Tento příklad je velmi jednoduchý, nicméně stojí za uvedení:

Zadání (překopírované z Facebooku zní): V nádobě o podstavě s hranami 10 cm a 15 cm je přesně 1 litr vody v kapalném stavu. Do kapaliny je vhozena krychle vodního ledu o hraně 4 cm. Jaká bude výška hladiny ihned potom, co se hladina po vhození ledové kostky ustálí? Jaká bude výška hladiny potom, co se kostka rozpustí? Pro jednoduchost předpokládejme hustotu kapalné vody \(1 \frac{g}{cm^3}\) a ledu \(\frac{9}{10} \frac{g}{cm^3}\), a žádné závislosti objemu na teplotě.

Víme, že objem bude tedy:

$$V = a b v$$

kde \(v\) odpovídá výšce. Z toho snadno určíme:

$$v = \frac{V}{ab}$$

Nyní musíme zjistit vliv vložené kostky. Objem takové kostky je:

$$V = 4^3$$

Podle Archimédova zákona bude plavat a vytlačí množství vody v poměru hustot, tedy vytlačí:

$$V_{vytlaceno}=V_{led} \frac{\rho_{led}}{\rho_{voda}}$$

Tedy výsledná výška bude:

$$v = \frac{V_{vytlaceno}+V}{ab}$$

Dosadíme tedy:

$$v = \frac{V_{led} \frac{\rho_{led}}{\rho_{voda}}+V}{ab}=\frac{4^3\frac{9}{10}+1000}{10 \cdot 15} = 7,051\ \mathrm{cm}$$

Před vytlačením tedy nebyl objem s ledem:

$$v = \frac{V}{ab}=\frac{1000}{10 \cdot 15} = 6,667\ \mathrm{cm}$$

Rozdíl je tedy necelé \(4\ \mathrm{mm}\).

UPDATE: Jsem si všiml, že jsem zadání špatně opsal (celý já), základna je čtvercová o hraně 10 cm — nicméně to není problém, to se snadno dosadí do vzniknuvších vztahů a vyjdou výšky \(10,576\ \mathrm{cm}\) a \(10\ \mathrm{cm}\), tedy rozdíl zrhuba necelých 6 milimetrů 😉

UPDATE 2: Zapomněl jsem ještě na část řešení — jak se změní hladina poté, co se led rozpustí. Logicky — nezmění, hmotnost ledu a hmotnost vody po rozpuštění kostky bude stejná, tedy vytlačí se stejné množství.