Abychom se mohli podívat na temnou energii, musíme uvést alespoň pár věcí na pravou míru. Nejprve — co to vůbec taková temná energie je a jakým způsobem vůbec víme, že něco takového s nejvyšší pravděpodobností bude existovat.

Když E. Hubble v roce 1923 rozšířil hranice nám známého vesmíru a potvrdil (pozorováním a měřením vzdáleností), že mlhovina v Andromedě není jen nějaká další mlhovina, ale celá galaxie, která je navíc několikrát větší než naše Galaxie, nutně narazil na pár poznatků, které doslova otřásly dosavadní vědeckou komunitou a přidaly další pilíře poznání vesmíru a tedy i světa kolem nás.

Jedním z těchto pilířů bylo i objevení faktu, že vesmír se rozpíná. Všiml si totiž, že vzdálenější galaxie se od té naší vzdalují rychleji než ty bližší a usoudil z toho, že prostor doslova “vzniká” mezi těmito galaxiemi .

Z tohoto poznání plyne ještě jedna zajímavost — pokud se vesmír rozpíná a budeme-li předpokládat, že tomu tak vždy bylo, zcela logicky musel existovat bod v časoprostoru, kdy vesmír byl nekonečně malý.  K tomuto bodu poznání se dnešní vědci a teoretičtí fyzikové neustále blíží, na základě různých pozorování a měření jsou schopni neustále blíže se přiblížit bodu, kdy byl vesmír pouze tzv. singularitou (anebo byl doopravdy? Někteří totiž tvrdí, že se nejednalo o pravou singularitu, ale pouze o velmi zhuštěný vesmír).

Nyní se již však vrhněme na samotné odvození.

Hubbleova konstanta

Velmi často budeme operovat s tzv. Hubbleovo konstantou, musíme tedy vědět, co to je 🙂 Představme si, že máme třeba balónek, na kterém máme nakresleny tečky^[1]jedná se o klasický příklad s populárně naučnou metodou, jak ukázat rozpínání vesmíru, ale použijeme ji jako základ i tady. Když se tento balónek bude roztahovat (tedy nafukovat) a budeme-li předpokládat, že balónek je z dokonale elasticky homogenního materiálu^[2]tedy takového, který se rozpíná všude stejně, potom se všechny tečky budou oddalovat naprosto stejně. Udělejme si “grafický” příklad na několika takových tečkách, pro zjednodušení budeme uvažovat pouze jednu souřadnou osu, jako kdybychom tečky nakreslili třeba na gumičku, kterou bychom roztahovali (výsledek by byl samozřejmě stejný):

Pokud bychom popsali takto gumičku čísly a začali ji roztahovat, samozřejmě se jednotlivá čísla a proužky od sebe začnou vzdalovat:

Jakým způsobem můžeme něco takového vyjádřit matematicky? Jednoduše. Označme si, že vzdálenost \(D\) bude závislá na součinu souřadnic \(\Delta x\) a vzdálenosti mezi těmito souřadnicemi \(a(t)\) ^[3]časová závislost vzdálenost mezi šouřadnicemi je nutná, protože budeme řešit rozpínání v čase:

$$\begin{equation}\label{\eqref}D = \Delta x \cdot a(t)\end{equation}$$

Zderivujeme-li tento výraz podle času:

$$\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} = \Delta x \frac{\mathrm{d}a(t)}{\mathrm{d}t}$$

A uděláme-li malý matematický “trik”, tedy že vynásobíme celou rovnici jedničkou (tedy rovnice se nezmění), kde však jednička bude \(\frac{a}{a}\), dostaneme:

$$\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} = \Delta x \frac{\mathrm{d}a(t)}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{a}{a}$$

A vidíme, že některé věci už známe — tedy uvnitř se nám znovu ukázala vzdálenost \(D = \Delta x \cdot a(t)\), kterou si můžeme vyjádřit:

$$\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} = D \frac{\mathrm{d}a(t)}{a \cdot \mathrm{d}t}$$

Nyní trošku odbočme — abychom se v tom lépe vyznali, zaveďme fyzikální zápis derivace tečkou, tedy že:

$$\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} = \dot X$$

Výše uvedený vzorec tak můžeme zjednodušit na:

$$\dot D = D \frac{\dot a}{a}$$

A samozřejmě si musíme uvědomit, že \(\dot D = v\) — rychlost, potom:

$$v = D \frac{\dot a}{a}$$

Důležitý je poslední zlomek, tedy \(\frac{\dot a}{a}\) — ten si označme jako \(H\) a je to právě Hubbleova konstanta, tedy:

$$v = D \frac{\dot a}{a}= D H$$

Z toho jasně můžeme vidět vztah: Pokud totiž víme, jakou rychlostí se od sebe vzdalují galaxie ve vesmíru (tedy \(v\)), můžeme jasně říci, jak jsou od sebe vzdáleny, \(D\) 🙂 A samozřejmě i opačně, tedy čím vzdálenější od sebe objekty jsou, tím rychleji se budou pohybovat. Nutno ještě říci, že Hubbleova konstanta \(H\) je takovou konstantou “napůl” — je totiž konstantní všude ve vesmíru v prostoru, ale nikoliv v čase, prostě s časem se mění. Je tedy fixní pouze v prostoru, nikoliv v čase.

Představme si tedy nějaký výsek vesmíru, kde vidíme jednotlivé galaxie^[4]ponechme teď stranou, že bychom je nejspíše samotným okem neviděli tak, jak jsou na obrázku reprezentovány tečkami:

Zvolme si jednu tečku jako “naši Galaxii” a označme ji třeba nějakou barvou:

Tečku s Galaxií^[5]Možná by bylo vhodné dát na pravou míru označování vesmírných objektů, je v tom, myslím si, dost velký nepořádek. Pokud napíši “Galaxie” s velkým “G”, myslím tím naši galaxii, ve které se nachází Sluneční soustava. Pokud se řekne “Mléčná dráha”, jedná se o pruh více viditelných hvězd na noční obloze, tyto termíny se poměrně zhusta zaměňují, celý název je Galaxie v Mléčné dráze, zkráceně Galaxie. Pokud píši “galaxie”, tedy s malým “g”, myslím tím jakákoliv jiná galaxie než Galaxie 🙂 Doufám, že už v tom nebude zmatek. rovnou prohlásím za střed vztažné soustavy, tedy tečka se nikam nebude hýbat a budu ji považovat za takový “nulový bod” se souřadnicemi [0, 0, 0, 0, …] (podle toho, kolik rozměrů budu potřebovat). Vybereme-li si teď libovolnou jinou galaxii a budeme-li měřit vzdálenost od Galaxie, naměříme vzdálenost \(D\).

Na obrázku vidíme zeleně zobrazenou vzdálenost a fialově vektor rychlosti. Newtonův teorém^[6]Newton, Isaac (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. London. pp. Theorem XXXI. nám říká, že na libovolný objekt, který se nachází na povrchu koule, jejímž středem bude naše Galaxie, bude působit gravitace celé hmoty v kouli obsažené a že body a hmota mimo tuto kouli se “anuluje” (gravitačně samozřejmě):

Pokud je množství hmota uvnitř koule rovno \(M\), galaxie, kterou měříme má hmotu \(m\), můžeme psát staré známé:

$$F = \kappa \frac{M m}{D^2}$$

A samozřejmě můžeme poté vyjádřit potenciální energii takové galaxie, protože víme, že:

$$E_p = \int_{\infty}^{D} F \mathrm{d}D$$

a tedy můžeme dosadit:

$$E_p = \int_{\infty}^{D} F \mathrm{d}D = \int_{\infty}^{D} \kappa\frac{Mm}{D^2} \mathrm{d}D = -\kappa\frac{Mm}{D}$$

Samozřejmě celková energie \(E\) takové galaxie bude součtem kinetické a potenciální energie:

$$ E = E_k + E_p$$

čili

$$ E = \frac{1}{2}mv^2 -\kappa\frac{Mm}{D}$$

Energie musí zůstat konstantní, protože platí zákon o zachování energie, tedy:

$$ E = \frac{1}{2}mv^2 – \kappa\frac{Mm}{D} = k$$

Trošku si pohrajeme s tímto vzorcem, vynásobíme nejdříve obě strany dvojkou, abychom se zbavili té dvojky vlevo:

$$ E = mv^2 – 2\kappa\frac{Mm}{D} = 2k$$

a podělíme celou rovnici \(m\):

$$ E = v^2 – 2\kappa\frac{M}{D} = \frac{2k}{m} = k$$

a vidíme, že vpravo máme pořád konstantu 🙂 Sice bude jiná, než \(k\) před tím, ale pořád bude konstantní, tedy budeme psát stále \(k\) 😉 Zkusme nyní dosadit dříve ukázané hodnoty, tedy \(D = \Delta x \cdot a(t)\) a \(v = \Delta x \cdot \dot a(t)\) do tohoto vzorce:

$$ \Delta x^2 \cdot \dot a(t)^2 – 2\kappa\frac{M}{\Delta x \cdot a(t)} = k $$

Pokud si uvědomíme, že hustota tělesa či soustavy těles se snadno spočte jako:

$$ \rho  = \frac{M}{V}$$

kde \(\rho\) odpovídá hustotě, \(M\) odpovídá hmotě systému a \(V\) odpovídá objemu. Objem koule (viz dříve, kdy jsem psal o Newtonově gravitačním zákonu) se spočítá samozřejmě jako:

$$V = \frac{4}{3}\pi D^3$$

Můžeme tedy upravit vzorec pro hustotu a vyjádřit \(M\) jako:

$$M = \frac{4}{3} \pi D^3 \rho(t)$$

Protože se \(\rho(t)\) mění v čase (jak se vesmír rozpíná), musíme s ním tak i počítat a uvést ho jako proměnný v čase. Toto \(M\) dosadit do vzorce s konstantou, který jsme odvodili výše, pro připomenutí:

 $$ \Delta x^2 \cdot \dot a(t)^2 – 2\kappa\frac{M}{\Delta x \cdot a(t)} = k $$

Dosadíme-li tedy \(M\) do tohoto vzorce, poté:

 $$ \Delta x^2 \cdot \dot a(t)^2 – 2\kappa\frac{\frac{4}{3}\pi D^3 \rho(t)}{\Delta x \cdot a(t)} = k $$

Rozepíšeme-li zmíněné \(D\) na to, co jsme psali výše, tedy \(D = \Delta x a(t)\), potom dostaneme:

$$ \Delta x^2 \dot a(t)^2 – 2\kappa\frac{\frac{4}{3}\pi {\color{red}{\Delta x^3a(t)^3}} \rho(t)}{\color{red}{\Delta x a(t)}} = k $$

Červeně jsem zvýraznil to, co můžeme zkrátit, proto to zkraťme:

$$ \Delta x^2 \dot a(t)^2 – 2\kappa \frac{4}{3}\pi \Delta x^\color{red}{2} a(t)^\color{red}{2} \rho(t) = k $$

Teď se nelekejte, nastane velký trik. Budeme totiž zjednodušovat. Aby nám dimenzionálně seděly proměnné, muselo by platit, že máme \(\Delta x^2\) vlevo i vpravo, ale vpravo vidíme pouze konstantu. Nicméně protože víme, že to musí dimenzionálně sedět^[7]Aby nám rovnice dimenzionálně seděla, musíme mít prostě srovnané dimenze jednotlivých členů. Protože předpokládáme, že to počítáme správně, budeme se muset držet i tohoto zákona. V uvedené rovnici vidíme, že máme srovnané dimenzionálně pouze dva členy, tedy ten s derivací a ten druhý bez derivace. V konstantě tudíž musíme předpokládat, že se nějaký prvek ze stejné dimenze taktéž bude nacházet a tím pádem můžeme pokrátit., víme i, že v té konstantě musí být nějakým způsobem \(\Delta x^2\) obsaženo a můžeme proto \(\Delta x\) pokrátit, tedy:

$$ \color{red}{\Delta x^2} \dot a(t)^2 – \color{green}{2}\kappa \frac{\color{green}{4}}{3}\pi \color{red}{\Delta x^{2}} a(t)^{2} \rho(t) = k $$

$$ \dot a(t)^2 – \kappa \frac{\color{green}{8}}{3}\pi a(t)^{2} \rho(t) = k $$

Zde se \(k\) samozřejmě bude lišit od \(k\) před krácením, ale je to pořád nějaká konstanta, i když je jiná. Co v ní je nás vlastně ani moc v tento moment nezajímá. Zeleně jsem ještě zvýraznil malé zjednodušení.

Nyní můžeme celou rovnici podělit \(a(t)^2\) a dostat tedy:

$$ \frac{\dot a(t)^2}{\color{red}{a(t)^2}} – \kappa \frac{8}{3}\pi\frac{a(t)^{2} \rho(t)}{\color{red}{a(t)^2}} = \frac{k}{\color{red}{a(t)^2}} $$

a dostaneme tak (po přeházení členů):

$$ \color{green}{\frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2}} = \color{red}{\frac{8}{3}\pi\kappa \rho(t)} – \color{blue}{\frac{k}{a(t)^2}}$$

Toto je zjednodušená varianta Friedman-Walker-Robertsonovy rovnice^[8]Na wiki např.:
https://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann%E2%80%93Lema%C3%AEtre%E2%80%93Robertson%E2%80%93Walker_metric^[9]odkaz na PDF s dalšími hrátkami s rovnicemi:
http://www.ita.uni-heidelberg.de/~dullemond/lectures/cosmology_2011/Chapter_4.pdf^[10]Dále už jen FWRr., na které si nyní ukažme další zajímavé souvislosti.

Rozdělme nyní rovnici na 3 části, které jsem zvýraznil v textu barevně. Začněme červeným prvkem \(\frac{8}{3}\pi\kappa\rho(t)\). Co o něm můžeme z hlediska “kladnosti a zápornosti” prohlásit? Všechny členy uvnitř jsou vždy kladné (buď jsou to konstanty, čísla anebo \(\rho(t)\), které je vždy kladné, protože hustota je vždy kladná) — a tedy celý tento červený prvek je vždy kladný.

Nyní se podívejme na modrý člen \(-\frac{k}{a(t)^2}\), kde už to začíná býti trošku zajímavé. Pokud bychom řekli, že konstanta \(-k\)^[11]Jinými slovy se touto konstantou označuje tzv. křivost vesmíru bude vždy kladná (ano, i s tím minus), poté to znamená, že součet dvou členů v pravé části rovnice bude vždy kladný a to by znamenalo, že vesmír se bude neustále rozpínat. V levé části rovnice máme totiž Hubbleovu konstantu (na druhou), která nám říká, jak moc se vesmír rozpíná. Protože by toto číslo v čase bylo vždy kladné, znamenalo by to logicky, že by se tak vesmír neustále rozpínal “do nekonečna”. Tento stav označujeme jako tzv. otevřený vesmír. Bude-li naopak konstanta \(-k\) záporná (tedy samotné \(k\) bude kladné), poté by to mohlo znamenat (pokud by byla absolutní hodnota členu větší než toho červeného), že se vesmír v čase smršťuje, tedy tzv. uzavřený vesmír. No a nakonec varianta, kdy se konstanta bude rovnat nule, to znamená, že se sice vesmír rozpíná, ale konverguje asymptoticky k určitému bodu, kdy už se více rozpínat nebude (tento bod se nachází časově v nekonečnu). Této variantě říkáme plochý vesmír.

Pojďme se těmto variantám věnovat trošku detailněji. Vezměme si nějaký úsek vesmíru a pro zjednodušení použijme krychlovou výseč (šlo by to i s kulovou a jakoukoliv jinou, ale chci minimalizovat množství písmenek). Krychle má rozměr strany \(a\) a hmota v ní obsažená je opět \(M\), prostě:

Víme, že objem krychle \(V = a^3\) a tedy snadno odvodíme, že hustota \(\rho = \frac{M}{a^3}\). Této znalosti můžeme využit a můžeme dosadit do FWRr a dostaneme:

$$ \frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \color{red}{\frac{M}{a(t)^3}} – \frac{k}{a(t)^2}$$

Na základě pozorování a měření je zjištěno, že vesmír se s největší pravděpodobností chová jako plochý, tedy můžeme výraz zjednodušit na:

$$\frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \color{red}{\frac{M}{a(t)^3}}$$

Nyní bychom tedy chtěli vyřešit takovou rovnici pro \(a(t)\), což je dost netriviální záležitost. Nejjednodušší metodou tedy je učinit odhad, který se pokusíme napasovat do našeho výrazu.

Řekněme tedy, že obecně se bude \(a(t)\) rovnat polynomu \(Ct^p\), kde \(C\) je nějaká konstanta, \(t\) označuje čas a \(p\) je obecná mocnina:

$$a(t) = C t^p$$

Ještě si samozřejmě musíme spočítat hodnotu první derivace \(\dot a(t)\), tedy:

$$\dot a(t) = p C t^{p-1}$$

(použil jsem klasická pravidla pro derivování polynomu). Čemu je tedy rovna Hubbleova konstanta?

$$H = \frac{\dot a(t)}{a(t)} = \frac{p\color{red}{C}t^{p-1}}{\color{red}{C}t^p} = \frac{p\color{brown}{t^{p-1}}}{\color{brown}{t^p}}=\frac{p}{\color{brown}{t}}$$

Červeně a poté hnědě jsem zvýraznil krácení ve výrazu. Nyní již můžeme dosadit do FWRr:

$$ \frac{p^2}{t^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{M}{\color{red}{a(t)^3}}$$

Ještě můžeme dosadit za červeně označené \(a(t) = Ct^p\):

$$ \frac{p^2}{t^{\color{blue}2}} = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{M}{C^3t^{\color{blue}{3p}}}$$

Nyní je opět čas oprášit naše známé dimenze — aby nám rovnice seděla, musí nám hlavně sedět dimenze. A co vidíme? Zvýrazněné modré exponenty nám musí sedět, tedy pokud máme na levé straně rovnice \(t^2\), musíme ho mít i na straně pravé. Je tedy jasné, že \(p=\frac{2}{3}\). Můžeme tedy napsat, že \(a(t)=Ct^{\frac{2}{3}}\).

Taková funkce má průběh:

Jak vidíme z tohoto excelového grafu, průběh funkce je krásně zaoblen a neustále se zpomaluje růst. Tento graf nám ukazuje rozpínání vesmíru, pokud ho uvažujeme jako hmotový. Tedy takový, kde převažuje množství hmoty  (proto jsme počítali s \(M\)). Nicméně ne vždy tomu tak bylo, v prvopočátcích vesmíru vzniklo velké množství hmoty a antihmoty. Pokud dáme k sobě dvě vzájemné antičástice, dokonale anihilují a vznikne foton — tedy se vyzáří “čistá” energie.  Veškerá hmota a antihmota tedy anihilovala a vyzářilo se tak obrovské množství pravděpodobně vysoceenergetických fotonů — a zbylo také malé množství hmoty — hmoty, která je vším, co v dnešním vesmíru pozorujeme. Do důsledku by tak šlo říci, že vše, co jsme a vše co vidíme je jen důsledkem nepatrné asymetrie v prvopočátcích vesmíru 🙂

Představme si tedy znovu náš “krychlový výsek” vesmíru se stranou \(a\), ale tentokrát v něm nebude hmota \(M\), ale fotony. Pro zopakování uvedu, že energii fotonu můžeme vyjádřit jako \(E = h f\), resp. \(E = \frac{hc}{\lambda}\)^[12]Viz článek Malý nenásilný úvod do fyziky černých děr na mém hlavním blogu. Pokud se vesmír rozpíná a bude se rozpínat i náš krychlový výsek, bude se i zvětšovat vlnová délka \(\lambda\) takových fotonů, tedy samozřejmě energie takových fotonů bude klesat. Pozorováním tzv. kosmického záření (cosmic microwave background radiation) v pásmu mikrovln (což je o dost jinde, než byly asi původní gamapaprsky) se přesvědčujeme, že tato “radiační” fáze vesmíru nejspíše proběhla. Pozorováním těchto vesmírných paprsků tak vlastně koukáme na “vesmírnou archeologii”, vidíme, co se událo před spoustou miliard let jako pozůstatek kdysi ohromné zářivé energie.

Jak jsme si řekli, energie fotonu \(E\) proporčně odpovídá tedy převrácené hodnotě vlnové délky, tedy \(\frac{1}{\lambda}\), což současně odpovídá zvětšujícím se rozměrům, tedy \(\frac{1}{a}\). Můžeme tedy tvrdit, že:

$$ E = \frac{N}{a}$$

tedy že energie fotonů proporčně (přes konstantu \(N\)) odpovídá takto roměru \(a\). Energetická hustota “zářícího vesmíru” (povšimněte si, že se opět snažíme vyjádřit hustotu) tak bude odpovídat:

$$ \rho_E = \frac{N}{a} \frac{1}{V} = \frac{N}{a} \frac{1}{a^3} = \frac{N}{a^4}$$

Pro připomenutí, hustota hmotného vesmíru byla \(E = \frac{M}{a^3}\). Zkusme si dané dva průběhy graficky načrtnout:

Energetickou hustotu můžeme dosadit do FWRr, akorát místo hmotové hustoty dáme právě tuto energetickou:

$$ \frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{N}{a(t)^4}$$

Pokud provedeme stejný odhad jako minule, dostaneme:

$$ \frac{p^2}{t^\color{blue}2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{N}{C^4 t^{\color{blue}{4p}}}$$

a aby nám opět seděly dimenze, vidíme, že \(p=\frac{1}{2}\).

Vraťme se nyní ke grafům; načrtněme si, jak by vypadaly průběhy velikostí vesmíru v závislosti na čase. Budeme-li uvažovat čistě radiační vesmír, ten se zpočátku velmi rychle rozpínal (jedná se o 4. mocninu), ale pak už dále “moc neroste”, tedy asi jako takto žlutě obarvený průběh:

Nicméně pokud se podíváte výše na graf \(\rho\) vs \(a\), uvidíte bod, ve kterém se dva průběhy protnou. V tomto momentě začal namísto “radiačního vesmíru”^[13]tuty pojmy nemám úplně rád, prostě radiation dominant universe a matter dominant universe, tedy vesmír s převahou záření a vesmír s převahou hmoty převažovat právě ten hmotový. Měřením bylo zjištěno, že tento stav se stal relativně velmi brzy po vzniku vesmíru, věří se, že někdy kolem 10 000 let po tzv. Velkém třesku.

V tomto momentě tedy začne převažovat hmotový vesmír, který stoupá mnohem rychleji, alespoň zpočátku:

Takto bychom se po zelené křivce postupně dostávali do stavu, kdy by se rozpínání vesmíru postupně zpomalovalo, nicméně pozorujeme, že tomu tak není, pozorovaný stav je naznačen růžovým průběhem:

A musí tedy nutně existovat nějaká další síla či energie, která toto způsobuje. Pojďme si shrnout základní znalosti, které jsme si odvodili:

• Pro vesmír s převládající hmotou
  • Hustota: \(\rho = \frac{M}{a^3}\)
  • Vesmír se rozpíná v čase podle: \(a \sim t^{\frac{2}{3}}\)
• Pro vesmír s převládájícím zářením
  • Hustota záření: \(\rho = \frac{N}{a^4}\)
  • Vesmír se rozpíná v čase podle: \(a \sim t^{\frac{1}{2}}\)

Podívejme se na tuto problematiku ještě z hlediska termodynamiky. Vrhněme se nejdříve na vesmír s převládající hmotou. Pokud si opět uděláme nějakou krychlovou výseč, ve které si představíme galaxie, pro připomenutí obrázek:

Pak se ptáme, jakým tlakem bude hmota a galaxie působit na desky krychle? Tlak bude nulový, protože galaxie se prostě nechovají jako částice, které skáčí tam a zpět, prostě “tam jsou” a v klidu “nic nedělají”^[14]samozřejmě pro zjednodušení. Můžeme tedy psát, že:

$$P = 0$$

Trošku složitější to bude ve vesmíru s převládající radiací. Pro zjednodušení si představme jednodimenzionální pohyb částice (fotonu), který cestuje rychlostí \(c\) mezi krajními body, jejichž vzdálenost je \(L\).

Jaký je tlak \(P\) na jednu či druhou krajní pozici? Víme, že tlak se dá vyjádřit jako:

$$ P = \frac{F}{A}$$

kde \(F\) je síla a \(A\) je plocha, na kterou síla působí. Síla na konci dráhy, bude vyjádřena jako změna momentu hybnosti, tedy:

$$ F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$$

Jak je velké \(\mathrm{d}p\)? Musíme si uvědomit, že se nejedná o pohyb částice, který u hranice zastaví, ale stejnou rychlostí se bude pohybovat na druhou stranu. Změna hybnosi částice tak bude dvojnásobná, tedy \(\mathrm{d}p = 2p\). Jak bude velké \(\mathrm{d}t\)? Čas dostaneme podělením vzdálenosti rychlostí pohybu, tedy \(t=\frac{2L}{c}\) — opět, dvojnásobná vzdálenost, páč částice cestuje tam i zpět. Toto můžeme dosadit do vzorce pro sílu a získáme:

$$ F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = {\color{red}{2}p} \frac{c}{\color{red}{2}L} = \frac{pc}{L}$$

Ale pozor, výraz \(pc\) už je nám povědomý, jedná se totiž o energii částice \(E = pc\). Můžeme tedy psát:

$$F = \frac{E}{L}$$

Což by krásně fungovalo v jednom rozměru, ale musíme si uvědomit, že máme v našem případě (použili jsme krychli) rozměry 3. Foton tedy může cestovat jak tam a zpět po ose \(x\), \(y\) a nebo i \(z\). Pokud do naší kdychle zakreslím pohyb jednoho nějakého “testovacího” fotonu po ose x, bude to vypadat následovně:

Vyznačil jsem plochu \(\mathrm{d}A\), na kterou bude takový foton působit. Víme, že tlak je:

$$ P = \frac{F}{A}$$

a tedy v našem případě:

$$ P = \frac{F}{L\mathrm{d}A}$$

a co je délka krát plocha? To je objem 🙂 Tedy:

$$ P = \frac{E}{V} = \rho$$

Současně je to i hustota energie \(\rho\), i když ne zcela přesně. Musíme si totiž uvědomit, že foton se pohybuje po komponentech všech os, budeme navíc uvažovat, že zcela náhodně a tedy do všech stejně, bude tedy tlak pouze třetinový:

$$P = \frac{\rho}{3}$$

Můžeme tak zobecnit, že tlak se bude rovnat:

$$ P = w\rho$$

kde \(w\) je právě nějaká konstanta — pro hmotový vesmír bude nulová, pro radiační bude právě tato jedna třetina.

Nyní si představme, že máme píst (hranatý krychlový třeba) s nějakým plynem a umožníme mu, aby se trochu zvětšil objem — prostě tak, jak píst normálně funguje. Tedy víme, že práce takového děje bude:

$$ W = F \mathrm{d}d$$

kde \(d\) je nějaká vzdálenost pohybu pístu. Víme též, že \( F = P A\), tedy můžeme psát, že:

$$ W = P A \mathrm{d}d$$

No a opět — co je součet plochy a dráhy — objem, tedy v našem případě tedy:

$$ W = P \mathrm{d}V$$

No a jak tutu práci částice konají? Tím, že musí nějakou svoji energii obětovat. Energie přímo souvisí s teplotou, tedy můžeme psát, že změna energie vyvolává změnu objemu:

$$ \mathrm{d}E = -P\mathrm{d}V$$

Také víme, že celková energie odpovídá součinu energetické hustoty s objemem:

$$ E = \rho V$$

a tedy že

$$ \mathrm{d}E = \rho \mathrm{d}V + V\mathrm{d}\rho$$

Výše jsme si ukázali, že

$$ \mathrm{d}E = -P\mathrm{d}V$$

a tedy můžeme psát:

$$ \rho \mathrm{d}V + V\mathrm{d}\rho = -P\mathrm{d}V$$

Vyjádříme:

$$ V \mathrm{d}\rho = -(P+\rho)\mathrm{d}V$$

a protože jsme si řekli, že \(P = w\rho\), můžeme dosadit:

$$ V \mathrm{d}\rho = -(w\rho +\rho)\mathrm{d}V$$

$$ V \mathrm{d}\rho = -(w + 1)\rho\mathrm{d}V$$

a tedy můžeme popřehazovat:

$$ \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} = -(w+1)\frac{\mathrm{d}V}{V}$$

Vyřešíme jako logaritmickou rovnici:

$$ \mathrm{d}\log\rho = -(w+1)\mathrm{d}\log V$$

diferenciálů se zbavíme:

$$ \log\rho = -(w+1)\log V$$

$$ \log \rho = \log V^{-(w+1)}$$

a tedy můžeme zpětně odlogaritmovat:

$$ \rho = \frac{C}{V^{(w+1)}}$$

Samozřejmě víme, že \(V = a^3\) a můžeme dosadit:

$$ \rho = \frac{C}{a^{3(w+1)}}$$

 Pokud víme, že pro hmotově převažující vesmír platí, že \(w=0\), potom snadno ověříme, že:

$$ \rho = \frac{C}{a^3}$$

Což je potvrzením toho, co jsme již napsali výše 😉 A samozřejmě i funguje, pokud dosadíme za \(w=\frac{1}{3}\) pro vesmír s převažujícím zářením:

$$ \rho = \frac{C}{a^4}$$

Můžeme dosadit znovu do FWRr (ano, vítej zpět!), tedy:

$$ \frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \rho = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{C}{a^{3(w+1)}}$$

Takže jsme se dostali znovu termodynamickou oklikou tam, kde už jsme byli před tím — ale tentokrát to máme krásně zobecněno a navíc máme možnost hrátek s \(w\). Co by se stalo, pokud bychom \(w=-1\)? 🙂

V jmenovateli bychom na pravé straně bychom dostali dělení “jedničkou” (cokoliv na nultou je jedna) a tedy bychom dostali konstantní výraz!

$$ \frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{C}{a^0} = \frac{8}{3}\pi\kappa \rho_0 $$

Takovou konstantu označujeme \(\rho_0\). Takovéto pravé straně rovnice říkáme kosmologická konstanta a můžeme tedy psát:

$$ \frac{\dot a(t)}{a(t)} = H = \sqrt{\frac{8}{3}\pi\kappa\rho_0} $$

obě strany roznásobíme \(a(t)\) a dostaneme:

$$ \dot a(t) = a(t)\sqrt{\frac{8}{3}\pi\kappa\rho_0} $$

A řešením takové rovnice (diferenciální) je exponenciální funkce:

$$ a = Ce^{\sqrt{\frac{8}{3}\pi\kappa\rho_0}t}$$

A protože je to klasická exponenciální rovnice, která je velmi prudce a neustále rosoucí, i vesmír se rozpíná stále rychleji — což je přesně to, co se doopravdy pozoruje a jak se vesmír jeví, že se chová. Co způsobuje tuto akceleraci? Právě temná energie, což je hypotetická energie vakua a energie, kterou sdílí veškerá hmota.

Vzpomínátel-li na tento obrázek, kde jsme řešili závislost energetické hustoty na rozměrech:

Můžeme graf obohoatit ještě o naši kosmologickou konstantu:

A tam vidíme jasně, že nejprve se předběhly grafy radiačního vesmíru a hmotového, ale pak i vesmíru, který se rozpíná pomocí temné energie. A to je přesně to, co jsme v obrázku s rozměry vesmíru v závislosti na čase kreslili:

Co je tato temná enrgie? To vlastně nevíme. Víme jen, jak se projevuje a jaké má vlastnosti. Její původ je nám ale zatím skrytý. Pokud se vesmír takto “urychluje” s rozpínáním, jednou samozřejmě se dostaneme do bodu, kdy se z rychlosti:

$$ v = H D$$

stane jednoduše

$$ c= H D$$

a tedy všechny galaxie a objekty, které budou vzdálenější než \(D\) se pro nás stanou neviditelné, neexistující. V současnosti se uvádí, že velikost pozorovatelného vesmíru je 10–12 miliard světelných let. Tedy už velkou část vesmíru nevidíme. A BUDE HŮŘ! 😀

Užívejte dne a věřím, že vás tento článek obohatil 😉