka vpravo a závorka vlevo). Můžeme tedy napsat:

$$ \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{R}{C_V}} = \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$$

A tedy i:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{R}{C_V}} =  \frac{T_2}{T_1}$$

Vzpomeňme si nyní na vztah:

$$C_P = C_V + R$$

Není vám to povědomé? 🙂 Z toho přece můžeme snadno vyjádřit \(R\):

$$R = C_P – C_V$$

a tedy (celý vztah podělíme \(C_V\))

$$ \frac{R}{C_V} = \frac{C_P}{C_V} – \frac{C_V}{C_V}$$

A to samozřejmě můžeme pokrátit na

$$ \frac{R}{C_V} = \frac{C_P}{C_V} – 1$$

Abychom si trošku zjednodušili práci (dobře, abych si ji zjednodušil já, nebaví mě psát v \(\LaTeX\)u zlomky 😀 ), nazvu pro teď výraz \(\frac{C_V}{C_P}=\xi\)[14]Tuten paznak se čte jako “ksí”. Pak samozřejmě platí, že:

$$ \frac{R}{C_V} =\xi-1$$

Samozřejmě tedy můžeme původní vztah přepsat jako:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{T_2}{T_1} $$

Vraťme se nyní zpět k rovnici ideálního plynu:

$$ PV = nRT$$

a vyjádřeme si \(T\), položmě \(n=1\) jako před tím:

$$ T = \frac{PV}{R}$$

Dosaďme nyní do nově vzniknuvšího vztahu:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{\frac{P_2V_2}{R}}{\frac{P_1V_1}{R}} $$

Samozřejmě můžeme s klidným svědomím pokrátit \(R\):

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{{P_2V_2}}{{P_1V_1}} $$

Nyní se můžeme snadno zbavit \(V_1\) a \(V_2\) — přendáme je na druhou stranu, čili:

$$\frac{V_1}{V_2} \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{P_2}{P_1} $$

což samozřejmě přepíšeme na:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi}=\frac{P_2}{P_1} $$

Z toho snadno vyjádříme:

$$P_1V_1^{\xi}=P_2V_2^{\xi} $$

Vidíme, že pokud se musí rovnat levá a pravá strana rovnice, musí být konstantní obecný výraz \(\left(PV\right)^\xi\).

Zpátky však k entropii!

Nyní, když už rozumíme adiabatickému ději, máme téměř všechny důležité informace k tomu, abychom mohli vyjádřit a pochopit i termín entropie. Začněme se tedy věnovat tepelným procesům, konkrétně tzv. Carnotovu [15]Informace např. zde: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Carnot_Sadi.html cyklu[16]Moc hezké informace a interaktivní aplety mají třeba zde: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/carnot.html.

Carnot si položil jednoduchou otázku: Existuje-li nějaký tepelný zdroj, tak máme-li nějakou možnost vzít nějaký přístroj (obecně tepelný stroj), který je schopen teplo tohoto zdroje převádět na práci, pokud možno 100% efektivně. A ukázalo se, že nikoliv[17]Dnes nám to už může přijít jako samozřejmost, ale stejně po světě běhá spoustu lidí, co si myslí, že vynalezlo perpetum mobile, což jeho existenci přímo jako důsledek tohoto zjištění vyvrací.

Vezmeme-li tedy nějaký tepelný zdroj:

Carnotuv cyklus -- tepelný zdroj

Přidáme stroj, který má toto teplo zpracovávat:

Carnotuv cyklus -- tepelný stroj

Tak se ptáme, jestli existuje takový stroj, který je schopen 100% přenést veškeré teplo na práci, tedy že pracuje se 100% účinností:

Carnotuv cyklus -- existuje takovy stroj

Ukázalo se však, že takový stroj může existovat pouze v ideálních podmínkách, nicméně ty nejsou dosažitelné. Každý takový stroj totiž operuje i se zbytkovým teplem, které je předáváno dál okolí:

Carnotuv cyklus -- zbytkové teplo

Nyní si vše ukažme trošku exaktněji:

Ze “situačního plánku” vidíme, že výstupní práce \(W\) bude rovna rozdílu \(W=Q_1 – Q2\). Víme taktéž, že efektivita nějaké soustavy se dá velmi obecně vyjádřit jako \(\frac{ven}{dovnitř}\). Tedy:

$$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 – Q_2}{Q_1} = 1-\frac{Q_2}{Q_1}$$

A nyní si položmě otázku, kdy může být \(\eta\) rovno jedné — čili 100% účinnost. Buď bychom museli mít nekonečně velké teplo \(Q_1\), abychom minimalizovali zlomek jmenovatelem, anebo bychom museli mít absolutní nulu \(Q_2\), čímž bychom minimalizovali zlomek čitatelem. Druhého jmenovaného jsme přece jen blíže dosáhnout, ale přesto toho nejsme schopni dosáhnout absolutně.

Abychom si však popsali takový proces cyklicky, je potřeba použít tzv. Carnotova cyklu, což je teplený cyklus, kde někdy měníme stavy adiabaticky a někdy isotermicky. To opakujeme pořád dokola a sledujeme vstupy a výstupy, čímž jsme schopni opět spočítat efektivitu takové soustavy.

Představme si tedy znovu náš zelený píst ze začátku článku, kde se budeme snažit vyvolat adiabatické a isotermické změny. Abychom to však vzali trošku “profesionálně”, experimenty si necháme třeba do laboratoře, my si vše popíšeme krásně grafem, konkrétně tzv. PV grafem. Jak písmenka napovídají, \(P\) odpovídá tlaku a \(V\) odpovídá objemu:

pv graf

Vynesme si nyní na ně několik bodů (samozřejmě postupně): Nejdříve začněme nějakým výchozím stavem, nazvěme si ho třeba \(A\):

pv graf -- A

Od tohoto bodu se isotermicky budeme pohybovat k bodu B:

pv graf -- AB

Během tohoto procesu vidíme, že se zvyšuje objem, avšak protože se jedná o isotermický děj, zůstává konstantní teplota, nazvěme ji \(T_1\). Musíme tedy do systému dodávat nějaké teplo, aby byla soustava vyrovnána, což také děláme. Dále přejděme k bodu \(C\), ke kterému se dostaneme adiabatickou cestou (žádné teplo dovnitř ani ven):

 pv graf -- BC2

Protože se pohybujeme po adiabatě, žádné teplo nedodáváme ani nebereme, objem se příliš nemění, ale snižuje se tlak — konáme práci. V další iteraci se dostáváme do bodu \(D\) — opět jako isotermický děj:

pv graf -- CD

No a protože platí totéž, co pro \(AB\) posun, tedy že se mění objem, ale teplota zůstává konstantní, musíme nějaké teplo odevzdávat, čili zde vidíme “vznik” \(Q_2\).  Nakonec nám zbývá poslední adiabatický děj, totiž \(DA\)[18]A ne, není to Dragon Age! 🙂 :

pv graf -- DA

Jsme tedy opět “na začátku” našeho cyklu a ten se pořád dokola opakuje. Vyjádříme-li si nyní z nám již velmi dobře známé rovnice ideálního plynu tlak, dostaneme:

$$ PV = nRT $$

$$ P = \frac{nRT}{V}$$

Dále víme, že \(\mathrm{d}u = \mathrm{d}q – P\mathrm{d}V\), jenže co vyjadřuje \(\mathrm{d}u\)? Vyjadřuje “změnu množství tepla” (či vnitřní energie systému). Když se však na cyklus podíváte, začali jsme v bodě \(A\), a ve stejném jsme vlastně i skončili. Nedodali jsme proto žádnou energii navíc, všechna byla vyzářena v podobě ztrát či tak podobně — můžeme tedy s klidným srdcem položit \(\mathrm{d}u = 0\) a potom už je snadné psát:

$$ 0 = \mathrm{d}q – P\mathrm{d}V$$

$$\mathrm{d}q = P\mathrm{d}V$$

Můžeme integrovat, pro každou teplotu musíme zvlášť:

$$ Q_1 = \int_{V_A}^{V_B} nRT_1 \frac{\mathrm{d}V}{V}=nRT_1\ln\frac{V_B}{V_A}$$

$$ Q_2 = – \int_{V_C}^{V_D} nRT_2 \frac{\mathrm{d}V}{V}=- nRT_2\ln\frac{V_D}{V_C}$$

Minus u \(Q_2\) značí, že teplo “dáváme ven”, tzn. ubývá (a proto mínus). Dříve jsme si vyjádřili, že \(\eta\), tedy účinnost systému, se dá zapsat jako:

$$ \eta = 1-\frac{Q2}{Q1}$$

A nezbývá, než dosadit nově zjištěná “kvé”:

$$ \eta = 1-\frac{nRT_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{nRT_1\ln\frac{V_B}{V_A}} = 1 – \frac{T_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{T_1\ln\frac{V_B}{V_A}}$$

Jak to zjednodušit? Dokažme, že část zlomku, kde porovnáváme logaritmy, je konstantní, konkrétně je rovna jedné.

Víme už, že:

$$ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1}$$

A po přeházení proměnných tedy:

$$T_2V_2^{\xi-1} = T_1V_1^{\xi-1}$$

Z grafu Carnotova cyklu můžeme dále určit, že pro dané objemy a tedy i krajní body vpravo a vlevo můžeme dát do rovnosti (tohle je trošku těžší krok na představivost, ale podívejte se pořádně na graf, vyplyne to z toho 🙂 ):

Pro body “vpravo”:

$$T_1V_B^{\xi-1} = T_2V_C^{\xi-1}$$

Pro body “vlevo”:

$$ T_1V_A^{\xi-1} = T_2V_D^{\xi-1}$$

Tuto soustavu tedy můžeme přepsat jako:

$$\frac{T_1V_B^{\xi-1}}{T_1V_A^{\xi-1}} = \frac{T_2V_C^{\xi-1}}{T_2V_D^{\xi-1}}$$

Můžeme pokrátit teploty a získáme:

$$\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\xi-1} = \left(\frac{V_C}{V_D}\right)^{\xi-1}$$

A tedy vidíme, že obsahy závorek musí být stejné, aby rovnost platila. Vrátíme-li se proto k původnímu vzorci pro \(\eta\):

$$ \eta = 1-\frac{nRT_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{nRT_1\ln\frac{V_B}{V_A}} = 1 – \frac{T_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{T_1\ln\frac{V_B}{V_A}}$$

Vidíme, že můžeme s klidem poměr logaritmů pokrátit, protože se prostě jedná jedné. Zbyde nám tedy:

$$\eta = 1-\frac{Q_2}{Q_1} = 1-\frac{T_2}{T_1}$$

A z toho jasně plyne, že:

$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}$$

Trošku popřehazujeme písmenka, a získáme:

$$\frac{Q_2}{T_2} = \frac{Q_1}{T_1}$$

kde poměr \(\frac{Q}{T}\) je konstantní a nazveme ho (hurá potlesk) entropie. Tu dále budeme označovat jako \(S\).

Neklesavost entropie

Určitě jste někde (nedivil bych se, kdyby v nějakém sci-fi) slyšeli, že entropie vesmíru stále stoupá. Co si pod tím představit? Proč? Jak? Dokažme si nyní na našem malém experimentu s Carnotovým cyklem a tepelným strojem, co to znamená a kde se něco takového vzalo.

Výše jsme si vyjádřili dva vztahy:

$$ \eta_{max} = 1-\frac{T_2}{T_1}$$

a

$$ \eta_{max} = \frac{W}{Q_1}$$

Není nic lehčího, než je spojit přes \(\eta\) dohromady:

$$\frac{W}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}$$

a tedy:

$$ W \leq Q_1 \left(1-\frac{T_2}{T_1}\right)$$

Proč jsem přidal “nerovná se”? Přesně ze stejného důvodu, proč jsem k \(\eta\) přidal index “max” — jedná se totiž o výpočty s maximální účinností, nikoliv absolutní. Proto práce bude vždy maximálně taková, jaká je — případně může být jen nižší.

Dále víme, že \(W = Q_1 – Q_2\). Můžeme tedy psát:

$$ Q_1 – Q_2 \leq Q_1 \left(1-\frac{T_2}{T_1}\right)$$

Roznásobíme:

$$ Q_1 – Q_2 \leq Q_1-\frac{Q_1 T_2}{T_1}$$

a vidíme, že \(Q_1\) můžeme z rovnice s klidnou duší vyhodit:

$$- Q_2 \leq -\frac{Q_1 T_2}{T_1}$$

Otočíme:

$$ Q_2 \geq \frac{Q_1 T_2}{T_1}$$

Přeházíme písmenka:

$$ \frac{Q_2}{T_2} \geq \frac{Q_1}{T_1}$$

A to je vše 🙂 Vidíme, že po skončení procesu bude entropie vždy ne menší, tedy stejná či větší, než před začátkem takového procesu. A to je důvod, proč entropie neustále roste — protože prostě nemůže být menší.

To by pro začátek s termodynamikou stačilo, příště se zase podíváme na nějaké částice, tak se těšte 😉 Zde si též můžete stáhnout mé poznámky k článku, ze kterých jsem vycházel (pokud to po mně přečtete) 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Další informace kupříkladu na http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/581-prvni-termodynamicky-zakon
2. Zde by to chtělo podotknout, že mluvíme samozřejmě o fyzikální práci. Takže pokud jste nezaměstnaní a zhubnete, práci nedostanete 🙂
3. Proč ne tlaku? Tlak je totiž definován pomocí těchto dvou veličin (není to nezávislá veličina). Proto tedypouze teplota a objem.
4. Více informací: http://scienceworld.wolfram.com/physics/Enthalpy.html
5. dále jen TZ1
6. Nevím, jak to lépe přeložit, každopádně další informace o tom zde: http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product_rule.
7. Tzn. jedná se o dokonalý stroj, který převádí tepelnou energii na energii pohybu pístu třeba — sice je to ideální zařízení, ale nám se to teď dost hodí.
8. a již brzy se dostaneme ke slíbené entropii, slibuji 🙂
9. A samozřejmě až budete vědět, co to je a jak je definováno, můžete si to tam virtuálně přiřadit
10. pozor, nokoliv teplota!!
11. Jen přeházíme “sem a tam” přes rovnítko různé proměnné tak, aby nám na jedné straně u sebe zbyly diferenciály a proměnné teploty, na druhé objemu.
12. molární množství látky
13. Jak na to se dozvíte v tom slibovaném článku o integrálech, ale když se na to zakoukáte, vymyslíte to 🙂
14. Tuten paznak se čte jako “ksí”
15. Informace např. zde: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Carnot_Sadi.html
16. Moc hezké informace a interaktivní aplety mají třeba zde: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/carnot.html
17. Dnes nám to už může přijít jako samozřejmost, ale stejně po světě běhá spoustu lidí, co si myslí, že vynalezlo perpetum mobile, což jeho existenci přímo jako důsledek tohoto zjištění vyvrací.
18. A ne, není to Dragon Age! 🙂

Příklad pro Jarmilu

Příklad s goniometrickými funkcemi pro Jarmilu 🙂 Anebo jak dostat ze \(\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) ono \(x\)? 🙂

Co nám tuto zadání vlastně říká? K řešení máme už veškeré podklady; víme, jak vypadá graf funkce \(\sin x\), jak však vypadá graf funkce \(\sin 2x\)?

Výchozí funkce \(y(x)=\sin x\) tedy vypadá takto:

sinus_x

Funkce \(y(x) = \sin 2x\) vypadá úplně stejně, akorát má dvakrát větší frekvenci, což znamená totéž, jako když řeknu, že má dvakrát menší periodu. Křivka tak necestuje od \(0\) do \(2\pi\), ale jen do \(\pi\).

Vypadá to tedy nějak následovně:

sinus_2x

V obrázku jsem rovnou fialově naznačil čáru odpovídající hodnotě \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). A pokud napíšeme rovnici ve tvaru, který uvádím výše, tedy \(\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), na co se takovou rovnicí vlastně ptáme?

Cílem je určit taková \(x\), která mají společné \(\sin 2x\) a ono číslo na pravé straně rovnítka. Co o takových \(x\) můžeme říci?

  • Na našem rozsahu \(\lt 0 ; \pi \gt\) budou dvě (viz obrázek)
  • Víme, že budou v druhé polovině křivky (tedy mezi \(\frac{\pi}{2}\) a \(\pi\)), čili “stupňově” mezi 90 a 180 (nikoliv 180 a 360, protože se jedná o dvakrát “rychlejší” křivku)

Správně si nastavíme kalkulačku (na výpočty ve stupních třeba) a zadáme “arkus sinus” pro hodnotu \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Ale pozor! Kalkulačka umí vyhodit pouze jednu hodnotu, čili musíme správně uvažovat! V mém případě vyhodila \(-60\). Vezměme tedy těch \(180\) stupňů, které jsou na konci a odčtěme \(60\). Vyjde tedy \(120\). A co ta druhá hodnota?

Jednoduše — v našem případě vidíme, že se jedná o symetrické řešení podle nejhlubšího bodu sinusovky. A jak daleko je 120 od 90? Stejnou vzdálenost najdeme i od 180 a máme vyhráno 😉

V mašem případě je to tedy \(30\) stupňů, čili \(180-30=150\) — a to je naše druhé řešení.

Ale tam rozhodně nekončíme! Proč? Jak víme, křivka jde “do nekonečna” — prostě dál a dál. Neexistuje tak pouze jedno či dvě řešení, existuje jich nekonečně mnoho. Tato řešení jsou si však podobná — stejně jako všechny sinusovky vypadají “stejně”. Musíme tedy napsat řešení “velmi obecně”, ale aby bylo jednoznačně definováno.

Víme, že křivka se opakuje každé \(\pi\), čili bychom mohli napsat, že stejně, jako existuje řešení “120”, tak existuje i \(120+\pi\). Nojo, jenže ono platí i řešení \(120+2\pi\) a další. Proto uděláme trik — řešení napíšeme ve tvaru:

$$x_1 = 120 + k\pi; k\in \lt 1..\mathbb{N}\gt$$

$$x_2 = 150 + k\pi; k\in \lt 1..\mathbb{N}\gt$$

A to je celé, tádydádydá 😉

Fourierova transformace, aproximace, interpolace

Obtížnost: 3/5 Musíte trošku vědět

Někdy je potřeba, abychom vymysleli nějakou funkci, která se nám co nejblíže přibližuje třeba naměřeným hodnotám. K tomu používáme metod interpolace a aproximace. Poté se podíváme na lehce související téma s Fourierovo řadou a nakousneme fourierovu analýzu.

Pokračování textu Fourierova transformace, aproximace, interpolace