V člán­ku o od­vo­ze­ní rov­ni­ce ide­ál­ní­ho ply­nu jsme na­kous­li ně­ko­lik ter­mo­dy­na­mic­kých zá­ko­ni­tos­tí, nicmé­ně by­lo by dob­ré, abychom se na ter­mo­dy­na­mi­ku po­dí­va­li i tro­chu obec­ně­ji a do hloubky.

Rov­ni­ci idál­ní­ho ply­nu jsme si již od­vo­di­li, ny­ní však pro připomenutí:

$$PV=nRT$$

kde \(P\) od­po­ví­dá tla­ku ply­nu, \(V\) je­ho ob­je­mu, \(n\) mo­lár­ní­mu množ­ství ply­nu, \(R\) je ply­no­vá kon­stan­ta a \(T\) od­po­ví­dá tep­lo­tě plynu.

Dá­le vy­u­ži­je­me 1. ter­mo­dy­na­mic­ké­ho zá­ko­na, kte­rý nám struč­ně ří­ká, že změ­na vnitř­ní ener­gie ně­ja­ké sou­sta­vy od­po­ví­dá souč­tu změn prá­ce a při­ja­té­ho tep­la, tedy^[1]Další in­for­ma­ce kupří­kla­du na http://​fy​zi​ka​.jre​ichl​.com/​m​a​i​n​.​a​r​t​i​c​l​e​/​v​i​e​w​/​5​8​1​-​p​r​v​n​i​-​t​e​r​m​o​d​y​n​a​m​i​c​k​y​-​z​a​kon :

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}w + \mathrm{d}q$$

 Vy­u­žijme těch­to zna­los­tí při pro­hlíd­ce oby­čej­né­ho pís­tu a válce:

 Ze­le­ně je zob­ra­zen ně­ja­ký (ide­ál­ní) plyn, še­di­vě po­tom píst, čer­né jsou kon­tu­ry. Před­stav­me si ny­ní si­tu­a­ci, kdy plyn troš­ku „při­máčk­ne­me“:

Po­kud bu­de­me pů­so­bit ně­ja­kou si­lou \(F\) na da­nou plo­chu \(A\), ví­me, že tvo­ří­me ně­ja­ký tlak, kon­krét­ně te­dy \(P = \frac{F}{A}\). Tak­též ví­me, že prá­ce \(w\) od­po­ví­dá sí­le \(F\) po ně­ja­ké drá­ze \(l\), te­dy \(W = F \cdot l\).

Budeme-li se za­jí­mat pou­ze o drob­nou změ­nu prá­ce, te­dy \(\mathrm{d}w\), po­té mů­že­me psát:

$$\mathrm{d}w = F \cdot \mathrm{d}l$$

 Vý­še jsme si řek­li, že \(P = \frac{F}{A}\), te­dy \(F = P A\), mů­že­me te­dy dosadit:

$$\mathrm{d}w = P A \cdot \mathrm{d}l$$

Nu a do jsme se uči­li už na zá­klad­ní ško­le o plo­še a výš­ce? Vynásobíme-li je, do­sta­ne­me ob­jem! Tak­že vzhů­ru do toho:

$$\mathrm{d}w = P \cdot \mathrm{d}V$$

Správ­ně­ji te­dy \(\mathrm{d}w = {- P} \cdot \mathrm{d}V\), pro­to­že \(\mathrm{d}l\) zde ob­jem sni­žu­je a ne zvy­šu­je (te­dy správ­ně bychom od za­čát­ku mě­li psát \({-\mathrm{d}l}\), ale je dou­fám jas­né, kde se vza­lo. Ta­ké vi­dí­me dů­le­ži­tý zá­věr: Po­kud se ne­změ­ní ob­jem, ne­ní práce^[2]Zde by to chtě­lo po­dotknout, že mlu­ví­me sa­mo­zřej­mě o fy­zi­kál­ní prá­ci. Tak­že po­kud jste ne­za­měst­na­ní a zhub­ne­te, prá­ci nedostanete 🙂 .

 Prv­ní ter­mo­dy­na­mic­ký zá­kon te­dy mů­že­me pře­psat jako:

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}q – P \mathrm{d}V$$

Mů­že­me te­dy tvr­dit, že ener­gie je funk­cí tep­lo­ty a objemu^[3]Proč ne tla­ku? Tlak je totiž de­fi­no­ván po­mo­cí těch­to dvou ve­li­čin (ne­ní to ne­zá­vis­lá ve­li­či­na). Pro­to te­dy­pou­ze tep­lo­ta a objem.:

$$u = f(T, V)$$

 kon­krét­ně­ji tedy:

$$\mathrm{d}u = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V} \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_{T} \mathrm{d}V $$

To zna­me­ná, že změ­na ener­gie se dá po­psat ja­ko par­ci­ál­ní de­ri­va­ce ener­gie vzhle­dem k tep­lo­tě, po­kud za­cho­vá­me kon­stant­ní ob­jem, krát změ­na tep­lo­ty, plus par­ci­ál­ní de­ri­va­ce ener­gie vzhle­dem k ob­je­mu, po­kud za­cho­vá­me kon­stant­ní tep­lo­tu, krát změ­na objemu.

Nicmé­ně — po­dí­vej­me se ny­ní na dru­hou část zlom­ku. Po­kud je ob­jem kon­stant­ní, po­té \(\mathrm{d}V\) je nu­lo­vé (změ­na \(V\) je nu­lo­vá), pro­to nám te­dy ce­lá dru­há část zlom­ku vy­pad­ne a mů­že­me psát:

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}q + \mathrm{d}w = \mathrm{d}q + 0 = \mathrm{d}q = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V} \mathrm{d}T$$

Po­sled­ní čás­ti „před“ \(\mathrm{d}T\), te­dy \(\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V} = C_V\) ří­ká­me te­pel­ná ka­pa­ci­ta při kon­stant­ním ob­je­mu. Tedy:

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}q = C_V \mathrm{d}T$$

To vše jsme si de­fi­no­va­li, abychom si moh­li de­fi­no­vat ná­sle­du­jí­cí termín:

Entropie

Než tak však uči­ní­me, de­fi­nuj­me si ješ­tě tzv. en­tal­pii. Ozna­čí­me ji vel­kým pís­me­nem \(H\) a bu­de pro ni platit^[4]Více in­for­ma­cí: http://​scienceworld​.wolfram​.com/​p​h​y​s​i​c​s​/​E​n​t​h​a​l​p​y​.​h​tml:

$$ H = u + P V $$

En­tal­pie je te­dy funk­cí tep­lo­ty a tla­ku, te­dy \(H = f(T, P)\). Pod­le prv­ní­ho ter­mo­dy­na­mic­ké­ho zákona^[5]dále jen TZ1 jsme si ukázali:

$$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}q + \mathrm{d}w = \mathrm{d}q – P \mathrm{d}V$$

Mů­že­me te­dy troš­ku po­pře­há­zet pís­men­ka, aby:

$$ \mathrm{d}u + P \mathrm{d}V = \mathrm{d}q$$

a te­dy

$$ \mathrm{d} (u+PV) = \mathrm{d}q $$

či­li

$$ \mathrm{d}H = \mathrm{d}q $$

Vi­dí­me, že te­dy en­tal­pie je funk­cí tep­lo­ty a tla­ku, te­dy \(H(T,P)\). A mů­že­me sa­mo­zřej­mě opět vy­tvo­řit par­ci­ál­ní derivace:

$$ \mathrm{d}H = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_T \mathrm{d}P = \mathrm{d}q$$

Nu a opět, po­kud uva­žu­je­me kon­stant­ní tlak, ce­lé \(\mathrm{d}P\) bu­de nu­lo­vé, čili:

$$ \mathrm{d}H = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P \mathrm{d}T = \mathrm{d}q$$

Čás­ti \(\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P\) ří­ká­me te­pel­ná ka­pa­ci­ta při kon­stant­ním tla­ku. A mů­že­me si (po pře­há­ze­ní pís­me­nek) uká­zat, že:

$$ \mathrm{d}q = C_p \mathrm{d}T$$

Shrň­me si ny­ní, co ví­me: Ví­me \(C_p\), \(C_V\), zná­me vzo­rec pro en­tal­pii. Zkus­me si s ním ny­ní troš­ku pohrát:

$$ H = u + PV $$

$$ \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p + \left(\frac{\partial PV}{\partial T}\right)_p $$

Vi­dí­me, že po­kud bychom de­ri­vo­va­li (par­ci­ál­ně) při kon­stant­ním tla­ku, po­sled­ní část, kde bychom de­ri­vo­va­li i tlak sa­mot­ný, by se pře­ved­la na \(\left(\frac{P \mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_p\), tedy:

$$ \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p + \left(\frac{P \mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_p $$

Vrátíme-li se na chvil­ku zpět k rov­ni­ci ide­ál­ní­ho ply­nu, te­dy \(PV = nRT\), po­kud troš­ku pře­há­zí­me pís­men­ka a vy­já­d­ří­me ja­ko diferenciály:

$$ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} = \frac{nR}{P} $$

Pro zjed­no­du­še­ní před­po­klá­dej­me, že \(n=1\), čili:

$$ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} = \frac{R}{P} $$

a te­dy

$$ \frac{P \mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} = R $$

Vi­dí­me, že to je to, co nám vy­šlo vý­še ja­ko je­den z čle­nů souč­tu — mů­že­me te­dy do­sa­dit do vzor­ce vý­še to, co už známe:

$$ C_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p + R $$

Nicmé­ně abychom „mi­ni­ma­li­zo­va­li“ i ten­to vzo­rec, mu­se­li bychom mít kon­stant­ní ji­nou ve­li­či­nu. Po­kud má­me kon­stant­ní tlak, tak změ­na ob­je­mu pod­le tep­lo­ty ne­ní to, co  by se nám zrov­na ho­di­lo. Ale už jsme „sko­ro“ tam, mu­sí­me ako­rát udě­lat ma­lý trik. Vy­u­ži­je­me „ře­tě­zo­vé­ho zákona“^[6]Nevím, jak to lé­pe pře­lo­žit, kaž­do­pád­ně dal­ší in­for­ma­ce o tom zde: http://​en​.wi​ki​pe​dia​.org/​w​i​k​i​/​T​r​i​p​l​e​_​p​r​o​d​u​c​t​_​r​ule.. A ten nám ne­ří­ká nic ji­né­ho, že na­ši par­ci­ál­ní de­ri­va­ci při kon­stant­ním tla­ku mů­že­me ro­ze­psat následovně:

$$ \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V + \left[\left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_T\right] \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p $$

Po­dí­vej­me se ny­ní na tře­tí zá­vor­ku, resp. dru­hou, jdeme-li od rov­nít­ka vpra­vo (zvý­raz­nil jsem ji hra­na­tý­mi zá­vor­ka­mi). Ta ope­ru­je se změ­nou ener­gie při kon­stant­ní tep­lo­tě. Nicmé­ně vý­še jsme si řek­li, že po­kud je kon­stant­ní tep­lo­ta, nejde žád­ná ener­gie dovnitř ani ven^[7]Tzn. jed­ná se o do­ko­na­lý stroj, kte­rý pře­vá­dí te­pel­nou ener­gii na ener­gii po­hy­bu pís­tu tře­ba — si­ce je to ide­ál­ní za­ří­ze­ní, ale nám se to teď dost ho­dí.. Změ­na ener­gie je te­dy nu­lo­vá — čímž i sou­čin je nu­lo­vý a ce­lá po­sled­ní část vzor­ce „vy­pad­ne“.

Po­lo­ží­me pro­to rovnost:

$$ \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V $$

čímž si znač­ně zjed­no­du­ší­me prá­ci s vý­ra­zem vý­še. Mů­že­me totiž po­sled­ní část na­zvat \(C_V\), či­li te­pel­nou ka­pa­ci­tu při kon­stant­ním ob­je­mu. A te­dy sa­mo­zřej­mě pak pla­tí, že:

$$ C_p = C_V + R $$

---

Po­dí­vej­me se ny­ní, co te­dy již víme:

$$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}q + \mathrm{d}w = \mathrm{d}q + p\mathrm{d}V = C_V \mathrm{d}T $$

Na tom dá­le vystavíme^[8]a již br­zy se do­sta­ne­me ke slí­be­né en­t­ro­pii, sli­bu­ji 🙂 , nicmé­ně mu­sí­me se po­dí­vat na dal­ší „kus“ in­for­ma­cí ze svě­ta ter­mo­dy­na­mi­ky — růz­né pro­ce­sy. Ur­či­tě jste o nich už ně­kdy sly­še­li, ale pro zo­pa­ko­vá­ní si na­pí­še­me ma­lý seznam:

• iso­ter­mic­ký děj je ta­ko­vý, bě­hem kte­ré­ho zů­stá­vá stej­ná teplota
• iso­ba­ric­ký děj je ta­ko­vý děj, bě­hem ně­hož zů­stá­vá kon­stant­ní tlak
• iso­cho­dir­ký děj ta­ko­vý, kdy zů­stá­vá kon­stant­ní objem
• isen­tal­pic­ký děj — zů­stá­vá za­cho­vá­na entalpie

Kro­mě těch­to tří exis­tu­jí ješ­tě isen­t­ro­pic­ký  děj, kde zů­stá­vá za­cho­vá­na en­t­ro­pie. Za­tím však ne­ví­me, co to je, ne­bu­du ho tam uvádět^[9]A sa­mo­zřej­mě až bu­de­te vě­dět, co to je a jak je de­fi­no­vá­no, mů­že­te si to tam vir­tu­ál­ně při­řa­dit. Zbý­vá však je­den, na kte­rý se ješ­tě mu­sí­me po­dí­vat — děj adi­a­ba­tic­ký.

Adiabatický děj

Adi­a­ba­tic­ký děj je ta­ko­vý, bě­hem ně­hož zů­stá­vá cel­ko­vé tep­lo^[10]po­zor, no­ko­liv tep­lo­ta!! dě­je kon­stant­ní. Sa­mo­zřej­mě se mů­že mě­nit lec­cos ostat­ní­ho, včet­ně tep­lo­ty, ale tep­lo sys­té­mu je kon­stant­ní. Jak je to možné?

Mů­že­me náš tes­to­va­cí sys­tém tře­ba do­ko­na­le (či co nej­do­ko­na­le­ji) odi­zo­lo­vat od okol­ní­ho svě­ta. Dů­le­ži­té je, že žád­né tep­lo nejde ani dovnitř, ani ven. Mů­že­me te­dy tvr­dit, že \(\mathrm{d}q = 0\). Po­dí­vej­me se ješ­tě jed­nou na vztah:

$$\mathrm{d}u=\mathrm{d}q-p\mathrm{d}V=C_V\mathrm{d}T$$

Řek­li jsme si, že \(\mathrm{d}q=0\), či­li mů­že­me ten­to člen s klid­ným svě­do­mím vypustit:

$$\mathrm{d}u={-p}\mathrm{d}V=C_V\mathrm{d}T$$

Tlak \(p\) si mů­že­me vy­já­d­řit z nám již zná­mé­ho $pV=nRT$:

$$ p=\frac{nRT}{V} $$

A mů­že­me te­dy dosadit:

$$\mathrm{d}u = {-\frac{nRT}{V}}\mathrm{d}V = C_V \mathrm{d}T$$

a po troš­ku úpravách^[11]Jen pře­há­zí­me „sem a tam“ přes rov­nít­ko růz­né pro­měn­né tak, aby nám na jed­né stra­ně u se­be zby­ly di­fe­ren­ci­á­ly a pro­měn­né tep­lo­ty, na dru­hé ob­je­mu. získáme:

$$ {-nR}\frac{\mathrm{d}V}{V}=\frac{C_V\mathrm{d}T}{T} $$

Sa­mo­zřej­mě bu­de­me po­va­žo­vat opět \(n=1\)^[12]molární množ­ství lát­ky, tak­že se to ce­lé zjed­no­du­ší na:

$$ {-R}\frac{\mathrm{d}V}{V}=\frac{C_V\mathrm{d}T}{T} $$

Men­ší už to snad ani ne­mů­že být, má­me při­pra­ve­no na in­te­gro­vá­ní. In­te­gro­vá­ní je ma­te­ma­tic­ká ope­ra­ce in­verz­ní k de­ri­vo­vá­ní (a par­ci­ál­ní­mu de­ri­vo­vá­ní), po­kud bu­de zá­jem, o těch­to me­to­dách zvlášť na­píšu člá­nek. Na­pí­še­me tedy:

$$ {-R}\int_{V_1}^{V_2}\frac{\mathrm{d}V}{V} = {C_V}\int_{T_1}^{T_2}\frac{\mathrm{d}T}{T}$$

a zin­te­gru­je­me. Funk­ce \(\frac{1}{x}\) se zin­te­gru­je na \(ln(x) +C\), te­dy ro­zin­te­gro­va­né bude:

$$ {-R}\left[\ln(V)\right]_{V_1}^{V_2} = C_V \left[\ln(T)\right]_{T_1}^{T_2}$$

Po dosazení^[13]Jak na to se do­zví­te v tom sli­bo­va­ném člán­ku o in­te­grá­lech, ale když se na to za­kou­ká­te, vy­mys­lí­te to 🙂  bude:

$$ {-R}\left(\ln(V_2)-\ln(V_1)\right) = C_V \left( \ln(T_2)-\ln(T_1)\right) $$

Pod­le pra­vi­del o lo­ga­rit­mo­vá­ní tedy:

$$ {-R}\ln\frac{V_2}{V_1} = C_V \ln \frac{T_2}{T_1}$$

A abychom se zba­vi­li „mí­nus“ před \(R\), sta­čí si před­sta­vit, jak by to vy­pa­da­lo, po­kud bych se ho zba­vil již vý­še, než jsem po­u­žil pra­vi­dla o lo­ga­rit­mo­vá­ní — oto­či­lo by se pou­ze po­řa­dí, tedy:

$$ {R}\ln\frac{V_1}{V_2} = C_V \ln \frac{T_2}{T_1}$$

Dá­le po­u­ži­ji pra­vi­dla o lo­ga­rit­mo­vá­ní sou­či­nu, kte­rý se v lo­ga­rit­mu pře­ve­de na moc­ni­nu. Tak­že vzhů­ru do toho:

$$ \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{R} = \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^{C_V}$$

Po­kud se po­dí­vá­me, je jas­né, že aby to­to pla­ti­lo, mu­sí se „vnitř­ky zá­vo­rek“ me­zi se­bou rov­nat (zá­vor­ka vpra­vo a zá­vor­ka vle­vo). Mů­že­me te­dy napsat:

$$ \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{R}{C_V}} = \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$$

A te­dy i:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{R}{C_V}} =  \frac{T_2}{T_1}$$

Vzpo­meň­me si ny­ní na vztah:

$$C_P = C_V + R$$

Ne­ní vám to po­vě­do­mé? 🙂 Z to­ho pře­ce mů­že­me snad­no vy­já­d­řit \(R\):

$$R = C_P – C_V$$

a te­dy (ce­lý vztah po­dě­lí­me \(C_V\))

$$ \frac{R}{C_V} = \frac{C_P}{C_V} – \frac{C_V}{C_V}$$

A to sa­mo­zřej­mě mů­že­me po­krá­tit na

$$ \frac{R}{C_V} = \frac{C_P}{C_V} – 1$$

Abychom si troš­ku zjed­no­du­ši­li prá­ci (dob­ře, abych si ji zjed­no­du­šil já, ne­ba­ví mě psát v \(\LaTeX\)u zlom­ky 😀 ), na­zvu pro teď vý­raz \(\frac{C_V}{C_P}=\xi\)^[14]Tuten pa­znak se čte ja­ko „ksí“. Pak sa­mo­zřej­mě pla­tí, že:

$$ \frac{R}{C_V} =\xi-1$$

Sa­mo­zřej­mě te­dy mů­že­me pů­vod­ní vztah pře­psat jako:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{T_2}{T_1} $$

Vrať­me se ny­ní zpět k rov­ni­ci ide­ál­ní­ho plynu:

$$ PV = nRT$$

a vy­já­d­ře­me si \(T\), po­lož­mě \(n=1\) ja­ko před tím:

$$ T = \frac{PV}{R}$$

Do­sa­ď­me ny­ní do no­vě vznik­nuvší­ho vztahu:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{\frac{P_2V_2}{R}}{\frac{P_1V_1}{R}} $$

Sa­mo­zřej­mě mů­že­me s klid­ným svě­do­mím po­krá­tit \(R\):

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{{P_2V_2}}{{P_1V_1}} $$

Ny­ní se mů­že­me snad­no zba­vit \(V_1\) a \(V_2\) — přen­dá­me je na dru­hou stra­nu, čili:

$$\frac{V_1}{V_2} \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{P_2}{P_1} $$

což sa­mo­zřej­mě pře­pí­še­me na:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi}=\frac{P_2}{P_1} $$

Z to­ho snad­no vyjádříme:

$$P_1V_1^{\xi}=P_2V_2^{\xi} $$

Vi­dí­me, že po­kud se mu­sí rov­nat le­vá a pra­vá stra­na rov­ni­ce, mu­sí být kon­stant­ní obec­ný vý­raz \(\left(PV\right)^\xi\).

Zpátky však k entropii!

Ny­ní, když už ro­zu­mí­me adi­a­ba­tic­ké­mu dě­ji, má­me téměř všech­ny dů­le­ži­té in­for­ma­ce k to­mu, abychom moh­li vy­já­d­řit a po­cho­pit i ter­mín en­t­ro­pie. Za­čně­me se te­dy vě­no­vat te­pel­ným pro­ce­sům, kon­krét­ně tzv. Car­no­to­vu ^[15]In­for­ma­ce např. zde: http://​www​-his​to​ry​.mcs​.st​-an​drews​.ac​.uk/​B​i​o​g​r​a​p​h​i​e​s​/​C​a​r​n​o​t​_​S​a​d​i​.​h​tml cyklu^[16]Moc hez­ké in­for­ma­ce a in­ter­ak­tiv­ní aple­ty ma­jí tře­ba zde: http://​hy​per​phy​s​ics​.phy​-as​tr​.gsu​.edu/​h​b​a​s​e​/​t​h​e​r​m​o​/​c​a​r​n​o​t​.​h​tml.

Car­not si po­lo­žil jed­no­du­chou otáz­ku: Existuje-li ně­ja­ký te­pel­ný zdroj, tak máme-li ně­ja­kou mož­nost vzít ně­ja­ký pří­stroj (obec­ně te­pel­ný stroj), kte­rý je scho­pen tep­lo to­ho­to zdro­je pře­vá­dět na prá­ci, po­kud mož­no 100% efek­tiv­ně. A uká­za­lo se, že nikoliv^[17]Dnes nám to už mů­že při­jít ja­ko sa­mo­zřej­most, ale stej­ně po svě­tě běhá spous­tu li­dí, co si mys­lí, že vy­na­lezlo per­pe­tum mo­bi­le, což je­ho exis­ten­ci pří­mo ja­ko dů­sle­dek to­ho­to zjiš­tě­ní vyvrací.

Vezmeme-li te­dy ně­ja­ký te­pel­ný zdroj:

Při­dá­me stroj, kte­rý má to­to tep­lo zpracovávat:

Tak se ptá­me, jest­li exis­tu­je ta­ko­vý stroj, kte­rý je scho­pen 100% pře­nést veš­ke­ré tep­lo na prá­ci, te­dy že pra­cu­je se 100% účinností:

Uká­za­lo se však, že ta­ko­vý stroj mů­že exis­to­vat pou­ze v ide­ál­ních pod­mín­kách, nicmé­ně ty nejsou do­sa­ži­tel­né. Kaž­dý ta­ko­vý stroj totiž ope­ru­je i se zbyt­ko­vým tep­lem, kte­ré je pře­dá­vá­no dál okolí:

Ny­ní si vše ukaž­me troš­ku exaktněji:

Ze „si­tu­ač­ní­ho plán­ku“ vi­dí­me, že vý­stup­ní prá­ce \(W\) bu­de rov­na roz­dí­lu \(W=Q_1 – Q2\). Ví­me tak­též, že efek­ti­vi­ta ně­ja­ké sou­sta­vy se dá vel­mi obec­ně vy­já­d­řit ja­ko \(\frac{ven}{dovnitř}\). Tedy:

$$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 – Q_2}{Q_1} = 1-\frac{Q_2}{Q_1}$$

A ny­ní si po­lož­mě otáz­ku, kdy mů­že být \(\eta\) rov­no jed­né — či­li 100% účin­nost. Buď bychom mu­se­li mít ne­ko­neč­ně vel­ké tep­lo \(Q_1\), abychom mi­ni­ma­li­zo­va­li zlo­mek jme­no­va­te­lem, ane­bo bychom mu­se­li mít ab­so­lut­ní nu­lu \(Q_2\), čímž bychom mi­ni­ma­li­zo­va­li zlo­mek či­ta­te­lem. Dru­hé­ho jme­no­va­né­ho jsme pře­ce jen blí­že do­sáh­nout, ale přes­to to­ho nejsme schop­ni do­sáh­nout absolutně.

Abychom si však po­psa­li ta­ko­vý pro­ces cyk­lic­ky, je po­tře­ba po­u­žít tzv. Car­no­to­va cyk­lu, což je tep­le­ný cyk­lus, kde ně­kdy mě­ní­me sta­vy adi­a­ba­tic­ky a ně­kdy iso­ter­mic­ky. To opa­ku­je­me po­řád do­ko­la a sle­du­je­me vstu­py a vý­stu­py, čímž jsme schop­ni opět spo­čí­tat efek­ti­vi­tu ta­ko­vé soustavy.

Před­stav­me si te­dy zno­vu náš ze­le­ný píst ze za­čát­ku člán­ku, kde se bu­de­me sna­žit vy­vo­lat adi­a­ba­tic­ké a iso­ter­mic­ké změ­ny. Abychom to však vza­li troš­ku „pro­fe­si­o­nál­ně“, ex­pe­ri­men­ty si ne­chá­me tře­ba do la­bo­ra­to­ře, my si vše po­pí­še­me krás­ně gra­fem, kon­krét­ně tzv. PV gra­fem. Jak pís­men­ka na­po­ví­da­jí, \(P\) od­po­ví­dá tla­ku a \(V\) od­po­ví­dá objemu:

Vy­ne­s­me si ny­ní na ně ně­ko­lik bo­dů (sa­mo­zřej­mě po­stup­ně): Nejdří­ve za­čně­me ně­ja­kým vý­cho­zím sta­vem, na­zvě­me si ho tře­ba \(A\):

Od to­ho­to bo­du se iso­ter­mic­ky bu­de­me po­hy­bo­vat k bo­du B:

Bě­hem to­ho­to pro­ce­su vi­dí­me, že se zvy­šu­je ob­jem, avšak pro­to­že se jed­ná o iso­ter­mic­ký děj, zů­stá­vá kon­stant­ní tep­lo­ta, na­zvě­me ji \(T_1\). Mu­sí­me te­dy do sys­té­mu do­dá­vat ně­ja­ké tep­lo, aby by­la sou­sta­va vy­rov­ná­na, což ta­ké dě­lá­me. Dá­le pře­jdě­me k bo­du \(C\), ke kte­ré­mu se do­sta­ne­me adi­a­ba­tic­kou ces­tou (žád­né tep­lo dovnitř ani ven):

 

Pro­to­že se po­hy­bu­je­me po adi­a­ba­tě, žád­né tep­lo ne­do­dá­vá­me ani ne­be­re­me, ob­jem se pří­liš ne­mě­ní, ale sni­žu­je se tlak — ko­ná­me prá­ci. V dal­ší ite­ra­ci se do­stá­vá­me do bo­du \(D\) — opět ja­ko iso­ter­mic­ký děj:

No a pro­to­že pla­tí to­též, co pro \(AB\) po­sun, te­dy že se mě­ní ob­jem, ale tep­lo­ta zů­stá­vá kon­stant­ní, mu­sí­me ně­ja­ké tep­lo ode­vzdá­vat, či­li zde vi­dí­me „vznik“ \(Q_2\).  Na­ko­nec nám zbý­vá po­sled­ní adi­a­ba­tic­ký děj, totiž \(DA\)^[18]A ne, ne­ní to Dra­gon Age! 🙂 :

Jsme te­dy opět „na za­čát­ku“ na­še­ho cyk­lu a ten se po­řád do­ko­la opa­ku­je. Vyjádříme-li si ny­ní z nám již vel­mi dob­ře zná­mé rov­ni­ce ide­ál­ní­ho ply­nu tlak, dostaneme:

$$ PV = nRT $$

$$ P = \frac{nRT}{V}$$

Dá­le ví­me, že \(\mathrm{d}u = \mathrm{d}q – P\mathrm{d}V\), jen­že co vy­ja­dřu­je \(\mathrm{d}u\)? Vy­ja­dřu­je „změ­nu množ­ství tep­la“ (či vnitř­ní ener­gie sys­té­mu). Když se však na cyk­lus po­dí­vá­te, za­ča­li jsme v bo­dě \(A\), a ve stej­ném jsme vlast­ně i skon­či­li. Ne­do­da­li jsme pro­to žád­nou ener­gii na­víc, všech­na by­la vy­zá­ře­na v po­do­bě ztrát či tak po­dob­ně — mů­že­me te­dy s klid­ným srd­cem po­lo­žit \(\mathrm{d}u = 0\) a po­tom už je snad­né psát:

$$ 0 = \mathrm{d}q – P\mathrm{d}V$$

$$\mathrm{d}q = P\mathrm{d}V$$

Mů­že­me in­te­gro­vat, pro kaž­dou tep­lo­tu mu­sí­me zvlášť:

$$ Q_1 = \int_{V_A}^{V_B} nRT_1 \frac{\mathrm{d}V}{V}=nRT_1\ln\frac{V_B}{V_A}$$

$$ Q_2 = – \int_{V_C}^{V_D} nRT_2 \frac{\mathrm{d}V}{V}=- nRT_2\ln\frac{V_D}{V_C}$$

Mi­nus u \(Q_2\) zna­čí, že tep­lo „dá­vá­me ven“, tzn. ubý­vá (a pro­to mí­nus). Dří­ve jsme si vy­já­d­ři­li, že \(\eta\), te­dy účin­nost sys­té­mu, se dá za­psat jako:

$$ \eta = 1-\frac{Q2}{Q1}$$

A ne­zbý­vá, než do­sa­dit no­vě zjiš­tě­ná „kvé“:

$$ \eta = 1-\frac{nRT_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{nRT_1\ln\frac{V_B}{V_A}} = 1 – \frac{T_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{T_1\ln\frac{V_B}{V_A}}$$

Jak to zjed­no­du­šit? Do­kaž­me, že část zlom­ku, kde po­rov­ná­vá­me lo­ga­ritmy, je kon­stant­ní, kon­krét­ně je rov­na jedné.

Ví­me už, že:

$$ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1}$$

A po pře­há­ze­ní pro­měn­ných tedy:

$$T_2V_2^{\xi-1} = T_1V_1^{\xi-1}$$

Z gra­fu Car­no­to­va cyk­lu mů­že­me dá­le ur­čit, že pro da­né ob­je­my a te­dy i kraj­ní bo­dy vpra­vo a vle­vo mů­že­me dát do rov­nos­ti (to­hle je troš­ku těž­ší krok na před­sta­vi­vost, ale po­dí­vej­te se po­řád­ně na graf, vy­ply­ne to z toho 🙂 ):

Pro bo­dy „vpra­vo“:

$$T_1V_B^{\xi-1} = T_2V_C^{\xi-1}$$

Pro bo­dy „vle­vo“:

$$ T_1V_A^{\xi-1} = T_2V_D^{\xi-1}$$

Tu­to sou­sta­vu te­dy mů­že­me pře­psat jako:

$$\frac{T_1V_B^{\xi-1}}{T_1V_A^{\xi-1}} = \frac{T_2V_C^{\xi-1}}{T_2V_D^{\xi-1}}$$

Mů­že­me po­krá­tit tep­lo­ty a získáme:

$$\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\xi-1} = \left(\frac{V_C}{V_D}\right)^{\xi-1}$$

A te­dy vi­dí­me, že ob­sa­hy zá­vo­rek mu­sí být stej­né, aby rov­nost pla­ti­la. Vrátíme-li se pro­to k pů­vod­ní­mu vzor­ci pro \(\eta\):

$$ \eta = 1-\frac{nRT_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{nRT_1\ln\frac{V_B}{V_A}} = 1 – \frac{T_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{T_1\ln\frac{V_B}{V_A}}$$

Vi­dí­me, že mů­že­me s kli­dem po­měr lo­ga­rit­mů po­krá­tit, pro­to­že se pros­tě jed­ná jed­né. Zby­de nám tedy:

$$\eta = 1-\frac{Q_2}{Q_1} = 1-\frac{T_2}{T_1}$$

A z to­ho jas­ně ply­ne, že:

$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}$$

Troš­ku po­pře­ha­zu­je­me pís­men­ka, a získáme:

$$\frac{Q_2}{T_2} = \frac{Q_1}{T_1}$$

kde po­měr \(\frac{Q}{T}\) je kon­stant­ní a na­zve­me ho (hu­rá po­tlesk) en­t­ro­pie. Tu dá­le bu­de­me ozna­čo­vat ja­ko \(S\).

Neklesavost entropie

Ur­či­tě jste ně­kde (ne­di­vil bych se, kdy­by v ně­ja­kém sci-fi) sly­še­li, že en­t­ro­pie vesmí­ru stá­le stou­pá. Co si pod tím před­sta­vit? Proč? Jak? Do­kaž­me si ny­ní na na­šem ma­lém ex­pe­ri­men­tu s Car­no­to­vým cyk­lem a te­pel­ným stro­jem, co to zna­me­ná a kde se ně­co ta­ko­vé­ho vzalo.

Vý­še jsme si vy­já­d­ři­li dva vztahy:

$$ \eta_{max} = 1-\frac{T_2}{T_1}$$

a

$$ \eta_{max} = \frac{W}{Q_1}$$

Ne­ní nic leh­čí­ho, než je spo­jit přes \(\eta\) dohromady:

$$\frac{W}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}$$

a te­dy:

$$ W \leq Q_1 \left(1-\frac{T_2}{T_1}\right)$$

Proč jsem při­dal „ne­rov­ná se“? Přes­ně ze stej­né­ho dů­vo­du, proč jsem k \(\eta\) při­dal in­dex „max“ — jed­ná se totiž o vý­po­čty s ma­xi­mál­ní účin­nos­tí, ni­ko­liv ab­so­lut­ní. Pro­to prá­ce bu­de vždy ma­xi­mál­ně ta­ko­vá, ja­ká je — pří­pad­ně mů­že být jen nižší.

Dá­le ví­me, že \(W = Q_1 – Q_2\). Mů­že­me te­dy psát:

$$ Q_1 – Q_2 \leq Q_1 \left(1-\frac{T_2}{T_1}\right)$$

Roz­ná­so­bí­me:

$$ Q_1 – Q_2 \leq Q_1-\frac{Q_1 T_2}{T_1}$$

a vi­dí­me, že \(Q_1\) mů­že­me z rov­ni­ce s klid­nou du­ší vyhodit:

$$- Q_2 \leq -\frac{Q_1 T_2}{T_1}$$

Oto­čí­me:

$$ Q_2 \geq \frac{Q_1 T_2}{T_1}$$

Pře­há­zí­me písmenka:

$$ \frac{Q_2}{T_2} \geq \frac{Q_1}{T_1}$$

A to je vše 🙂 Vi­dí­me, že po skon­če­ní pro­ce­su bu­de en­t­ro­pie vždy ne men­ší, te­dy stej­ná či vět­ší, než před za­čát­kem ta­ko­vé­ho pro­ce­su. A to je dů­vod, proč en­t­ro­pie ne­u­stá­le ros­te — pro­to­že pros­tě ne­mů­že být menší.

To by pro za­čá­tek s ter­mo­dy­na­mi­kou sta­či­lo, příš­tě se za­se po­dí­vá­me na ně­ja­ké čás­ti­ce, tak se těš­te 😉 Zde si též mů­že­te stáh­nout mé po­znám­ky k člán­ku, ze kte­rých jsem vy­chá­zel (po­kud to po mně přečtete) 🙂