V tomto krátkém článku odvodíme rovnici dopplerova jevu, resp. tedy budeme zkoumat změnu vlnové délky (a frekvence) zvukového či obecného signálu v závislosti na pohybu posluchače a zdroje signálu.

Určitě jste s projevy Dopplerova jevu^[1]dále jen DJ empiricky seznámeni; jedoucí vozidlo, vlak, sanitka, policisté — pokud se přibližují, jejich zvukový projev “zní výše”, než pokud jedou směrem “od vás”. Pojďme se nyní lehce podívat na závislosti těchto jevů, z čeho plynou a jaké jsou vlastnosi DJ.

Základní vzorečky, ze kterých vyjdeme:

Pevně věřím, že následující vztahy jsou pouhým opakováním, nicméně pro jistotu je uvedu:

• Závislost dráhy \(s\), rychlosti \(v\) a času \(t\):
  $$\begin{array}{}s & = & v\cdot t\\ v & = & \frac{s}{t}\\ t & = & \frac{s}{v}\end{array}$$
• Závislost frekvence \(f\), rychlosti \(v\) a vlnové délky \(\lambda\):
  $$\begin{array}{}\lambda & = & v\cdot \frac{1}{f} \\ f & = & v \cdot \frac{1}{\lambda}\end{array}$$
• Závislost frekvence \(f\) a doby kmitu \(T\):
  $$f = \frac{1}{T}$$

Odvození pro lineární pohyb

Abychom odvození správně pochopili, musíme jít “od nejjednoduššího” případu a postupně přidávat další jevy. Takto je postupně budeme nabalovat, až tomu budeme vlastně rozumět celému 🙂 Takže hurá do toho!

Stacionární posluchač, pohyblivý zdroj zvuku

Začněme tím nejjednodušším. Eliminujeme všechny možné případy do jediného — kdy se po ose \(x\) pohybuje nějaký zdroj signálu rychlostí \(v_s\), my jako posluchači stojíme na konstantním místě \(x_p\). Budeme zkoumat vlastnosti zvukového projevu, když se náš předmět bude přibližovat a posléze oddalovat.

Jakou rychlostí se šíří zvuk? Nazvěme tuto rychlost \(c\) — stejně, jako rychlost šíření světla ve vakuu. Nyní však tato konstanta znamená rychlost šíření zvuku ve vzduchu (či tam, kde jsme jako posluchači). Dále víme, že zvukový zdroj vydává zvuk o konstantní vlnové délce \(\lambda\). Co to vlastně \(\lambda\) je? Vlnová délka není opravdu nic jiného než “divná délka” — délka, která vyjadřuje vzdálenost mezi dvěma na sebe zobrazitelnými body z dané křivky, která vlastnost vlnové délky má. Např. u klasické “sinusovky” můžeme počítat vlnovou délku jako vzdálenost mezi dvěma “kopečky” (amplitudami).

Pro představu — máme např. zvuk o frekvenci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a rychlost šíření zvuku ve vzduchu je zhruba \(340\ m\cdot s^{-1}\). Z toho snadno vypočítáme vlnovou délku:

$$\lambda = c \cdot \frac{1}{f} = 340 \cdot \frac{1}{1000} = 34\ \mathrm{cm}$$

Nyní si však uvědomme, co se stane během “jedné” takové vlnové délky. Při pohyblivém zdroji zvuku se mezitím zdroj posune o určitou vzdálenost, nazvěme ji nyní třeba \(x_d\). Jak velká bude tato vzdálenost?

Víme, že jedna vlna trvá \(T = \frac{1}{f}\) a dále víme, že \(s = v \cdot t\), v našem případě tedy \(s = v_s \cdot T\). Stejně tak můžeme psát “pro frekvence”, že pokud \(f = \frac{c}{\lambda_s}\), tak že \(T=\frac{1}{T_s} = \frac{\lambda_s}{c}\).

Pokud tedy \(x_d = v_s \cdot T_s\), potom \(x_d = v_s \frac{\lambda_s}{c}\). Index “s” značí, že počítáme s proměnnými, které popisují “zdroj signálu”. Jen pro přehlednost, aby byl pořádek v proměnných.

Pokud se tedy zdroj signálu přibližuje, vlnová délka se bude zkracovat, konkrétně:

$$\lambda_{p} = \lambda_s – x_d = \lambda_s – v_s\frac{\lambda_s}{c}$$

Můžeme tedy vyjádřit \(\lambda_p\):

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) $$

Případně pro frekvence:

$$ f_p = \frac{c}{\lambda_p} = \frac{c}{\lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c}\right)}$$

Nyní tedy praktický příklad: Představme si, že máme výše zmíněnou frekvenci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a zdroj se bude přibližovat rychlostí \(10\ \mathrm{ms^{-1}}\), potom:

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) = 0.34 \left( 1 – \frac{10}{340} \right) = 0.33\ \mathrm{m} = 33\ \mathrm{cm}$$

Vyjádříme-li to tedy frekvenčně, frekvence přibližujícího se zvuku bude:

$$ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{340}{0.33} = 1030\ \mathrm{Hz}$$

Jak takové dva zvuky zní za sebou si můžete poslechnout zde:

Případně si můžete stáhnout zvuk zde: 1000Hzvs1030Hz

Kontrolní výpočet dostaneme tak, že pokud dosadíme za \(v_s=c\), vidíme, že závorka se pak vynuluje a vyjde “nulová vlnová délka” (tedy nekonečná frekvence). Samozřejmě v reálu se nic takového nestane, ale vidíme, že vzorec v takovém případě nedává smysl — a to je správný stav.

Všechny ostatní případy, tedy kdy se posluchač pohybuje či kdy se pohybují současně posluchač i zdroj, se dají převést na tento model. Ostatní závislosti si tak můžete zkusit odvodit sami.

V příštím článku se podíváme na odvození těchto frekvencí pro obecný pohyb, tzn. takový, kdy se zdroj signálu nepřibližuje přímo k vám, ale bude vás míjet. Vytvoříme tedy funkci frekvence či vlnové délky v závislosti na vzájemné poloze. Ale to až zase příště, tak hezký den! 🙂