Archiv pro štítek: spin

Polarizace a spin částice (2. část)

Ví­tám vás u po­kra­čo­vá­ní té­ma­tu o po­la­ri­za­ci a spi­nu čás­tic. V prv­ním dí­le jsme zleh­ka na­zna­či­li ma­te­ma­tic­ký apa­rát a obec­né prin­ci­py, v tom­to člán­ku jich dá­le bu­de­me vy­u­ží­vat, pro­to po­kud bu­de­te po­tře­bo­vat, vel­mi do­po­ru­ču­ji otevřít si prv­ní člá­nek a v pří­pa­dě ma­te­ma­tic­kých ne­jas­nos­tí zde se na ně­ho od­ka­zo­vat, mě­lo by tam být vy­svět­le­no vše důležité.

Co je to spin?

Bo­hu­žel, u fy­zi­ky ma­lých čás­tic, jak jsme řek­li dří­ve, po­měr­ně sluš­ně se­lhá­va­jí makro­sko­pic­ké před­sta­vy o prin­ci­pech, stej­ně tak i ja­ká­ko­liv sna­ha vy­svět­lit, k če­mu spin čás­ti­ce při­po­dob­nit. Vel­mi blíz­ce by se dal spin při­po­dob­nit ja­ko mo­ment hyb­nos­ti čás­ti­ce, ale ne v tom vý­zna­mu, že s ním mů­že­me za­chá­zet li­bo­vol­ně jak chce­me, ve své pod­sta­tě se jed­ná o ex­pe­ri­men­tál­ně ově­ře­nou hod­no­tu, kte­rá by­la „tak ně­jak“ po­tře­ba při­dat do co nej­cel­ko­věj­ší­ho mo­de­lu cho­vá­ní částic.[1]Pro dal­ší in­for­ma­ce roz­hod­ně do­po­ru­ču­ji ten­to po­pis ex­pe­ri­men­tu: ElektronovySpin.pdf. Ří­ká nám zjed­no­du­še, ko­li­krát mu­sí­me da­nou čás­ti­ci oto­čit, aby se nám je­vi­la opět stej­ně. Po­kud má­me spin 1, po­té mu­sí­me čás­ti­ci oto­čit o ce­lých 360 stup­ňů, po­kud 2, sta­čí 180 stup­ňů. Spin da­né čás­ti­ce je (je­ho ve­li­kost) přes­ně dá­na a nelze tu­to hod­no­tu změ­nit. Na­víc ty­to hod­no­ty mo­hou na­bý­vat pou­ze ce­lo­čí­sel­ných a ne­bo po­lo­vič­ních ná­sob­ků \(\hbar\)[2]Redukované planc­ko­vy kon­stan­ty, te­dy \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\)., te­dy spi­ny mů­že­me mít \(\left(1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1,\frac{3}{2},\ldots\right)\) a tak podobně.

Směr spi­nu čás­ti­ce (ni­ko­liv je­ho hod­no­tu) mů­že­me mě­nit např. mag­ne­tic­kým po­lem, kte­rým čás­ti­ce pro­chá­zí. Budeme-li se po­hy­bo­vat v běž­ných třech osách po­hy­bu (pra­vo­le­vá, hor­no­dol­ní a pře­do­zad­ní), mů­že­me jed­no­du­še spin ozna­čit ja­ko hor­ní, dol­ní, pra­vý, le­vý atd. Pro ta­to ozna­čo­vá­ní je za­běh­nu­té po­u­ží­vá­ní pís­me­nek z an­g­lic­kých slov to­to po­pi­su­jí­cí, to­ho se bu­de­me dr­žet i zde — te­dy u ja­ko upd ja­ko down atd. Po­kud si ny­ní před­sta­ví­me spin ja­ko ro­ta­ci, ta­to ro­ta­ce bu­de mít ně­ja­kou osu[3]Opět — osu bu­de mít pou­ze v makro­sko­pic­kém svě­tě, v pří­pa­dě spi­nu ho­vo­řit o ose ro­ta­ce je chyb­né.. Sta­čí nám te­dy pro po­pis spi­nu ja­ko ta­ko­vé­ho pou­ze zná­zor­ně­ní smě­ru té­to osy, a to je prá­vě vý­še zmí­ně­né u ne­bo d.

Tak ně­jak asi tu­ší­me, že se spi­nem to bu­de vel­mi po­dob­né ja­ko s po­la­ri­za­cí čás­ti­ce. Budeme-li mít např. ně­ja­ký ex­pe­ri­ment, kte­rý nám ří­ká, jest­li mě­ře­ná čás­ti­ce má spin u ne­bo d, po­kud do to­ho­to ex­pe­ri­men­tu po­šle­me u čás­ti­ci, řek­ne nám, že má­me spin u a na­o­pak. Stej­ně ja­ko u po­la­ri­za­ce, po­kud po­šle­me do ex­pe­ri­men­tu čás­ti­ci, kte­rá má spin na­to­če­ný pod ně­ja­kým úhlem, do­sáh­ne­me ur­či­té­ho po­mě­ru ud v tom­to ex­pe­ri­men­tu (při vět­ším po­čtu čás­tic, tře­ba 100 čás­tic, te­dy zís­ká­me tře­ba 60 % čás­tic s u a 40 % s d.)

Bra-ketovým zá­pi­sem (pro oži­ve­ní do­po­ru­ču­ji 1. díl se­ri­á­lu) te­dy mů­že­me da­ný spin čás­ti­ce za­psat jako:

$$|p_s\rangle=\alpha|\mathrm{u}\rangle+\beta|\mathrm{d}\rangle$$

Te­dy že da­ný spin \(p_s\) bu­de souč­tem am­pli­tud prav­dě­po­dob­nos­tí pro ud. Abychom z am­pli­tu­dy prav­dě­po­dob­nos­ti do­sta­li pří­mo prav­dě­po­dob­nost, mu­sí­me „umoc­nit na dru­hou“ — jen­že po­zor, to­to pla­tí pou­ze pro \(\mathbb{R}\). Pro \(\mathbb{C}\) bu­de­me muset po­u­žít sou­čin dvou kom­plex­ně kon­ju­go­va­ných čí­sel, te­dy \(\alpha\alpha^*\)[4]Komplexně kon­ju­go­va­né čís­lo, pro zo­pa­ko­vá­ní, je čís­lo, kte­ré má stej­nou re­ál­nou část, ale opač­nou ima­gi­nár­ní. Sa­mi vi­dí­me, že u re­ál­ných čí­sel se jed­ná oprav­du o „umoc­ně­ní na dru­hou“. Sa­mo­zřej­mě rov­nou vi­dí­me, že prav­dě­po­dob­nos­ti bu­dou muset být:

$$\alpha\alpha^*+\beta\beta^*=1$$

Ta­ké rov­nou vi­dí­me ná­sle­du­jí­cí možnosti[5]vše vzta­že­no k ex­pe­ri­men­tu, kdy mě­ří­me „je to u?:

$$
p_{u}=1|\mathrm{u}\rangle+0|\mathrm{d}\rangle\\
p_{d}=0|\mathrm{u}\rangle+1|\mathrm{d}\rangle\\
p_{r}=\frac{1}{\sqrt{2}}|\mathrm{u}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\mathrm{d}\rangle
$$

Co však zna­čí pří­mo \(\mathrm{u}\) a \(\mathrm{d}\)? Jed­ná se o dva or­to­nor­mál­ní vektory[6]Velmi po­dob­né or­to­go­nál­ním, jen ma­jí jed­not­ko­vou ve­li­kost. Or­to­go­nál­ní vek­to­ry nám ří­ka­jí, že po­kud je je­den „ně­čím“, pak ten dru­hý je vším jen ne „ně­čím“, te­dy např. po­kud je­den vek­tor po­pi­su­je stav u, po­té or­to­go­nál­ní po­pi­su­je stav přes­ně ne-u, te­dy d 🙂 (Ano, ty­to  vek­to­ry jsou te­dy li­ne­ár­ně ne­zá­vis­lé a tvo­ří bá­zi pro­sto­ru, ale li­ne­ár­ní al­ge­b­ru nech­me na jin­dy.) , vel­mi po­dob­ně ja­ko v pří­pa­dě po­la­ri­za­ce. Mu­sí­me se ješ­tě po­dí­vat na je­den „zvlášt­ní typ“ po­la­ri­za­ce, te­dy kru­ho­vou po­la­ri­za­ci.

Kruhová polarizace

Jak asi ví­me, svět­lo je ozna­čo­vá­no ja­ko elek­tro­mag­ne­tic­ké vl­ně­ní, což zna­čí přes­ně to, co to je — ob­sa­hu­je jak „elek­tric­kou“ tak „mag­ne­tic­kou“ část. Představíme-li si svě­tel­ný pa­prsek, kte­rý pu­tu­je pro­sto­rem ně­ja­kým přímým směrem:

Světelný paprsek
Svě­tel­ný paprsek

Ten­to svě­tel­ný pa­prsek je tvo­řen dvě­ma kol­mý­mi vl­ně­ní­mi — elek­tric­kým a mag­ne­tic­kým. Ty se mo­hou vy­sky­to­vat pou­ze ja­ko „kol­mé“ ve­li­či­ny na směr ší­ře­ní pa­prsku, bu­dou se te­dy po­hy­bo­vat v rovině:

Elektromagnateické vlnění se může rozkmitat pouze v této rovině, která je kolmá na směr šíření vlny.
Elek­tro­mag­ne­tic­ké vl­ně­ní se mů­že roz­kmi­tat pou­ze v té­to ro­vi­ně, kte­rá je kol­má na směr ší­ře­ní vlny.

Vl­ně­ní se te­dy mů­že roz­kmi­tá­vat pou­ze po té­to ploš­ce. Vl­ně­ní elek­tric­ké a mag­ne­tic­ké je na se­be vzá­jem­ně kol­mé, tedy:

Kruhova polarizace -- vlnění E & B
Kru­ho­va po­la­ri­za­ce — vl­ně­ní E & B

Nut­no po­dotknou­ti, že ob­rá­zek je vel­mi sil­ně mi­mo pro­por­ce, elek­tric­ká část vl­ně­ní je totiž mno­hem sil­něj­ší než mag­ne­tic­ká, ale teď nám jde spí­še o zob­ra­ze­ní prin­ci­pu než o správ­né pro­por­ce grafu 🙂

Nicmé­ně k vý­po­čtům sa­mot­ným. Po­kud bu­de­me před­po­klá­dat, že \(E\) a \(B\) jsou kol­mé a jsou to kla­sic­ké vl­ny (si­nu­sov­ky), označíme-li sou­řad­né osy takto:

Označení os
Ozna­če­ní os

Te­dy že vl­na se po­hy­bu­je po ose \(z\), po­té mů­že­me psát pro intenzity:

$$
E_x=E_{E_{max}}\sin(k\mathbb{\mathrm{z}}+\omega t)\\
E_y=E_{B_{max}}\cos(k\mathbb{\mathrm{z}}+\omega t)
$$

Budeme-li na­ší ro­vi­nou po­sou­vat po ose \(z\), uvi­dí­me, že se nám bu­dou prak­tic­ky stří­dat dvě zá­klad­ní po­la­ri­za­ce — tam, kde bu­de hod­no­ta \(E_E\) ma­xi­mál­ní, tam bu­de hod­no­ta \(E_B\) mi­ni­mál­ní a na­o­pak. Bu­dou se prak­tic­ky ne­u­stá­le do­há­nět, bu­de to prá­vě vy­pa­dat, ja­ko kdy­by se vek­tor po­la­ri­za­ce ne­u­stá­le otá­čel; pro­to kru­ho­vá po­la­ri­za­ce.

Zkus­me se ny­ní po­dí­vat na bra-ketový zá­pis ta­ko­vé­ho je­vu a jak vů­bec na to. Bu­de­me před­po­klá­dat, že pro na­ši po­la­ri­za­ci bu­de pla­tit ně­co ja­ko (před­po­klá­dej­me, že \(p_{kr}\) bu­de zna­me­nat „Po­la­ri­za­ce kru­ho­vá do­pra­va“, te­dy ve smě­ru ho­di­no­vých ru­či­ček, ale pro za­čá­tek je to vlast­ně jedno):

$$|p_{kr}>=\alpha|\mathrm{x}\rangle+\beta|\mathrm{y}\rangle$$

Což by zna­či­lo, že mu­sí exis­to­vat ta­ko­vá prav­dě­po­dob­nost, kdy \(\alpha^2+\beta^2=1\). V čem je ta­dy pro­blém? Vi­dí­me, že obě čís­la bu­dou klad­ná, po­kud je zvo­lí­me z \(\mathbb{R}\)[7]Protože 2. moc­ni­na če­ho­ko­liv z $latex\mathbb{R}$ bu­de klad­né čís­lo.. Pro­to mu­sí­me za­čít po­ku­ko­vat po ob­las­ti $latex\mathbb{C}$, te­dy kom­plex­ních čís­lech. Po­kud bychom zvolili:

$$1|x\rangle+i|y\rangle$$

Moh­li bychom na­mí­tat, že to pře­ce ne­fun­gu­je, pro­to­že \(1^2+i^2=1-1=0\neq1\). Jen­že! V prv­ním člán­ku jsme si řek­li, že abychom se do­sta­li z prav­dě­po­dob­nost­ních am­pli­tud do pří­mé prav­dě­po­dob­nos­ti, mu­sí­me ni­ko­liv pou­ze umoc­nit, ale vy­ná­so­bit kom­plex­ně kon­ju­go­va­ným čís­lem, te­dy vý­po­čet bude:

$$\alpha\alpha^*+\beta\beta^*=1$$

A to už fun­go­vat bude:

$$1\cdot 1^*+i\cdot i^*=1\cdot 1 + i\cdot (-i) = 2$$

To si­ce tak­též ne­ní \(0\), ale už se blí­ží­me k cí­li, mu­sí­me pou­ze na­nor­mo­vat jed­not­li­vé ope­ran­dy, stej­ně ja­ko jsme dě­la­li v prv­ním člán­ku:

$$
\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1^*}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{i^*}{\sqrt{2}}=
\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
$$

Vek­tor kru­ho­vé po­la­ri­za­ce vpra­vo \(p_{kr+}\) a vle­vo \(p_{kr-}\) te­dy mů­že­me na­psat jako:

$$
|p_{kr+}\rangle=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\\
|p_{kr-}\rangle=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
$$

Zkus­me ny­ní kla­sic­ký po­kus s čás­ti­cí s jed­nou a fil­trem s dru­hou po­la­ri­za­cí a ověř­me, jest­li pro da­nou po­la­ri­za­ci pla­tí před­po­kla­da­né, te­dy že čás­ti­ce ne­pro­jde. Při­prav­me čás­ci­ci s po­la­ri­za­cí v pro­tismě­ru ho­di­no­vých ru­či­ček a přo­žeň­me ji fil­trem, kte­rý pro­pouš­tí pou­ze čás­ti­ce s po­la­ri­za­cí ve smě­ru hod. ru­či­ček. Uvě­do­m­me si tak­též, že pů­vod­ní před­pis pro ře­še­ní spo­čí­vá v po­u­ži­tí prv­ní­ho vek­to­ru v kon­ju­go­va­né formě!:

$$
\langle{}p_{kr-}|p_{kr+}\rangle=
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=
\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{i}{\sqrt{2}}=
\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}=0
$$

Stej­ně tak, po­kud po­u­ži­je­me přes­ně in­verz­ní za­dá­ní, tedy:

$$
\langle{}p_{kr+}|p_{kr-}\rangle=
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=
\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{-i}{\sqrt{2}}\frac{-i}{\sqrt{2}}=
\frac{1}{2}+\frac{(-i)^2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0
$$

Zkus­me ny­ní ješ­tě po­kus s kru­ho­vě po­la­ri­zo­va­ným svět­lem a po­la­ri­zač­ním fil­trem pod ně­ja­kým obec­ným úhlem \(\phi\):

$$
\langle{}\phi|p_{kr+}\rangle=
\begin{pmatrix}\cos\left(\phi\right) & \sin\left(\phi\right)\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=
\cos(\phi)\frac{1}{\sqrt{2}}+\sin(\phi)\frac{i}{\sqrt{2}}
$$

Abychom z tu­té prav­dě­po­dob­nost­ní am­pli­tu­dy do­sta­li prav­dě­po­dob­nost, mu­sí­me samozřejmě:

$$
\left(\langle{}\phi|p_{kr+}\rangle\right)^2=
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\frac{i}{\sqrt{2}}\sin(\phi)\right)^2=\\=
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\frac{i}{\sqrt{2}}\sin(\phi)\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\frac{-i}{\sqrt{2}}\sin(\phi)\right)=\\=
\left(\frac{1}{2}\cos^2(\phi)-\frac{i^2}{2}\sin^2(\phi)\right)=
\left(\frac{1}{2}\cos^2(\phi)+\frac{1}{2}\sin^2(\phi)\right)=
\frac{1}{2}\left(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)\right)=\frac{1}{2}
$$

Vy­u­žijme ješ­tě tes­tu s her­mi­tov­ským ope­rá­to­rem, kte­rý mů­že­me de­fi­no­vat takto[8]Viz https://www.eng.tau.ac.il/~shtaif/PolarizationClass.pdf.[9]Co to je, jsme ře­ši­li v mi­nu­lém člán­ku.:

$$
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
$$

A te­dy jest­li vy­ho­vu­je výrazu:

$$
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

Roznásobíme-li te­dy:

$$
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\frac{1}{\sqrt{2}} – i\frac{i}{\sqrt{2}} \\
i\frac{1}{\sqrt{2}}+0\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

A te­dy vi­dí­me, že vlast­ní vek­tor od­po­ví­dá mě­ře­né­mu a před­po­klá­da­né­mu, a te­dy \(\lambda=1\).

Třípolarizátorový paradox

Ten­to paradox[10]Viz http://​www​.in​for​mati​on​phi​lo​so​pher​.com/​s​o​l​u​t​i​o​n​s​/​e​x​p​e​r​i​m​e​n​t​s​/​d​i​r​a​c​_​3​-​p​o​l​a​r​i​z​e​rs/[11]Viz http://​ali​e​nry​der​flex​.com/​p​o​l​a​r​i​z​er/[12]Viz polarize.pdf uka­zu­je za­jí­ma­vou věc, kte­rá vy­pa­dá dost ne­mys­li­tel­ně; vezmeme-li dva polarizátory[13]Polarizační fil­try…, kte­ré na­sta­ví­me kol­mo na se­be (je­jich ro­vi­ny po­la­ri­za­ce), uka­zá­a­li jsme si, že prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du čás­ti­ce je \(0\). Nicmé­ně, zařadíme-li me­zi dva ta­ko­vé fil­try tře­tí po­la­ri­zá­tor pod ně­ja­kým úhlem, např. 45°, bu­de prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du čás­ti­ce \(P: \left(0;1\right)\). Jak je to­to mož­né? Vy­u­žijme již zná­mé­ho ma­te­ma­tic­ké­ho aparátu.

Ví­me už, že prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du fo­to­nem po­la­ri­zač­ním fil­trem o obec­ném úhlu \(\phi\) je \(p_{45}=\cos^2(\phi)=\cos^2(45)=\frac{1}{2}\). Připravíme-li pro­to po­la­ri­zo­va­ný proud čás­tic, kte­rý po­šle­me 1. po­la­ri­zá­to­rem se stej­ným úhlem po­la­ri­za­ce, ten­to nám da­ný pa­prsek ne­změ­ní (v rám­ci in­ten­zi­ty) a bu­de ne­u­stá­le \(100\%\) prav­dě­po­dob­nost, že pa­prsek pro­jde. Po 2. po­la­ri­zá­to­ru bu­de prav­dě­po­dob­nost po­lo­vič­ní, te­dy \(\frac{1}{2}\). No a po tře­tím, kte­rý je opět o oněch 45° oto­čen, bu­de pravděpodobnost:

$$
p_{II}=p_{45}\cos^2(45)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=25\ \%
$$

Prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du ta­ko­vé čás­ti­ce je te­dy \(45\ \%\). Ale po­zor! Jde o svět­lo, kte­ré už má­me po­la­ri­zo­va­né, po­kud do prv­ní­ho po­la­ri­zá­to­ru po­šle­me ně­ja­ké obec­né ne­po­la­ri­zo­va­né svět­lo, uvi­dí­me, že už po prv­ním fil­tru bu­de­me mít mno­hem men­ší prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du čás­ti­ce, kon­krét­ně \(\frac{1}{2}\), po­kud te­dy bychom mě­ři­li ně­ja­kou in­ten­zi­tu me­zi vstu­pu­jí­cím svět­lem a vý­stup­ním svět­lem, do­sta­ne­me se ješ­tě na po­lo­vi­nu z oněch \(25\ \%\), te­dy na \(12,5\ \%\).

Sa­mo­zřej­mě bychom moh­li do­po­čí­tat přes vlast­ní vek­tor, ale když jsme si už uká­za­li vý­stu­py z té­to me­to­dy, mů­že­me jen vhod­ně zkom­bi­no­vat vý­stu­py, nicmé­ně však by to vy­šlo na­pros­to stejně 🙂

Definice matic pro výpočet

Stej­ně ja­ko u po­la­ri­za­ce, i zde mů­že­me vy­u­žít her­mi­tov­ských ope­rá­to­rů a do­sa­zo­vat do rov­ni­ce. Po­la­ri­za­ce a spin se bu­dou cho­vat prak­tic­ky totožně[14]Až na pár vel­mi pod­stat­ných roz­dí­lů, kte­ré si sa­mo­zřej­mě zá­hy uká­že­me. (ma­te­ma­tic­ky), budeme-li de­te­ko­vat čás­ti­ce s ně­ja­kým spi­nem a do to­ho­to de­tek­to­ru bu­de­me po­sí­lat čás­ti­ce se spi­nem ji­ným či „pod ně­ja­kým úhlem“, vý­sled­né vý­po­čty bu­dou téměř stejné[15]Tedy pro­porč­ně bu­dou ja­ko \(\cos^2(\phi)\), nicmé­ně leh­ko odlišné..

Ma­ti­ce, kte­ré ve vý­po­čtu po­u­ží­vá­me se jme­nu­jí Pau­li­ho ma­ti­ce[16]Pod­le fy­zi­ka Pau­li­ho, kte­rý za svůj vy­lu­čo­va­cí prin­cip do­stal No­be­lo­vu ce­nu za fy­zi­ku. a ma­jí tvar[17]Viz http://​pla​netmath​.org/​P​a​u​l​i​M​a​t​r​i​ces pro smě­ry up/downright/leftin/out jako:

$$
\mathrm{\hat{H}}_{u/d}=\sigma_z=
\begin{pmatrix}
1  & 0\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}\\
\mathrm{\hat{H}}_{r/l}=\sigma_x=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}\\
\mathrm{\hat{H}}_{i/o}=\sigma_y=
\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0\\
\end{pmatrix}
$$

Vi­dí­te, že jsem ozna­čil jed­not­li­vé ma­ti­ce ja­ko \(\sigma_z\) a po­dob­ně — jed­no­du­še ma­ti­ce, kte­rá má osu \(z\) je ozna­če­ná ja­ko \(\sigma_z\) atd. 🙂 Prv­ní ma­ti­ce, up/down te­dy má osu \(z\) a pro­to je ozna­če­ná \(\sigma_z\). Po­dí­vej­me se však na tu­tu ma­ti­ci troš­ku po­drob­ně­ji. Proč jsou zvo­le­né zrov­na ty­to hodnoty?

Ví­me, že (chce­me, aby…) bu­de platit:

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
=
1
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
$$

Z to­ho mů­že­me vel­mi snad­no ur­čit ne­zná­mou ma­ti­ci (byť to na prv­ní po­hled ne­vy­pa­dá). Na­piš­me si, co ví­me, že bu­de pla­tit za vzta­hy pod­le to­ho, jak bychom ma­ti­ci roz­ná­so­bo­va­li. Prv­ní vztah te­dy bude:

$$a \cdot 1 + b \cdot 0 = 1 $$

Z to­ho je na­pros­to jas­ně vi­dět, že ať bu­de \(b\) co­ko­liv, \(a\) mu­sí být \(1\), aby byl sou­čet če­ho­ko­liv a nu­ly jed­nič­ka. Te­dy vi­dí­me, že \(a=1\). Pro dru­hý řá­dek máme:

$$ c \cdot 1 + b \cdot 0 = 0$$

Te­dy vi­dí­me, že \(c=0\). No­jo, ale co teď? 🙂 Po­řád nám chy­bí dva vý­ra­zy, tak si po­mů­že­me tím, že zná­me dva vlast­ní vek­to­ry pro ud spin, po­u­ži­je­me pros­tě jen „ten dru­hý“ vlast­ní vek­tor (jest­li jste prv­ní po­u­ži­li ten či onen je jed­no, samozřejmě 🙂 ):

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix}
=
-1
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}
$$

A opět stej­ným způsobem:

$$ a \cdot 0 + b \cdot 1 = 0$$

Te­dy vi­dí­me, že \(b=0\). No a pro po­sled­ní možnost:

$$ c \cdot 0 + d \cdot 1 = -1$$

No a ta­dy vi­dí­me, že \(d=-1\). Cel­ko­vá ma­ti­ce je tedy:

$$
\sigma_z
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
$$

A ta­ko­vá ma­ti­ce je Her­mi­tov­ská (viz před­cho­zí člá­nek).  Stej­ným způ­so­bem do­ká­že­me od­vo­dit i ostat­ní ma­ti­ce, sa­mo­zřej­mě tam vždy po­u­ži­je­me troš­ku ji­ný trik, ale v prin­ci­pu je to po­řád to sa­mé, vy­ře­šit ně­jak chytře rov­ni­ci o 4 neznámých:

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
-1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

Pro zjed­no­du­še­ní bu­du před­po­klá­dat, že rov­ni­ci s ma­ti­ce­mi mo­hu vy­ná­so­bit li­bo­vol­ným čís­lem na obou stra­nách a rov­nost zů­sta­ne za­cho­vá­na (chci se pros­tě zba­vit ne­u­stá­lé­ho ob­lud­né­ho psa­ní \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)). Mo­hu te­dy ří­ci, že:

$$
\begin{matrix}
a \cdot 1 &+& b \cdot 1 &= &1 \\
c \cdot 1 &+& d \cdot 1 &= &1 \\
a \cdot 1 &-& b \cdot 1 &= &-1 \\
c \cdot 1 &-& d \cdot 1 &= &1
\end{matrix}
$$

Ny­ní jen jed­no­du­še se­čtě­me rov­ni­ce spo­lu, hned prv­ní a tře­tí rov­ni­ci, vznik­ne nám \(a+a = 0\), te­dy je jas­ně vi­dět, že \(a=0\). Po­té se­čtě­me 2. a 4. rov­ni­ci, te­dy uvi­dí­me \(b+b = 2\), te­dy \(b=1\). Když to­to vi­dí­me, ve 4. rov­ni­ci rov­nou vi­dí­me, že \(1-d=1\), te­dy \(d = 0\). No a stej­ně po­kud vi­dí­me z 2. rov­ni­ce \(c=1\). Te­dy ma­ti­ce bude:

$$
\sigma_x
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}
$$

Na­ko­nec se po­dí­vej­me na vý­po­čet \(\sigma_y\). Ví­me, že mu­sí pla­tit ná­sle­du­jí­cí vztahy:

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
+1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
-1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

Udě­lej­me to stej­né, co jsme dě­la­li výše:

$$
\begin{matrix}
a  &+& b i &= &1 \\
c  &+& d i &= &i \\
a &-& b i &= &-1 \\
c &-& d i &= &1
\end{matrix}
$$

Po­kud se­čte­me 1. a 2. rov­ni­ci, vi­dí­me, že \(2a = 0\), te­dy že \(a=0\). Po­kud je \(a=0\), po­té mu­sí pla­tit, že \(bi=1\), a te­dy \(b=\frac{1}{i}=-i\). Ny­ní se­čtě­me 2. a 4. rov­ni­ci, vy­jde, že \(2c=2i\), te­dy \(c=i\). A sa­mo­zřej­mě tím pá­dem vi­dí­me, že \(d=0\).

Spin obecně v obecném úhlu

Těch­to ma­tic mů­že­me vy­u­žít při ur­če­ní obec­ných pra­vi­del, jak se cho­vá spin, po­kud „ne­ví­me, co mě­ří­me“, ale pros­tě „to mě­ří­me“. Máme-li však ně­ja­kou čás­ti­ci (obec­ně) a nastavíme-li na­še mě­ří­cí za­ří­ze­ní „do obec­né­ho úhlu“ vů­či spi­nu té­to čás­ti­ce (pro­tže ne­tu­ší­me, jak to mů­že do­pad­nout). Označíme-li te­dy obec­ně ně­ja­ký náš vek­tor \(\mathrm{\mathbb{\vec{u}}}\) ja­ko vek­tor, po­té mů­že­me psát složkově:

$$
\vec{u}=u_x + u_y + u_z
$$

A pro­to­že vek­tor bu­de (chce­me, aby byl…) jed­not­ko­vý, po­té bu­de pla­tit pythagoras:

$$
u^2_x+u^2_y+u^2_z=1
$$

Zpět ale k rov­ni­ci vý­še, kde jsem ro­ze­psal pro jed­not­li­vé sou­řad­né osy. Asi vi­dí­te, kam tím mí­řím a proč jsem tak udě­lal; vek­to­ry pros­tě lze kla­sic­ky li­ne­ár­ně sčí­tat, no a pro­to­že ope­rá­to­ry už má­me od­vo­ze­né, mů­že­me jich rov­nou vy­u­žít v obec­ném zápisu:

$$
u_x\hat{\sigma_x}+u_y\hat{\sigma_y}+u_z\hat{\sigma_z}=\hat{\sigma_u}
$$

Tu­to li­ne­ár­ní su­per­po­zi­ci snad­no vy­ře­ší­me, obec­ně to vy­pa­dá takto:

$$
A\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}+
B\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}+
C\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Aa+Ba+Ca & Ab+Bb+Cb \\ Ac+Bc+Cc & Ad+Bd+Cd
\end{pmatrix}
$$

Tak­že:

$$
\hat\sigma_u =
u_x
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}
+
u_y
\begin{pmatrix}
0 & -i \\ i & 0
\end{pmatrix}
+
u_z
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
u_z & u_x-iu_y \\
u_x+iu_y & -u_z
\end{pmatrix}
$$

Rov­nou z té­to ma­ti­ce (dou­fám!) vi­dí­me, že je her­mi­tov­ská. Pro­to mů­že­me \(\hat{\sigma_u}\) po­u­žít ja­ko ope­rá­tor ve známém:

$$
\hat{\sigma_u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}$$

A sa­mo­zřej­mě mů­že­me psát:

$$
\hat{\sigma_u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=+1\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}$$

Ny­ní si bu­de­me ješ­tě muset lehce po­hrát s nor­ma­li­za­cí vek­to­ru \(\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\), pro­to­že ji­nak by nám opět vy­chá­ze­ly div­né hodt­no­ty prav­dě­po­dob­nos­tí, ty­pu 400 % a tak. Jak pro­vést te­dy normalizaci?

Abychom moh­li ta­ko­vou věc udě­lat obec­ně, mu­sí­me udě­lat opět ta­ko­vý ma­lý trik. Ne­ní to nic ne­le­gál­ní­ho, ale hod­ně nám to zjed­no­du­ší prá­ci. Po­kud ví­me, že vlast­ní vek­tor bu­de vy­pa­dat tak, jak jsem psal v před­cho­zí vě­tě, stej­ně tak, po­kud vím, že po­kud chci, aby byl nor­ma­li­zo­va­ný, bu­de jed­not­ko­vý a tím pá­dem mo­hu před­po­klá­dat, že i ně­ja­ký ji­ný vek­tor, kte­rý mís­to ně­ho po­u­ži­je­me (sub­sti­tu­cí), bude-li jed­not­ko­vý a bu­de mít stej­né vlast­nos­ti, bu­de po­u­ži­tel­ný stej­ně ja­ko vek­tor pů­vod­ní. Te­dy po­kud pro­hlá­sí­me, že:

$$
\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\alpha_0\end{pmatrix}
$$

a budeme-li dá­le pra­co­vat s tím­to vek­to­rem, uvi­dí­me, že si dost uleh­čí­me prá­ci a zpět­ně se do­sta­ne­me tam, kde jsme za­ča­li, ale bu­de­me mít vy­ře­še­nou nor­ma­li­za­ci. Co je te­dy ta­to hod­no­ta \(\alpha_0\)? Pojď­me se po­dí­vat, jak to­to od­vo­dit. Ví­me, že budeme-li pře­do­pklá­dat, že vek­tor \(\begin{pmatrix}1\\\alpha_0\end{pmatrix}\) bu­de nor­ma­li­zo­ván, bu­de se cho­vat ja­ko kte­ré­ko­liv ji­né vlast­ní vektory[18]to ne­zna­me­ná, že je to po­sta­ču­jí­cí pod­mín­ka ta­ko­vé funk­ce a bu­de platit:

$$
\begin{pmatrix}
u_z & u_x-iu_y \\
u_x + iu_y & -u_z
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
=
+1
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
$$

Zkus­me vy­tvo­řit prv­ní rovnici:

$$
u_z + \alpha_0(u_x-iu_y) =1
$$

Z to­ho jas­ně do­ká­že­me vy­já­d­řit \({}\alpha_0{}\): 🙂

$$
\alpha_0(u_x-iu_y)=1-u_z
\alpha_0=\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
$$

A mů­že­me dosadit:

$$
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
\end{pmatrix}
$$

Nicmé­ně ten­to vek­tor te­dy nej­spí­še po­řád ne­bu­de (s nej­vět­ší prav­dě­po­dob­nos­tí) nor­ma­li­zo­ván. A s tím si mu­sí­me po­ra­dit. Mu­sí te­dy sou­čas­ně pla­tit dva ná­sle­du­jí­cí vtazhy:

$$
|\phi\rangle=
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
\\
\phi\phi^*=1
$$

Mu­sí te­dy platit:

$$
\begin{pmatrix}
1 &\alpha_0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
=
1
$$

Bu­de­me chvil­ku před­po­klá­dat, že stá­le „nejsme nor­ma­li­zo­vá­ni“. Zvol­me si za nor­ma­li­zač­ní kon­stan­tu na­pří­klad \(\nu\). Po­tom bu­de pla­tit, že nor­ma­li­zo­va­ný vztah vý­še bu­de vy­pa­dat jako:

$$
|\phi\rangle=
\nu\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
$$

Mů­že­me te­dy psát:

$$
\nu
\begin{pmatrix}
1 & \alpha_0
\end{pmatrix}
\nu
\begin{pmatrix}
1 \\ \alpha_0
\end{pmatrix}
=
1
$$

a to ře­šit jako

$$
\nu^2
\left(
1+\color{red}{\alpha_0^*}\color{green}{\alpha_0}
\right)
= 1
$$

To vy­ře­ší­me (do­sa­dí­me za \(\alpha_0\)):

$$
\nu^2
\left[
1+
\color{red}{
\left(
\frac{1-u_z}{u_x+iu_y}
\right)
}
\color{green}{
\left(
\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
\right)
}
\right]
=1
$$

A teď na­sta­ne oprav­do­vý „hus­tý trik“ 🙂 Ví­me, nej­pr­ve roz­ná­so­bí­me (to trik ješ­tě není):

$$
\nu^2
\left[
1+
\left(
\frac{\left(1-u_z\right)^2}{u_x^2+u_y^2}
\right)
\right]
=1
$$

A ny­ní na­sta­ne vel­ký trik. Ví­me, že na­ho­ře jsme pro při­po­me­nu­tí psa­li, že u jed­not­ko­vé­ho vek­to­ru bu­de pla­tit pythagorské:

$$
\color{pink}{u_x^2+u_y^2}+u_z^2=1
$$

Ba­rev­ně má­me ozna­če­nou část, kte­rou však má­me ve jme­no­va­te­li! Mů­že­me te­dy mís­to jme­no­va­te­le psát:

$$
u_x^2+u_y^2=1-u_z^2
$$

A to nám (jak vi­dí­te) hod­ně zjed­no­du­ší práci 🙂

$$
\nu^2
\left[
1+
\left(
\frac{\left(1-u_z\right)^2}{1-u_z^2}
\right)
\right]
=1
$$

Ny­ní mů­že­me roz­lo­žit jme­no­va­te­le a zkrátit:

$$
\nu^2
\left[
1+
\left(
\frac{\left(1-u_z\right)^2}{\left(1-u_z\right)\left(1+u_z\right)}
\right)
\right]
=1
$$

$$
\nu^2
\left[
1+
\frac{\left(1-u_z\right)}{\left(1+u_z\right)}
\right]
=1
$$

$$
\nu^2
\left[
\frac{\left(1+u_z\right)}{\left(1+u_z\right)}
+
\frac{\left(1-u_z\right)}{\left(1+u_z\right)}
\right]
=1
$$

$$
\nu^2
\left[
\frac{2}{\left(1+u_z\right)}
\right]
=1
$$

Z to­ho už snad­no od­vo­dí­me \(\nu\) jako:

$$
\nu^2=
\frac{1+u_z}{2}
$$

a te­dy:

$$
\nu = \sqrt{\frac{1+u_z}{2}}
$$

A tím má­me nor­ma­li­zač­ní fak­tor vy­ře­še­ný. Ja­ko zkouš­ku si klid­ně (mů­že­te sa­mi) do­saď­te za \(u_x=1\) a ostat­ní prv­ky dej­te nu­lo­vé, vy­jdou vám vlast­ní vek­to­ry, kte­ré už jsme po­u­ží­va­li. Pou­ze do­saď­te do:

$$
|\phi\rangle=
\sqrt{\frac{1+u_z}{2}}
\begin{pmatrix}
1 \\
\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
\end{pmatrix}
$$

Uvi­dí­te, že to bu­de vycházet 🙂

To­lik asi k nor­ma­li­za­ci. Po­kud bychom obec­ně při­pra­vi­li ně­ja­kou čás­ti­ci v obec­ném sta­vu a úhlu, mě­ři­li ji v ji­ném obec­ném úhlu, vy­jde nám prav­dě­po­dob­nost \(P=\cos^2\frac{\phi}{2}\) (vy­u­ži­je­me při tom vý­po­čtů, kte­ré už jsme si ta­dy uka­zo­va­li, nic ji­né­ho). Ten­to člá­nek už je po­měr­ně dlou­hý, pro­to ho zde ny­ní utně­me (v nej­lep­ším pře­stat, že 🙂 ) a příš­tě se vě­nuj­me dal­ším vě­cem a zá­ko­ni­tos­tem, kte­ré s po­la­ri­za­ce­mi a spi­nem souvisejí.

 

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Pro dal­ší in­for­ma­ce roz­hod­ně do­po­ru­ču­ji ten­to po­pis ex­pe­ri­men­tu: ElektronovySpin.pdf.
2. Redukované planc­ko­vy kon­stan­ty, te­dy \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\).
3. Opět — osu bu­de mít pou­ze v makro­sko­pic­kém svě­tě, v pří­pa­dě spi­nu ho­vo­řit o ose ro­ta­ce je chyb­né.
4. Komplexně kon­ju­go­va­né čís­lo, pro zo­pa­ko­vá­ní, je čís­lo, kte­ré má stej­nou re­ál­nou část, ale opač­nou ima­gi­nár­ní. Sa­mi vi­dí­me, že u re­ál­ných čí­sel se jed­ná oprav­du o „umoc­ně­ní na dru­hou“.
5. vše vzta­že­no k ex­pe­ri­men­tu, kdy mě­ří­me „je to u?
6. Velmi po­dob­né or­to­go­nál­ním, jen ma­jí jed­not­ko­vou ve­li­kost. Or­to­go­nál­ní vek­to­ry nám ří­ka­jí, že po­kud je je­den „ně­čím“, pak ten dru­hý je vším jen ne „ně­čím“, te­dy např. po­kud je­den vek­tor po­pi­su­je stav u, po­té or­to­go­nál­ní po­pi­su­je stav přes­ně ne-u, te­dy d 🙂 (Ano, ty­to  vek­to­ry jsou te­dy li­ne­ár­ně ne­zá­vis­lé a tvo­ří bá­zi pro­sto­ru, ale li­ne­ár­ní al­ge­b­ru nech­me na jin­dy.)
7. Protože 2. moc­ni­na če­ho­ko­liv z $latex\mathbb{R}$ bu­de klad­né čís­lo.
8. Viz https://www.eng.tau.ac.il/~shtaif/PolarizationClass.pdf.
9. Co to je, jsme ře­ši­li v mi­nu­lém člán­ku.
10. Viz http://​www​.in​for​mati​on​phi​lo​so​pher​.com/​s​o​l​u​t​i​o​n​s​/​e​x​p​e​r​i​m​e​n​t​s​/​d​i​r​a​c​_​3​-​p​o​l​a​r​i​z​e​rs/
11. Viz http://​ali​e​nry​der​flex​.com/​p​o​l​a​r​i​z​er/
12. Viz polarize.pdf
13. Polarizační fil­try…
14. Až na pár vel­mi pod­stat­ných roz­dí­lů, kte­ré si sa­mo­zřej­mě zá­hy uká­že­me.
15. Tedy pro­porč­ně bu­dou ja­ko \(\cos^2(\phi)\), nicmé­ně leh­ko odlišné.
16. Pod­le fy­zi­ka Pau­li­ho, kte­rý za svůj vy­lu­čo­va­cí prin­cip do­stal No­be­lo­vu ce­nu za fy­zi­ku.
17. Viz http://​pla​netmath​.org/​P​a​u​l​i​M​a​t​r​i​ces
18. to ne­zna­me­ná, že je to po­sta­ču­jí­cí pod­mín­ka ta­ko­vé funk­ce

Polarizace a spin částice (1. část)

V mi­nu­lém člán­ku o En­t­ro­pii a ter­mo­dy­na­mi­ce jsem vám slí­bil, že se za­se vrá­tí­me zpět k „ně­ja­kým čás­ti­cím“. Ne­vrá­tí­me se však k ně­ja­kým kon­krét­ním, vrá­tí­me se totiž pou­ze k jed­né z je­jich vlast­nos­tí — spinu.

Ohled­ně spi­nu exis­tu­je ta­ko­vý pro­blém — on se (ja­ko vlast­nost) dá jen vel­mi těž­ko před­sta­vit. Můžu sa­mo­zřej­mě po­u­ží­vat růz­ných ana­lo­gií, ale jak si uká­že­me, když se troš­ku po­no­ří­me do pro­ble­ma­ti­ky, dost těch­to ana­lo­gií (buď­me upřím­ní — všech­ny) uká­žou dří­ve či poz­dě­ji ně­ja­ký zá­sad­ní smr­tel­ný pro­blém. Jak už je však zvy­kem, než se dá­me do sa­mých po­pi­sů spi­nů čás­tic a jak s ni­mi fun­go­vat, mu­sí­me si při­pra­vit leh­ké ma­te­ma­tic­ké pod­hou­bí, abychom po­cho­pi­li zákonitosti[1]Protože po­kud chce­me po­cho­pit spin, mu­sí­me po­cho­pit i ten zbytek..

Matematické základy

Bu­de­me hoj­ně vy­u­ží­vat ma­tic, vek­to­růkom­plex­ních čí­sel. Bliž­ší po­pis vek­to­ro­vých a ma­ti­co­vých zá­klad­ních ope­ra­cí je mi­mo roz­sah člán­ku, v pří­pa­dě, že bys­te ne­vě­dě­li „kte­rá bi­je“, o ma­te­ma­tic­kých ope­ra­cích s vek­to­ry a ma­ti­ce­mi do­po­ru­čím ně­kte­rý z člán­ků či pre­zen­ta­cí vol­ně le­ží­cích na internetu:

Pri­már­ní stu­di­um — te­dy zjis­tit jak co funguje:

Dal­ší ma­te­ri­á­ly (sekun­dár­ní studium):

Bo­hu­žel je pro po­cho­pe­ní člán­ku bez­pod­ní­neč­ně nut­né, abys­te ale­spoň zá­kald­ní ope­ra­ce s vek­to­ry zna­li. Ne­ní po­tře­ba žád­ných „hlu­bo­kých“ zna­los­tí, ale vy­svět­lo­vat co je to vek­tor či ma­ti­ce je bo­hu­žel mi­mo roz­sah to­ho­to článku.

Ny­ní te­dy jen struč­ně — jed­na ze zá­kald­ních ope­ra­cí, kte­rou bu­de­me po­tře­bo­vat, je ma­ti­co­vý součin:

$$ \begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}=a\cdot c + b \cdot d$$

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}b_1 + a_{12}b_2 \\ a_{21}b_1 + a_{22}b_2\end{pmatrix}$$

Ohled­ně kom­plex­ních čí­sel bu­de­me muset znát po­jem kom­plex­ně sdru­že­né čís­lo, což je ta­ko­vé čís­lo, je­hož ima­gi­nár­ní slož­ka je pře­vrá­ce­ná. Ozna­ču­je­me „hvěz­dič­kou“:

$$ X = a + \mathrm{i}b$$

$$ X^{*} = a – \mathrm{i}b$$

Diracova notace, systém bra-ket

Ny­ní, když ví­me, co bu­de­me po­tře­bo­vat ja­ko te­o­re­tic­ký zá­klad, mů­že­me se s chu­tí vrh­nout na to, co sli­bu­je sa­mot­ný pod­nad­pis, te­dy  na tzv. Diracovo[2]či Di­ra­co­vou, ale to se mi dost pří­čí no­ta­ci, nebo-li sys­tém bra-ket.

Jak jste si za­jis­té všimli, slo­vo „bra“ a „ket“ do­hro­ma­dy v an­g­lič­ti­ně da­jí slo­vo „bra/c/ket“ — te­dy „zá­vor­ky“ 🙂 Vel­mi roz­to­mi­lé. Kaž­do­pád­ně sys­tém je tvo­řen dvě­ma vektory:

Vek­tor bra (ano, pod­prsen­ka…), kte­rý vy­pa­dá následovně:

$$\langle{}a | = \begin{pmatrix}a_1 & a_2\end{pmatrix}^*$$

Te­dy jed­ná se o řád­ko­vý vek­tor, kde jsou čís­la na­víc kom­plex­ně sdru­že­ná. U re­ál­ných hod­not to­to sa­mo­zřej­mě ne­má vliv (po­kud kom­plex­ně sdru­ží­te re­ál­né čís­lo, zís­ká­te to sa­mé re­ál­né čís­lo), nicmé­ně v pří­pa­dě s vý­po­čty v kom­plex­ní ro­vi­ně na to ne­smí­te zapomenout.

Vek­tor ket vy­pa­dá takto:

$$ |a\rangle = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix}$$

Sa­mo­zřej­mě bych mohl zo­bec­nit do \(n\) di­men­zí, ale pro zjed­no­du­še­ní teď uva­žuj­me pou­ze dvě. S ví­ce di­men­ze­mi se se­tká­me poz­dě­ji, až se to­to bu­de­me sna­žit prak­tic­ky uká­zat na po­la­ri­za­ci fo­to­nu a elektronu.

S tě­mi­to vek­to­ry mů­že­te pro­vá­dět veš­ke­ré ope­ra­ce, na kte­ré jste zvyklí od běž­ných vek­to­rů — např. sou­čet dvou ket vektorů:

$$|a\rangle +|b\rangle= \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}$$

Co je pro nás však dů­le­ži­té (z hle­dis­ka fy­zi­ky), po­kud vy­ná­so­bí­me bra vek­tor vek­to­rem ket. Tedy:

$$\langle{}a|b\rangle$$

To­to mů­že­me po­jme­no­vat ja­ko ska­lár­ní sou­čin[3]Pro po­tře­by to­ho­to člán­ku bu­du ozna­čo­vat tak­to, nicmé­ně ska­lár­ní sou­čin nor­mál­ně fun­gu­je bez kom­plex­ně sdru­že­ných čí­sel, tak­že to­to ve své pod­sta­tě ne­ní „až tak“ běž­ný ska­lár­ní sou­čin. Správ­ně bych měl tře­ba na­zý­vat kon­ju­go­va­ný sk. sou­čin, ale jsem moc lí­ný to psát tak­to dlou­hé — pro­to od­teď bu­du psát pou­ze „ska­lár­ní sou­čin“. Dě­ku­ji za po­cho­pe­ní. a vel­mi dob­ře ho zná­me z běž­ných vý­po­čtů s vektory[4]Pro dal­ší in­for­ma­ce do­po­ru­ču­ji bez­vad­ný zdroj všech mož­ných ma­te­ma­tic­kých in­for­ma­cí — web Mat­Fy­zu :-): http://wiki.matfyz.cz/index.php?title=16._Formalizmus_kvantov%C3%A9_teorie.

Mů­že­me te­dy psát (pro dvou­roz­měr­ný prostor):

$$\langle{}a|b\rangle = \begin{pmatrix} a_1^* & a_2^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1^*b_1+a_2^*b_2$$

Vý­sled­kem je te­dy čís­lo, ni­ko­liv vek­tor. Zkusíme-li ny­ní udělt kom­plex­ně sdru­že­nou va­ri­an­tu to­ho součinu:

$$\langle{}a|b\rangle^* = a_1b_1^* + a_2b_2^*$$

Ny­ní už asi vi­dí­me, že po­kud bych oto­čil vektory:

$$\langle{}b|a\rangle = a_1b_1^* + a_2b_2^*$$

do­sta­ne­me to­též. Mů­že­me te­dy s klid­ným svě­do­mím psát:

$$\langle{}a|b\rangle = \langle{}b|a\rangle^*$$

Než bu­de­me po­kra­čo­vat dá­le, mu­sí­me se lehce za­mě­řit na ma­ti­ce a ope­ra­ce nad ni­mi. Pro ilu­stra­ci po­u­ži­ji 3×3 ma­ti­ce, ale sa­mo­zřej­mě bu­de fun­go­vat v li­bo­vol­ných di­men­zích. Za­čně­me te­dy po­pi­sem ma­ti­ce — jak jis­tě ví­te, ma­ti­ce má hlav­ní diagonálu:

$$A_{ij} = \begin{pmatrix}a_{11} & … & … \\ … & a_{22} & … \\ …  & … & a_{33}\end{pmatrix}$$

A mů­že­me z ma­ti­ce udě­lat ma­ti­ci trans­po­no­va­nou, jed­no­du­še to zna­me­ná, že pře­ho­dí­me (zr­ca­dlo­vě) pod­le osy hlav­ní di­a­go­ná­ly hod­no­ty. Ji­ný­mi slo­vy pře­ho­dí­me řád­ky a sloup­ce. Zna­čí­me in­de­xem \(T\):

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}$$

Sa­mo­zřej­mě pla­tí, že transponujeme-li dva­krát za se­bou stej­nou ma­ti­ci, zís­ká­me zpět tu první.

Dá­le je snad sa­mo­zřej­mé, že po­kud bu­de­me chtít kom­plex­ně sdru­že­né hod­no­ty z ma­ti­ce, mu­sí­me udě­lat všech­ny kom­plex­ně sdru­že­né hod­no­ty všech prvků:

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}a_{11}^* & a_{12}^* \\ a_{21}^* & a_{22}^*\end{pmatrix}$$

Sa­mo­zřej­mě mů­že­me vý­še uve­de­né dvě ma­ti­ce „zkom­bi­no­vat“ — te­dy trans­po­no­vat a ješ­tě pře­vést na kom­plex­ně sdru­že­né hod­no­ty. Ta­ko­vou ma­ti­ci zna­čí­me „kříž­kem“ (v an­g­lič­ti­ně dag­ger — či­li dýka):

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}^\dagger = \begin{pmatrix} a_{11}^* & a_{21}^* \\ a_{12}^* & a_{22}^*\end{pmatrix}$$

Ny­ní pro­zkou­mej­me, co se sta­ne, po­kud po­u­ži­je­me např. ná­sle­du­jí­cí matici:

$$\begin{pmatrix}1 & 2+i3 \\ 2-i3 & 4\end{pmatrix}^\dagger$$

Po­kud udě­lá­me „kříž­ko­va­nou ma­ti­ci“, zjis­tí­me, že se bu­de rov­nat sa­ma so­bě, te­dy:

$$\begin{pmatrix}1 & 2+i3 \\ 2-i3 & 4\end{pmatrix}^\dagger = \begin{pmatrix}1 & 2+i3 \\ 2-i3 & 4\end{pmatrix}$$

Po­kud ně­co ta­ko­vé­ho na­sta­ne, mů­že­me o na­ší ma­ti­ci tvr­dit, že je her­mi­tov­ská.

Zkus­me ny­ní, co se sta­ne, zkusíme-li vy­ná­so­bit ma­ti­ci a ket vektor:

$$A|b\rangle=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\end{pmatrix}$$

a do­sta­ne­me:

$$A|b\rangle=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}v_1 + a_{12}v_2 \\ a_{21}v_1 + a_{22}v_2 \end{pmatrix}$$

Abychom ta­dy po­řád jen ne­pís­men­ko­va­li, zkus­me si to uká­zat prak­tic­ky na příkladu:

$$\begin{pmatrix}1 & 1+i \\ 1-i & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + (1+i) \cdot 0 \\ (1-i) \cdot 1 + 2 \cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 1-i\end{pmatrix}$$

Zpátky k fyzice

Po krát­ké ces­tě do útrob ma­te­ma­ti­ky se opět mů­že­me vrá­tit k fy­zi­ce a k to­mu, k če­mu všech­ny ty­to ma­te­ma­tic­ké vě­ci vy­u­ži­je­me. Po ces­tě sa­mo­zřej­mě při­dá­me ješ­tě ně­ja­ké dal­ší, ale vý­še uve­de­né jsou ta­ko­vou „ma­te­ma­tic­kou star­to­va­cí čá­rou“ pro po­cho­pe­ní vě­cí dalších.

Bu­de­me se ba­vit o po­la­ri­za­ci čás­tic, kon­krét­ně svět­la, te­dy fo­to­nů. Co je to vlast­ně po­la­ri­za­ce? K če­mu slou­ží? Nej­jed­no­duš­še­ji si ji lze před­sta­vit pro­střed­nic­tvím ob­ráz­ku. Měj­me ně­ja­ký zdroj ne­po­la­ri­zo­va­né­ho svět­la — např. žá­rov­ku, LED[5]Nikdy pro­sím ne­piš­te LED di­o­du, to je ja­zy­ko­vě špat­ně., ně­co takového.

zdroj světlaZ to­ho­to zdro­je se ší­ří ne­po­la­ri­zo­va­né svět­lo, tzn. že ne­má žád­nou „po­la­ri­tu“. Tím je myš­le­no, že je­ho vl­ny jdou „ve všech smě­rech“ sou­čas­ně. Ne­plést s ne­ho­mo­gen­ním svě­tel­ným zdro­jem, což je zdroj, kte­rý vy­sí­lá svět­lo „na všech frek­ven­cích“. Svě­tel­ný zdroj te­dy mů­že být po­la­ri­zo­va­ný ho­mo­gen­ní, ne­po­la­ri­zo­va­ný ho­mo­gen­ní, po­la­ri­zo­va­ný ne­ho­mo­gen­ní a ne­po­la­ri­zo­va­ný nehomogenní.

Abychom ta­ko­vé svět­lo „zpo­la­ri­zo­va­li“, po­tře­bu­je­me ně­ja­ký po­la­ri­zá­tor, pří­pad­ně po­la­ri­zač­ní fil­tr. Po­la­ri­zač­ní fil­tr je za­ří­ze­ní, kte­ré pro­pus­tí svět­lo pou­ze kte­ré má ně­ja­kou kon­krét­ní po­la­ri­za­ci. Pro zjed­no­du­še­ní si ny­ní ur­če­me tři zá­klad­ní směry:

  • do­pra­va do­le­va se bu­de­me po­hy­bo­vat po ose \(x\).  Svět­lo po­la­ri­zo­va­ní po ose \(x\) bu­de svět­lo s ho­ri­zon­tál­ní polarizací
  • na­ho­ru do­lů se bu­de­me po­hy­bo­vat po ose \(y\). Svět­lo tak­to po­la­ri­zo­va­né bu­de mít ver­ti­kál­ní polarizaci.
  • do­pře­du a do­za­du se na­chá­zí­me na ose \(z\). Svět­lo tak­to po­la­ri­zo­va­né bu­de mít tak­též ho­ri­zon­tál­ní polarizaci.

Pro zjed­no­du­še­ní však nejdří­ve bu­de­me uva­žo­vat pou­ze dva smě­ry, te­dy doprava/doleva a nahoru/dolů. Při­dej­me pro­to do na­še­ho si­tu­ač­ní­ho plán­ku ta­ko­vý po­la­ri­zač­ní fil­tr a po­šle­me skrz ně­ho pa­prsek světla:

paprsek

Ten­to pa­prsek bu­de mít po prů­cho­du ta­ko­vým po­la­ri­zá­to­rem ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­ci, te­dy bu­de mít po­la­ri­za­ci po ose \(y\). Po­kud bychom ny­ní zkou­še­li, co se s ta­ko­vým pa­prskem dá­le sta­ne, zařadíme-li do ně­ho dal­ší po­la­ri­zá­tor, zjis­tí­me, že zařadíme-li dal­ší ver­ti­kál­ní \(y\) po­la­ri­zá­tor, svět­lo ne­ztra­tí nic ze své intenzity[6]samozřejmě v ide­ál­ních pod­mín­kách s ide­ál­ní­mi fil­try atd. a bu­de mít in­ten­zi­tu 100 % in­ten­zi­ty před dru­hým filtrem:

dvojitá polarizace stejným směrem

Na­o­pak po­kud dru­hý fil­tr oto­čí­me o 90 °, bu­de vý­stu­pem 0% in­ten­zi­ta — všech­no svět­lo se bě­hem sekun­dár­ní po­la­ri­za­ce ztratí:

dvojitá polarizace různým směrem

Po­kud bu­de­me s dru­hým fil­trem růz­ně otá­čet, do­sta­ne se nám růz­né věl­kých in­ten­zit na vý­stu­pu ta­ko­vé kaská­dy; ty­to in­ten­zi­ty bu­dou do­kon­ce zá­vi­set pří­mo na roz­dí­lu úhlu těch­to fil­trů, konrét­ně fak­to­rem \(\cos^2(\alpha)\). Nicmé­ně zde kon­čí běž­ný „makro­sko­pic­ký“ svět na­šich dob­ře nám zná­mých představ.

Když si totiž uvě­do­mí­me, že in­ten­zi­ta svět­la od­po­ví­dá \(I = \mathrm{k}E^2\), po­tom by moh­lo vy­pa­dat, že s kle­sa­jí­cí in­ten­zi­tou bu­de kle­sat i ener­gie zá­ře­ní — a tím pod­le zná­mé­ho \(E=hf\) by mě­la kle­sat i frek­ven­ce zá­ře­ní. Nicmé­ně to se ne­dě­je. A již za oka­mžik si vy­svět­lí­me proč — jed­ná se totiž o kvan­to­vé je­vy, kte­ré jsou pro člo­vě­ka, kte­rý je zvyk­lý na běž­né makro­sko­pic­ké je­vy, po­měr­ně nepřirozené.

Je nut­né nad svět­lem (byť po­la­ri­zo­va­ným) uva­žo­vat ja­ko nad prou­dem čás­tic. Dru­hý po­la­ri­zá­tor ne­dě­lá nic ji­né­ho, než že pro­pus­tí ty fo­to­ny, kte­ré spl­ňu­jí pod­mín­ky pro­puš­tě­ní a „za­mít­ne“ fo­to­ny, kte­ré ne­spl­ňu­jí ta­ko­vé pod­mín­ky. Avšak ty fo­to­ny, kte­ré pro­pus­tí, těm ener­gii ne­mě­ní. Ne­na­stá­vá te­dy změ­na ener­gie fo­to­nu, pou­ze množ­ství fo­to­nů, kte­ré se pro­pus­tí. A to je dost zá­sad­ní rozdíl.

Pojď­me se ny­ní po­dí­vat, jak fun­gu­je svět­lo ja­ko proud čás­tic. Vy­u­žijme k to­mu vý­še uve­de­ných dvou po­la­ri­zač­ních fil­trů. Již jsme si před­sta­vi­li braket vek­to­ry, ny­ní je mů­že­me vy­u­žít prak­tic­ky. Troš­ku „ze vzdu­chu“ ny­ní vy­pus­tím je­den dů­le­ži­tý vztah — kte­rý sho­dou okol­nos­tí krás­ně po­pi­su­je kvan­to­vé jevy:

$$H|a\rangle=\lambda|a\rangle$$

Rovnice[7]Někdo v tom za­jis­té uvi­dí emo­ti­ko­nu vy­ja­dřu­jí­cí pře­dek au­to­bu­su 🙂 vy­ja­dřu­je, ja­kým způ­so­bem se cho­va­jí čás­ti­ce v mi­k­ro­svě­tě. Zkus­me ny­ní po­mo­cí té­to rov­ni­ce vy­já­d­řiv vý­še uve­de­né si­tu­a­ce s dvě­ma po­la­ri­zač­ní­mi fil­try. Ze za­čát­ku bu­du há­zet tro­chu „ná­hod­né“ hod­no­ty do ma­tic, pro­sím za­tím mi dů­vě­řuj­te, po­stup­ně se do­sta­nu i k je­jich vy­já­d­ře­ní, ny­ní však chci, abychom se po­dí­va­li prak­tic­ky na vy­u­ži­tí rovnice.

Co jed­not­li­vé kom­po­nen­ty rov­ni­ce zna­me­na­jí? Ny­ní jen stručně:

  • \(\langle{}H|\) vy­ja­dřu­je matici[8]o kte­ré se ča­sem do­zví­me, že je Her­mi­tov­ská, kte­rá vy­ja­dřu­je ně­ja­ké „hod­no­ty v experimentu“.
  • \(|a\rangle\) je tzv. vlast­ní vek­tor, kte­rý ur­ču­je stav sys­té­mu.
  • \(\lambda\) je tv. vlast­ní čís­lo, kte­ré ur­ču­je vý­stup z ex­pe­ri­men­tu.
  • \(|a\rangle\) je opět ten stej­ný vlast­ní vek­tor, ja­ko o ně­ko­lik bo­dů vý­še. Všim­ně­me si, že ten­to vek­tor je oprav­du stej­ný ja­ko na za­čát­ku reakce.

Po­kud bu­de­me te­dy uva­žo­vat ver­ti­kál­ně po­la­ri­zo­va­né svět­lo (či proud čás­tic obec­ně) a při­řa­dí­me ná­sle­du­jí­cí vektory:

  • ho­ri­zon­tál­ní po­la­ri­za­ce: \(|x\rangle= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)
  • ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­ce: \(|y\rangle= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)

Mů­že­me se ptát ná­sle­du­jí­cím bra-ketovým zápisem:

$$\langle{}x|y\rangle$$

Te­dy slo­vy: Ja­ká je prav­dě­po­dob­nost­ní am­pli­tuda, že připravíme-li čás­ti­ci, kte­rá bu­de mít \(y\) po­la­ri­za­ci, pro­jde ta­ko­vá čás­ti­ce fil­trem s \(x\) po­la­ri­za­cí? Sa­mo­zřej­mě se mů­že­me ptát pak i obec­ně na li­bo­vol­ný úhel, ale o tom až později.

Proč však pou­ze „prav­dě­po­dob­nos­tí am­pli­tuda“? Pro­to­že abychom zís­ka­li prav­dě­po­dob­nost, mu­sí­me použít:

$$\langle{}x|y\rangle\langle{}y|x\rangle$$

Nicmé­ně jak jsme uká­za­li vý­še, to­to se dá za­psat i jako:

$$\langle{}x|y\rangle\langle{}x|y\rangle^*$$

Vy­u­ži­je­me te­dy kom­plex­ně sdru­že­ných čí­sel. Budeme-li však uva­žo­vat pou­ze re­ál­ná čís­la, kde je ima­gi­nár­ní slož­ka nu­lo­vá, mů­že­me pak s klid­ným svě­do­mím psát, že prav­dě­po­dob­nost ta­ko­vé­ho je­vu je:

$$\langle{}x|y\rangle^2$$

Zpět k prak­tic­ké­mu pří­kla­du — ja­ká je te­dy prav­dě­po­dob­nost, že ho­ri­zon­tál­ně po­la­ri­zo­va­ná čás­ti­ce pro­jde fil­trem s ver­ti­kál­ní polarizací?

$$ \langle{}x|y\rangle^2 = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}^* \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = 0$$

Vý­po­čet te­dy od­po­ví­dá re­a­li­tě, pro­to­že pro kol­mé ro­vi­ny po­la­ri­za­ce čás­ti­ce a po­la­ri­zač­ní­ho fil­tru, je prav­dě­po­dob­nost oprav­du nulová.

Stej­ně tak zjis­tí­me, že pro stej­nou po­la­ri­za­ci čás­ti­ce i směr fil­tru dostaneme:

$$ \langle{}x|y\rangle^2 = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}^* \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = 1$$

Či­li opět od­po­ví­da­jí­cí stav re­a­li­tě — v ta­ko­vém pří­pa­dě má­me 100% prav­dě­po­dob­nost, že ta­ko­vá čás­ti­ce projde.

Vrať­me se ny­ní k na­še­mu (staré­mu zná­mé­mu) \(H|a\rangle=\lambda|a\rangle\).

Ny­ní opět „vy­stře­lím“ do vzdu­chu a na­píšu, jak ta­ko­vé \(H\) vy­pa­dá, vy­svět­le­ní však při­jde poz­dě­ji (od­vo­ze­ní). Mys­lím si, že pro po­cho­pe­ní to­ho, jak to od­vo­dit, je dob­ré nejdří­ve vě­dět, jak ta­to „věc“ fun­gu­je. Po­tom už je od­vo­ze­ní otáz­ka chvilky 🙂

Řek­ně­me, že ta­to Her­mi­tov­ská ma­ti­ce má tvar \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\).

Po­tom, co udě­lá­me \(H|x\rangle=\lambda|x\rangle\)  zjis­tí­me, že:

$$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

mů­že­me vy­ře­šit jako:

$$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1 + 0\cdot 0 \\ 0 \cdot 1 – 1 \cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$$

Podíváme-li se na vý­še uve­de­nou formuli:

$$\color{blue}H|\color{red}a\rangle=\color{pink}\lambda|\color{red}a\rangle$$

a zapíšeme-li ma­ti­co­vě te­dy jako:

$$\color{blue}{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}}\color{red}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\color{red}{\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}}$$

a te­dy pou­ze do­pl­ní­me \(\color{pink}\lambda\) a získáme:

$$\color{blue}{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}}\color{red}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\color{pink}\lambda\color{red}{\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}}$$

Vi­dí­me, že \(\lambda=1\). Ny­ní se zkus­me po­dí­vat, co se sta­ne, po­kud po­u­ži­je­me ket \(|y\rangle\):

$$\color{blue}{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}}\color{red}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\color{pink}\lambda\color{red}{\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}}$$

Spočítáme-li sou­čin her­mi­tov­ské ma­ti­ce a ke­tu na le­vé stra­ně rov­ni­ce, dostaneme:

$$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot0 + 0\cdot 1 \\ 0 \cdot 0 – 1 \cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -1\end{pmatrix}$$

Abychom te­dy do­sta­li stej­ný vlas­ní vek­tor vpra­vo i vle­vo, vlast­ní čís­lo \(\lambda\) mu­sí být \(\color{pink}{\lambda=-1}\) a tedy:

$$\color{blue}{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}}\color{red}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\color{pink}{-1}\color{red}{\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}}$$

Co nám te­dy hod­no­ta \(\lambda\) ří­ká? Prak­tic­ky si ji mů­že­me před­sta­vit ja­ko „krabičku“[9]Prostě blac­kbox 🙂 , kte­rá nám ně­ja­kým in­di­ká­to­rem (tře­ba LED) ří­ká, jest­li to, co na­sta­vu­je­me (stav sys­té­mu, te­dy ket) je v ex­pe­ri­men­tu (zde bra) po­tvr­ze­no (\(\lambda\)) či nikoliv.

Polarizace s obecným úhlem

Zkus­me se ny­ní po­dí­vat na si­tu­a­ci, kdy má­me ně­ja­kým smě­rem (ať už ho­ri­zon­tál­ně či ver­ti­kál­ně) po­la­ri­zo­va­ný pa­pr­dek svě­la a pro­že­ne­me ho po­la­ri­zá­to­rem, kte­rý je na­to­če­ný ně­ja­kým obec­ným úhlem \(\phi\).

Za­čně­me nejdří­ve troš­ku „mé­ně obec­nou“ va­ri­an­tou, vlast­ně do­ce­la dost kon­krét­ní — na­stav­me po­la­ri­zač­ní fil­tr pod úhlem 45 °. Jen­že — vy­vstá­vá pro­blém, jak vek­to­ro­vě re­pre­zen­to­vat mož­nost na­to­če­ní pod tím­to úhlem. Na­bí­zí se (ne až tak špat­né) ře­še­ní, kte­ré má však své drob­né úska­lí, jež ale vel­mi zá­hy pře­ko­ná­me a vyřešíme.

Před­stav­me si te­dy ny­ní si­tu­a­ci, kdy má­me ver­ti­kál­ně po­la­ri­zo­va­ný pa­prsek svět­la a po­sta­ví­me před ně­ho po­la­ri­zá­tor v úhlu 45 ° „do­pra­va“ — te­dy ja­ko lo­mít­ko „/“ 🙂 Ja­kým způ­so­bem te­dy re­pre­zen­to­vat to­to „lo­mít­ko?“ Da­lo by se ří­ci (při­blí­žit se cí­li), že po­kud je po­la­ri­zá­tor pod ta­ko­vým­to úhlem, je na­sta­ven vlast­ně „ně­kde ako­rát me­zi“ — te­dy ani ne moc ho­ri­zon­tál­ně, ale ani ne moc vertikálně.

Moh­li bychom te­dy zku­sit vy­slo­vit hy­po­té­zu, že vý­sled­ná po­la­ri­za­ce bu­de ně­co ja­ko sou­čet ho­ri­zon­tál­ní­ho a ver­ti­kál­ní­ho po­la­ri­zá­to­ru — te­dy ně­co ja­ko \(|x\rangle + |y\rangle\). To je po­měr­ně dob­rá myš­len­ka, ale při­vá­dí nám ně­kte­rá úska­lí, kte­rá si ny­ní ukážeme.

Ví­me, že vlast­ní vek­to­ry jsou vektory[10]Už jen pro­to, že se tak jme­nu­jí, ale hlav­ně se tak i cho­va­jí 🙂 , tak­že s ni­mi mů­že­me dě­lat i běž­né vek­to­ro­vé ope­ra­ce, ja­ko tře­ba součet:

$$\color{blue}{|x\rangle} + \color{violet}{|y\rangle} =
\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}+\color{violet}{\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}}
=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Ny­ní však ex­pe­ri­ment — po­kud vez­me­me svět­lo po­la­ri­zo­va­né pod úhlem 45 ° a pro­že­ne­me ho fi­lrem pod stej­ným úhlem, mu­sí nám vy­jít, že má­me opět 100 % svět­la, kte­rá jsme tam vpus­ti­li, i na dru­hé stra­ně, te­dy označíme-li ta­ko­vý po­la­ri­zač­ní fil­tr ja­ko \(|/\rangle\) a zdroj svět­la ja­ko \(\langle/|\), dostaneme:

$$\left(|\langle{}/|/\rangle{}|\right)^2=\left(\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)^2 = 2^2 = 4$$

Či­li, jak vi­dí­me, vy­jde nám 400% prav­dě­po­dob­nost, že fo­ton pro­jde. To je si­ce dost pů­so­bi­vé, nicmé­ně po­tře­bo­va­li bychom (tak ně­jak lo­gic­ky) do­stat, že nám pros­tě vy­jde 100 %. A to­ho do­cí­lí­me me­to­dou nor­ma­li­za­ce.

Nej­jed­no­duš­še­ji bychom řek­li, že chce­me ze čtyř­ky udě­lat jed­nič­ku, tak­že pros­tě po­dě­lí­me čtyř­mi a má­me jed­nič­ku — ve své pod­sta­tě vlast­ně ano, ale po­kud bychom si chvil­ku s vek­try hrá­li a zjiš­ťo­va­li, čím vstup po­dě­lit, aby na vý­stu­pu by­lo 4krát men­ší čís­lo, při­šli bychom na vztah:

$$\frac{|x\rangle + |y\rangle}{\sqrt{2}}$$

Zkus­me ny­ní ověřit:

$$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

Skvě­lé! Tak­že má­me před­pis, kte­rý pro ta­ko­vou po­la­ri­za­ci mů­že­me po­u­žít. Zce­la in­tu­i­tiv­ně též od­had­ne­me, jak bu­de vy­pa­dat vzo­rec pro po­la­ri­zač­ní fil­tr o 45 ° na dru­hou stra­nu, te­dy ja­ko lo­mít­ko „\“ — ver­ti­kál­ní slož­ka (te­dy \(|x\rangle\)) zů­sta­ne stej­ná, ho­ri­zon­tál­ní slož­ka bu­de opač­ná (te­dy \(-|y\rangle\)):

$$\frac{|x\rangle – |y\rangle}{\sqrt{2}}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$$

Ny­ní te­dy zkus­me, jak by do­padlo, po­kud bychom vza­li po­la­ri­zo­va­né svět­lo ve smě­ru „opač­né­ho lo­mít­ka \“ a pus­ti­li ho přes fil­tr „běž­né­ho lo­mít­ka /?“  Ví­me, že vý­sle­dek mu­sí být nu­lo­vý, ověř­me pro­to funkci:

$$
|\left\langle\color{red}/|\color{violet}\setminus\right\rangle|^2=
\left(
\color{red}{\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}}
\color{violet}{\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}}
\right)^2=
\left(
\color{red}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\cdot\color{violet}{\frac{1}{\sqrt{2}}}-
\color{red}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\cdot\color{violet}{\frac{1}{\sqrt{2}}}
\right)^2=0
$$

Ny­ní, když ví­me, že na­še vek­to­ry pro zá­pis po­la­ri­zač­ní­ho fil­tru jsou funkč­ní, mů­že­me opět stej­ně, ja­ko jsme mě­li vý­še, pro­vést po­kus s Her­mi­tov­skou maticí[11]tentokrát tro­chu ji­nou, poz­dě­ji se oprav­du do­sta­nu k od­vo­ze­ní to­ho, proč zrov­na takovou 🙂 :

$$
H|/\rangle=\lambda|/\rangle
\\
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\lambda\cdot
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

Vi­dí­me te­dy, že vlast­ní vek­to­ry se opět rov­na­jí, a te­dy \(\lambda=1\) taktéž.

Krátké shrnutí

Shrň­me si ny­ní v krát­kos­ti, jak vy­pa­da­jí jed­not­li­vé vek­to­ry pro růz­né úh­ly polarizace:

  • Ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­ce, te­dy „|“ : \(0|x\rangle+1|y\rangle=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\)
  • Ho­ri­zon­tál­ní po­la­ri­za­ce, te­dy „ – “ : \(1|x\rangle+0|y\rangle=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\)
  • Šik­má po­la­ri­za­ce „/“ : \(\frac{1}{\sqrt{2}}|x\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|y\rangle=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \)
  • Šik­má po­la­ri­za­ce „\“ : \(\frac{1}{\sqrt{2}}|x\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|y\rangle=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \)[12]Ve své pod­sta­tě je téměř jed­no, jest­li dá­te do zá­po­ru \(x\) ne­bo \(y\), pro­to­že vý­sle­dek bu­de prak­tic­ky stej­ný — stej­ně ja­ko je jed­no, jest­li udě­lá­te při např. ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­ci opač­ně \(y\), pro svět­lo je to jedno 🙂 

Mož­ná už je troš­ku z to­ho­to shr­nu­tí vi­dět, co vlast­ně re­pre­zen­tu­jí jed­not­li­vá čís­la za­psa­ná v těch­to tak­to za­psa­ných vlast­ních vek­to­rech. Jed­ná se (opět, na­ra­zi­li jsme na to ze za­čát­ku tex­tu) o prav­dě­po­dob­nost­ní am­pli­tu­du, což je ne­mě­ři­tel­ná ve­li­či­na, kte­rá prá­vě v kvan­to­vém svě­tě po­pi­su­je krás­ně ty­to je­vy. Po­kud umoc­ní­me ab­so­lut­ní hod­no­tu té­to ve­li­či­ny na dru­hou, do­sta­ne­me prav­dě­po­dob­nost, ja­kou pro­jde čás­ti­ce fil­trem prá­vě s ta­ko­vou prav­dě­po­dob­nost­ní amplitudou.

Jak je to tedy s obecným vztahem pro obecný úhel?

Po­dí­vej­me se ny­ní na to, jak bychom obec­ně vy­já­d­ři­li vlast­ní vek­tor pro obec­ný úhel. Podíváme-li se na běž­ný graf, kde jsem za­kres­lil ně­ja­ký obec­ný jed­not­ko­vý vek­tor pod úhlem \(\phi\)…

Základní diagram obecného vektoru
Zá­klad­ní di­a­gram obec­né­ho vektoru

Dá nám smy­sl, že ten­to jed­not­ko­vý vek­tor vy­tkne na ose \(x\) prá­vě \(\cos{\phi}\) a na ose \(y\) prá­vě \(\sin{\phi}\) jed­no­tek těch­to os.  Zkus­me te­dy před­po­klá­dat, že bychom moh­li tvr­dit ná­sle­du­jí­cí (což vy­pa­dá po­měr­ně logicky):

$$
|\phi\rangle=
\begin{pmatrix}
\cos{\phi}\\\sin{\phi}
\end{pmatrix}
=
\cos{\phi}|x\rangle + \sin{\phi}|y\rangle
$$

Stej­ně ja­ko u všech vek­to­rů, po­kud chce­me vy­tvo­řit kol­mý vek­tor (v tom­to pří­pa­dě do­kon­ce or­to­go­nál­ní, te­dy ta­ko­vý, kte­rý má přes­ně opač­né vlast­nos­ti ja­ko prv­ní vektor[13]Či li­do­vě — vše, co je tu­to, přes­ně ne­ní tam­to 😀 ), udě­lá­me „trik“ s pro­ho­ze­ním a oto­če­ním, te­dy obec­ně vek­tor \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\) pře­ve­de­me na \(\begin{pmatrix}y \\ -x\end{pmatrix}\). Na­zvě­me si te­dy náš prv­ní vek­tor kupří­kla­du \(\phi_{\alpha}\) a náš dru­hý \(\phi_{\beta}\):

$$
\phi_{\alpha}=
\begin{pmatrix}
\cos{\phi}\\\sin{\phi}
\end{pmatrix}
$$

$$
\phi_{\beta}=
\begin{pmatrix}
\sin{\phi}\\-\cos{\phi}
\end{pmatrix}
$$

Ověř­me ny­ní hy­po­té­zu o prů­cho­du dvě­ma po­la­ri­zá­to­ry (pří­pad­ně hy­po­té­zu o prů­cho­du po­la­ri­zo­va­ných fo­to­nů kol­mo ori­en­to­va­ným polarizátorem):

$$
\left\langle \phi_{\alpha}|\phi_{\beta}\right\rangle=
\begin{pmatrix}
\cos{\phi} & \sin{\phi}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sin{\phi} \\ -\cos{\phi}
\end{pmatrix}
=
\cos{\phi}\sin{\phi}-\sin{\phi}\cos{\phi}
=
0
$$

Te­dy po­tvr­ze­no 🙂 Zkus­me pro jis­to­tu ješ­tě dvě stej­no­směr­né polarizace:

$$
\left\langle \phi_{\alpha}|\phi_{\alpha}\right\rangle=
\begin{pmatrix}
\cos{\phi} & \sin{\phi}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos{\phi} \\ \sin{\phi}
\end{pmatrix}
=
\cos{\phi}\cos{\phi}+\sin{\phi}\sin{\phi}
=
\cos^2{\phi}+\sin^2{\phi}
=
1
$$

Ny­ní se po­dí­vej­me, ja­ká prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du čás­ti­ce bu­de, po­kud při­pra­ví­me čás­ti­ci s obec­nou po­la­ri­za­cí pod úhlem \(\phi\) a po­la­ri­zač­ní fil­tr na­sta­ví­me horizontálně:

$$
\left(
|
\left\langle x | \phi \right\rangle
|
\right)^2
=
\left(
\begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos{\phi} \\ \sin{\phi}
\end{pmatrix}
\right)^2
=
\left(
1\cdot\cos{\phi} + 0\cdot\sin{\phi}
\right)^2
=
\cos^2{\phi}
$$

No, tak vý­bor­ně 🙂 Stej­ným způ­so­bem bychom moh­li spo­čí­tat prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du, po­kud ne­ní po­la­ri­zač­ní fil­tr na­sta­ven ho­ri­zon­tál­ně, ale ver­ti­kál­ně, vy­jde to pros­tě stej­ně. Ny­ní te­dy ne­zbý­vá než udě­lat na­pros­to obec­ný případ.

Měj­me te­dy zdroj ně­ja­ké­ho svět­la, kte­rý pro­že­ne­me dvě­ma po­la­ri­zač­ní­mi fil­try, kaž­dý na­sta­ven pod ur­či­tým obec­ným úhlem, prv­ní např. pod úhlem \(\phi_\alpha \) a dru­hý pod úhlem \(\phi_\beta\). Podrob­me na­še vý­po­čty to­mu­to tes­tu. Nej­pr­ve te­dy při­pra­ví­me svě­tel­ný pa­prsek fil­trem \(\phi_\alpha\), po­té po­kra­ču­je­me dá­le k fil­tru \(\phi_\beta\):

$$
\left|
\left\langle\beta|\alpha\right\rangle
\right|^2
=
\left(
\begin{pmatrix}
\cos\beta & \sin\beta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\alpha \\ \sin\alpha
\end{pmatrix}
\right)^2
=
\left(
\cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha
\right)^2
=
\cos(\alpha-\beta)^2
$$

Mož­ná se bu­de­te di­vit, jak jsem se do­stal k po­sled­ní­mu kro­ku — je to ně­ja­ký vzo­re­ček, stej­ně ja­ko \(\cos^x+\sin^2x=1\), pla­tí i ten­to vzo­re­ček 🙂 Dá­le — proč tam ne­ní roz­díl úh­lů tře­ba opač­ný — opět, je to jed­no, pro­to­že pla­tí \(\cos{x}=\cos{-x}\).

Tím jsme si te­dy po­tvr­di­li funk­ci těch­to „sta­veb­ních blo­ků“. Vrať­me se ny­ní na chvil­ku k pů­vod­ní­mu vzorci:

$$ H|a\rangle=\lambda|a\rangle$$

A prá­vě k Her­mi­tov­ské ma­ti­ci \(\hat{H}\). Vý­še jsme si uká­za­li ně­ja­ké pří­kla­dy na tu­to ma­ti­ci, nicmé­ně zkus­me ji ny­ní troš­ku zo­bec­nit. Nej­pr­ve na­píšu, jak „to s ní vy­pa­dá“ a po­té ro­ze­be­re­me, co se s ta­ko­vou ma­ti­cí dá dá­le dělat 🙂

$$
\hat{H}=
\begin{pmatrix}
\cos2\phi & \sin2\phi \\
\sin2\phi & -\cos2\phi
\end{pmatrix}
$$

Exis­tu­jí dva „vzo­reč­ky“, kte­ré zde využijeme:

$$\cos2\phi=\cos^2\phi-\sin^2\phi$$

$$\sin2\phi=2\sin\phi\cos\phi$$

Těch zde vy­u­ži­je­me a pře­pí­še­me do ma­ti­ce. Pro zjed­no­du­še­ní teď vy­ne­chám ne­u­stá­lé psa­ní \(\phi\) a \(2\phi\):

$$
\hat{H}=
\begin{pmatrix}
\cos2\phi & \sin2\phi \\
\sin2\phi & -\cos2\phi
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos^2-\sin^2 & 2\cos\sin \\
2\cos\sin & \sin^2 – \cos^2
\end{pmatrix}
$$

Použijeme-li te­dy před­pi­su \(\hat{H}|\phi\rangle=\lambda|\phi\rangle\) a použijeme-li v něm nám již zná­mé prv­ky, dostaneme:

$$
\hat{H}|\phi\rangle=\lambda|\phi\rangle
\\
\begin{pmatrix}
\cos^2-\sin^2 & 2\cos\sin \\
2\cos\sin & \sin^2 – \cos^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \\ \sin
\end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
\cos \\ \sin
\end{pmatrix}
$$

Mě­lo by te­dy pla­tit, že pro­dukt na le­vé stra­ně bu­de stej­ný ja­ko vek­tor na pra­vé stra­ně. Udě­lej­me te­dy ně­ko­lik zá­klad­ních al­ge­braic­kých úprav:

$$
\begin{pmatrix}
\cos^2-\sin^2 & 2\sin\cos \\
2\sin\cos & \sin^2-\cos^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \\ \sin
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos^3-\sin^2\cos+2\sin^2cos \\
2\cos^2\sin + \sin^3 – \cos^2\sin
\end{pmatrix}
= \\ =
\begin{pmatrix}
\cos^3+\sin^2\cos \\
\cos^2\sin + \sin^3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\left(\cos^2+\sin^2\right) \\
\sin\left(\cos^2+\sin^2\right)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \\
\sin
\end{pmatrix}
$$

Vi­dí­me te­dy, že pro­dukt na le­vé stra­ně je oprav­du stej­ný, ja­ko vek­tor na stra­ně pra­vé, vlast­ní čís­lo je te­dy \(\lambda=1\) 🙂 Stej­ně tak to bu­de fun­go­vat i po­kud po­u­ži­je­me vek­to­ru or­to­go­nál­ní­ho, te­dy \(\begin{pmatrix}-\sin \\ \cos\end{pmatrix}\), jen sa­mo­zřej­mě vy­jde \(\lambda=-1\) dle oče­ká­vá­ní — kol­mý fil­tr na ro­vi­nu po­la­ri­za­ce ne­pro­pus­tí nic.

Další pokračování článku

V dal­ším po­kra­čo­vá­ní člán­ku, kte­rá vy­dám v ne­da­le­ké bu­douc­nos­ti, se bu­de­me vě­no­vat zvlášt­ní­mu ty­pu po­la­ri­za­ce, te­dy kru­ho­vé po­la­ri­za­ci, po­tom spi­nu čás­ti­ce a dal­ším za­jí­ma­vos­tem, tak se těšte 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Protože po­kud chce­me po­cho­pit spin, mu­sí­me po­cho­pit i ten zbytek.
2. či Di­ra­co­vou, ale to se mi dost pří­čí
3. Pro po­tře­by to­ho­to člán­ku bu­du ozna­čo­vat tak­to, nicmé­ně ska­lár­ní sou­čin nor­mál­ně fun­gu­je bez kom­plex­ně sdru­že­ných čí­sel, tak­že to­to ve své pod­sta­tě ne­ní „až tak“ běž­ný ska­lár­ní sou­čin. Správ­ně bych měl tře­ba na­zý­vat kon­ju­go­va­ný sk. sou­čin, ale jsem moc lí­ný to psát tak­to dlou­hé — pro­to od­teď bu­du psát pou­ze „ska­lár­ní sou­čin“. Dě­ku­ji za po­cho­pe­ní.
4. Pro dal­ší in­for­ma­ce do­po­ru­ču­ji bez­vad­ný zdroj všech mož­ných ma­te­ma­tic­kých in­for­ma­cí — web Mat­Fy­zu :-): http://wiki.matfyz.cz/index.php?title=16._Formalizmus_kvantov%C3%A9_teorie
5. Nikdy pro­sím ne­piš­te LED di­o­du, to je ja­zy­ko­vě špat­ně.
6. samozřejmě v ide­ál­ních pod­mín­kách s ide­ál­ní­mi fil­try atd.
7. Někdo v tom za­jis­té uvi­dí emo­ti­ko­nu vy­ja­dřu­jí­cí pře­dek au­to­bu­su 🙂
8. o kte­ré se ča­sem do­zví­me, že je Her­mi­tov­ská
9. Prostě blac­kbox 🙂
10. Už jen pro­to, že se tak jme­nu­jí, ale hlav­ně se tak i cho­va­jí 🙂
11. tentokrát tro­chu ji­nou, poz­dě­ji se oprav­du do­sta­nu k od­vo­ze­ní to­ho, proč zrov­na takovou 🙂 
12. Ve své pod­sta­tě je téměř jed­no, jest­li dá­te do zá­po­ru \(x\) ne­bo \(y\), pro­to­že vý­sle­dek bu­de prak­tic­ky stej­ný — stej­ně ja­ko je jed­no, jest­li udě­lá­te při např. ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­ci opač­ně \(y\), pro svět­lo je to jedno 🙂 
13. Či li­do­vě — vše, co je tu­to, přes­ně ne­ní tam­to 😀