Archiv pro štítek: klacky

Studna a dva klacky

Do­stal jsem od in­struk­to­ra v au­to­ško­le vel­mi za­jí­ma­vý pří­klad — po­kud ho zná­te, tím lé­pe, ale fakt jsem ho ne­znal a hod­ně se mi lí­bil, zku­sil jsem te­dy při­jít na ně­ja­ké ře­še­ní 😉 😉 Na­ko­nec mi z to­ho „vy­padlo“ ně­co nor­mál­ní­ho (te­dy re­ál­né­ho), svůj po­stup te­dy uve­řej­ňu­ji zde.

Měj­me ná­sle­du­jí­cí za­dá­ní: Exis­tu­je stud­na ne­zná­mé hloub­ky a prů­mě­ru, do kte­ré ho­dí­me dva klac­ky; je­den tří­me­t­ro­vý, dru­hý dvou­me­t­ro­vý. Před­po­klá­dej­me, že jsou „v ro­vi­ně“ a je­jich mís­to se­tká­ní je nad dnem stud­ny ve výš­ce 1 me­tr. Otáz­ka zní — ja­ký je prů­měr ta­ko­vé stud­ny.

Si­tu­ač­ní ob­rá­zek bych na­vr­hl asi tak­to:

studna
Si­tu­ač­ní plá­nek stud­ny

Za­čal bych asi svo­jí prv­ní myš­len­kou, a to si­ce že ře­še­ní se ur­či­tě bu­de dě­lat ně­jak přes po­dob­nos­ti troj­ú­hel­ní­ků. Za­čal jsem te­dy zu­ři­vě hle­dat růz­né po­dob­nos­ti, ně­kte­ré mě za­ved­ly do sle­pých cest (te­dy ne, že by si ně­kte­ré troj­ú­hel­ní­ky ne­by­ly po­dob­né, ale by­lo mi to k ni­če­mu), ale na­ko­nec se jed­na ces­ta za­da­ři­la, tu zde i pre­zen­tu­ji 🙂

Ze vše­ho nejdří­ve si na­pí­še­me rov­ni­ce, ze kte­rých bu­de­me vy­chá­zet. Jed­né se o sou­sta­vu růz­ně pro­ple­te­ných pra­vo­úh­lých troj­ú­hel­ní­ků. Ze vše­ho nejdří­ve si ur­če­me, že cel­ko­vý prů­měr \(d\) bu­de sa­mo­zřej­mě ro­ven:

$$d = d_1+d_2$$

A ny­ní mů­že­me pra­co­vat s jed­not­li­vý­mi stra­na­mi:

$$\begin{array} aa^2+d^2 & = & 3^2 \\ b^2 + d^2 & = & 2^2\end{array}$$

Tím jsme po­psa­li dva hlav­ní (vel­ké) troj­ú­hel­ní­ky. Ny­ní po­pí­še­me vzta­hy v troj­ú­hel­ní­ku s na­zna­če­nou výš­kou. Vy­jde­me prá­vě z té po­dob­nos­ti, te­dy že:

$$\frac{d_1}{v} = \frac{d}{b}$$

te­dy po do­sa­ze­ní \(v=1\) zís­ká­me:

$$d_1 = \frac{d}{b}$$

a ob­dob­ně

$$d_2 = \frac{d}{a}$$

Vy­já­d­ří­me si jed­nu a dru­hou stra­nu:

$$d_1=\frac{d}{b}, d_2=\frac{d}{a}$$

a do­sa­dí­me do vý­še uve­de­né rov­ni­ce souč­tu čás­tí prů­mě­ru:

$$d=\frac{d}{b}+\frac{d}{a}$$

Z to­ho vy­já­d­ří­me jed­nu či dru­hou pro­měn­nou, za­čně­me tře­ba \(a\):

$$\frac{d}{a}=d-\frac{d}{b}=\frac{db-d}{b}$$

z to­ho te­dy:

$$a = \frac{b}{b-1}$$

pří­pad­ně

$$b = \frac{a}{a-1}$$

To­to do­sa­ď­me do úpl­ně prv­ních dvou rov­nic pro vel­ké troj­ú­hel­ní­ky:

$$d^2+\frac{b^2}{\left(b-1\right)^2}=3^2$$

$$d^2+b^2=2^2$$

Vy­já­d­ří­me si z dru­hé rov­ni­ce \(d^2\) a do­sa­dí­me do prv­ní:

$$2^2-b^2+\frac{b^2}{\left(b-1\right)^2}=3^2$$

Pře­ve­de­me na ro­zum­ný tvar a vy­ře­ší­me ja­ko rov­ni­ci 4. řá­du, tře­ba po­mo­cí Wolfra­mu, to už je jed­no (ale mů­že­te zku­sit ruč­ně) a vy­jdou 4 ře­še­ní, z to­ho 2 kom­plex­ní, kte­rá rov­nou za­vrh­ne­me.

$$b_1=0,7009 ; b_2=1,5761$$

Kte­ré vy­brat? To za­tím ne­ví­me, kaž­do­pád­ně po­kud do­sa­dí­me do rov­ni­ce pro prů­měr a od­moc­ní­me, vy­jdou nám (pro­za­tím) dvě ře­še­ní:

$$d_{I}=\sqrt{2^2-b_1^2} = 1,23$$

$$d_{II}=\sqrt{2^2-b_2^2} = 1,87316$$

Mu­sí­me vy­já­d­řit te­dy stej­né rov­ni­ce, ako­rát pro vy­já­d­ře­né \(b\), te­dy:

$$b=\frac{a}{a-1}$$

Stej­ným po­stu­pem ja­ko vý­še do­sta­ne­me rov­ni­ci:

$$3^2-a^2+\frac{a^2}{\left(a-1\right)^2}=2^2$$

a ta po vy­ře­še­ní dá dva re­ál­né ko­ře­ny:

$$ a_1=-2,34$$

$$a_2 = 2,7357$$

Prv­ní rov­nou vy­ho­dí­me, dél­ky pros­tě zá­por­né ne­chce­me, drž­me se to­ho 🙂 Do­sa­dí­me te­dy \(a_2\) a vy­jde:

$$d=\sqrt{3^2-a_2^2}=1,2312$$

To se te­dy sho­du­je s ře­še­ním „z dru­hé stra­ny“ pro­blé­mu — pro­to ten­to vý­sle­dek pro­hlá­sí­me za fi­nál­ní. Prů­měr stud­ny je te­dy \(1,23\) me­t­rů.