Archiv pro štítek: dopplerův jev

Měření rychlosti radarem a Dopplerův jev

Nejspíše jste už někdy viděli někoho jet rychlostí ohrožující bezpečí na silnici. Policie se snaží počet takovýchto “bláznů” redukovat tím, že radary měří rychlost aut, které posléze pokutuje. Ale jak takové měření probíhá?

V článku o Dopplerově jevu jste se dočetli, co je to Dopplerův jev[1]Dále už jen DJ.. Zkráceně, co to je – určitě jste si všimli toho, že když kolem vás projíždí vlak, tak při přibližování se k vám se frekvence “jeho zvuku” zvyšuje (čili jde stále o vyšší a vyšší tón, jako když hrajete na klavíru na klávesy více a více vpravo) a hned jak se od vás začne vzdalovat, frekvence náhle poklesne (čili stále nižší a nižší tón, jako když hrajete na klavíru na klávesy více a více vlevo).

Ale jak víme, u aut není tento zvuk tak znatelný při nižších rychlostech a hlavně by se to tímto způsobem dost špatně měřilo.[2]Kvůli šumu z okolí a kvůli vysoké nepřesnosti měření frekvence zvuku na větší dálku. Přesto je policie schopna rychlost radarem změřit.

Jaké jiné vlnění ještě vydává auto? Vyzařuje světlo v infračervené oblasti (čehož využívá termovize, např. k vidění objektů ve tmě) a ve viditelné oblasti světla.[3]Jinak bychom to auto ani neviděli. Ale my nikdy nevíme, jakou barvu má auto “doopravdy” (v klidu vůči nám), takže nemůžeme vypočítat rozdíl frekvencí, tudíž ani rychlost.

Ale co když my sami budeme vysílat paprsky k pohybujícím se objektům? Vyšleme-li signál s určitou frekvencí (a tedy i vlnovou délkou podle vzorce  \(f = \frac{c}{\lambda}\) )[4]Tento vzorec nám v podstatě říká, že se zvyšující se rychlostí za konstantní vlnové délky se frekvence zvyšuje a při zvyšující se vlnové délky za konstantní rychlosti se frekvence zmenšuje. k objektu, který se vůči nám pohybuje, frekvence signálu se díky pohybu auta bude měnit.

Tato frekvence bude ale tentokrát dvakrát posunuta. Jednak z toho důvodu, že se změnila vzdálenost během té doby, než se signál dostal k objektu (zmenšila, či zvětšila), a také
z toho důvodu, že došlo k odrazu a paprsek musel urazit ještě jednou tu samou cestu zpátky k radaru.

Odvození pro rovnoměrný přímočarý pohyb

Tedy vyšleme-li signál s frekvencí \(f\)  proti objektu (autu), které se k nám přibližuje po přímce,  tak se frekvence bude měnit takto:

$$ \ f_p = \frac {f_sc + f_sv_s}{c} $$

My chceme určit rychlost daného objektu, čili vyjádříme \(v_s\):

$$ \ v_s = \frac {f_pc  – f_sc}{f_s}$$

Toto ale není ta rychlost, kterou nám naměří radar. Takhle by to platilo, kdybych věděl frekvenci vyslaného paprsku, v autě zjistil získanou frekvenci a z toho tímto vzorcem vypočetl rychlost.

Paprsek se ale ještě musí odrazit a vrátit zpátky, takže musí dojít k druhému posunu. Protože jsme “obrali” paprsek o jednu cestu z pohledu radaru, tímto vzorcem nám  vyšlo \(2v_s\). Vzorec jen upravíme tak, že obě dvě strany vydělíme dvojkou a vyjde nám:

$$ \ v_s = \frac {f_pc  – f_sc}{2f_s}$$

Nyní praktický příklad. Policejní radary využívají vlnění s velmi krátkou vlnovou délkou, tedy velice vysokou frekvencí. Rychlost vlnění je \(c\) – rychlost světla.[5]Obecně se do vzorce dosazuje rychlost jakéhokoliv vlnění, zde se “náhodou” \(c\) rovná rychlosti světla (která se jinak sama o sobě značí \(c\) ).

Běžně se frekvence vyslaného paprsku \(f_s = 10\ 600\ 000\ 000\ \mathrm {Hz}\). Uvažujme,  že radar vyšle paprsek proti blížícímu se autu a vrátí se k němu frekvence \(f_p = 10\ 600\ 001\ 825.555555 \ \mathrm {Hz}\) (zde bohužel nemůžeme moc zaokrouhlovat, protože potřebujeme rychlost co nejpřesněji). Dosadíme do vzorce:

$$ \ v_s = \frac {10\ 600\ 001\ 825.555555\cdot 3\cdot 10^8-10\ 600\ 000\ 000\cdot 3\cdot 10^8}{2\cdot10\ 600\ 000\ 000} $$

Když toto napíšeme do kalkulačky, vyjde nám, že \(v_p = 25.833 \ \mathrm {m/s} = 93 \ \mathrm {km/hod}\)

93 kilometrů za hodinu se ještě toleruje (mimo obec) a policajt to nebude dále řešit.

V případě, že objekt (auto) se vzdaluje od radaru, frekvence se bude snižovat, takže v našem vzorci by nám vycházelo \(-v_s\), takže jen vydělíme obě strany minus jedničkou a vyjde:

$$ \ v_s = \frac {f_sc  – f_pc}{2f_s}$$

Oba tyto takto platí jen tehdy, když se ode mě auto pohybuje přímo po přímce, příště už se konečně vrhneme na již dříve slibovaný vzorec, kdy se zdroj (nebo pozorovatel) pohybuje po různých křivkách. Hezký den! 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Dále už jen DJ.
2. Kvůli šumu z okolí a kvůli vysoké nepřesnosti měření frekvence zvuku na větší dálku.
3. Jinak bychom to auto ani neviděli.
4. Tento vzorec nám v podstatě říká, že se zvyšující se rychlostí za konstantní vlnové délky se frekvence zvyšuje a při zvyšující se vlnové délky za konstantní rychlosti se frekvence zmenšuje.
5. Obecně se do vzorce dosazuje rychlost jakéhokoliv vlnění, zde se “náhodou” \(c\) rovná rychlosti světla (která se jinak sama o sobě značí \(c\) ).

Dopplerův jev

V tomto krátkém článku odvodíme rovnici dopplerova jevu, resp. tedy budeme zkoumat změnu vlnové délky (a frekvence) zvukového či obecného signálu v závislosti na pohybu posluchače a zdroje signálu.

Určitě jste s projevy Dopplerova jevu[1]dále jen DJ empiricky seznámeni; jedoucí vozidlo, vlak, sanitka, policisté — pokud se přibližují, jejich zvukový projev “zní výše”, než pokud jedou směrem “od vás”. Pojďme se nyní lehce podívat na závislosti těchto jevů, z čeho plynou a jaké jsou vlastnosi DJ.

Základní vzorečky, ze kterých vyjdeme:

Pevně věřím, že následující vztahy jsou pouhým opakováním, nicméně pro jistotu je uvedu:

  • Závislost dráhy \(s\), rychlosti \(v\) a času \(t\):
    $$\begin{array}{}s & = & v\cdot t\\ v & = & \frac{s}{t}\\ t & = & \frac{s}{v}\end{array}$$
  • Závislost frekvence \(f\), rychlosti \(v\) a vlnové délky \(\lambda\):
    $$\begin{array}{}\lambda & = & v\cdot \frac{1}{f} \\ f & = & v \cdot \frac{1}{\lambda}\end{array}$$
  • Závislost frekvence \(f\) a doby kmitu \(T\):
    $$f = \frac{1}{T}$$

Odvození pro lineární pohyb

Abychom odvození správně pochopili, musíme jít “od nejjednoduššího” případu a postupně přidávat další jevy. Takto je postupně budeme nabalovat, až tomu budeme vlastně rozumět celému 🙂 Takže hurá do toho!

Stacionární posluchač, pohyblivý zdroj zvuku

Začněme tím nejjednodušším. Eliminujeme všechny možné případy do jediného — kdy se po ose \(x\) pohybuje nějaký zdroj signálu rychlostí \(v_s\), my jako posluchači stojíme na konstantním místě \(x_p\). Budeme zkoumat vlastnosti zvukového projevu, když se náš předmět bude přibližovat a posléze oddalovat.

Jakou rychlostí se šíří zvuk? Nazvěme tuto rychlost \(c\) — stejně, jako rychlost šíření světla ve vakuu. Nyní však tato konstanta znamená rychlost šíření zvuku ve vzduchu (či tam, kde jsme jako posluchači). Dále víme, že zvukový zdroj vydává zvuk o konstantní vlnové délce \(\lambda\). Co to vlastně \(\lambda\) je? Vlnová délka není opravdu nic jiného než “divná délka” — délka, která vyjadřuje vzdálenost mezi dvěma na sebe zobrazitelnými body z dané křivky, která vlastnost vlnové délky má. Např. u klasické “sinusovky” můžeme počítat vlnovou délku jako vzdálenost mezi dvěma “kopečky” (amplitudami).

Pro představu — máme např. zvuk o frekvenci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a rychlost šíření zvuku ve vzduchu je zhruba \(340\ m\cdot s^{-1}\). Z toho snadno vypočítáme vlnovou délku:

$$\lambda = c \cdot \frac{1}{f} = 340 \cdot \frac{1}{1000} = 34\ \mathrm{cm}$$

Nyní si však uvědomme, co se stane během “jedné” takové vlnové délky. Při pohyblivém zdroji zvuku se mezitím zdroj posune o určitou vzdálenost, nazvěme ji nyní třeba \(x_d\). Jak velká bude tato vzdálenost?

Víme, že jedna vlna trvá \(T = \frac{1}{f}\) a dále víme, že \(s = v \cdot t\), v našem případě tedy \(s = v_s \cdot T\). Stejně tak můžeme psát “pro frekvence”, že pokud \(f = \frac{c}{\lambda_s}\), tak že \(T=\frac{1}{T_s} = \frac{\lambda_s}{c}\).

Pokud tedy \(x_d = v_s \cdot T_s\), potom \(x_d = v_s \frac{\lambda_s}{c}\). Index “s” značí, že počítáme s proměnnými, které popisují “zdroj signálu”. Jen pro přehlednost, aby byl pořádek v proměnných.

Pokud se tedy zdroj signálu přibližuje, vlnová délka se bude zkracovat, konkrétně:

$$\lambda_{p} = \lambda_s – x_d = \lambda_s – v_s\frac{\lambda_s}{c}$$

Můžeme tedy vyjádřit \(\lambda_p\):

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) $$

Případně pro frekvence:

$$ f_p = \frac{c}{\lambda_p} = \frac{c}{\lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c}\right)}$$

Nyní tedy praktický příklad: Představme si, že máme výše zmíněnou frekvenci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a zdroj se bude přibližovat rychlostí \(10\ \mathrm{ms^{-1}}\), potom:

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) = 0.34 \left( 1 – \frac{10}{340} \right) = 0.33\ \mathrm{m} = 33\ \mathrm{cm}$$

Vyjádříme-li to tedy frekvenčně, frekvence přibližujícího se zvuku bude:

$$ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{340}{0.33} = 1030\ \mathrm{Hz}$$

Jak takové dva zvuky zní za sebou si můžete poslechnout zde:

Případně si můžete stáhnout zvuk zde: 1000Hzvs1030Hz

Kontrolní výpočet dostaneme tak, že pokud dosadíme za \(v_s=c\), vidíme, že závorka se pak vynuluje a vyjde “nulová vlnová délka” (tedy nekonečná frekvence). Samozřejmě v reálu se nic takového nestane, ale vidíme, že vzorec v takovém případě nedává smysl — a to je správný stav.

Všechny ostatní případy, tedy kdy se posluchač pohybuje či kdy se pohybují současně posluchač i zdroj, se dají převést na tento model. Ostatní závislosti si tak můžete zkusit odvodit sami.

V příštím článku se podíváme na odvození těchto frekvencí pro obecný pohyb, tzn. takový, kdy se zdroj signálu nepřibližuje přímo k vám, ale bude vás míjet. Vytvoříme tedy funkci frekvence či vlnové délky v závislosti na vzájemné poloze. Ale to až zase příště, tak hezký den! 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. dále jen DJ