Příklad pro Jarmilu

Pří­klad s go­ni­o­me­t­ric­ký­mi funk­ce­mi pro Jar­mi­lu 🙂 Ane­bo jak do­stat ze \(\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) ono \(x\)? 🙂

Co nám tu­to za­dá­ní vlast­ně ří­ká? K ře­še­ní má­me už veš­ke­ré pod­kla­dy; ví­me, jak vy­pa­dá graf funk­ce \(\sin x\), jak však vy­pa­dá graf funk­ce \(\sin 2x\)?

Vý­cho­zí funk­ce \(y(x)=\sin x\) te­dy vy­pa­dá tak­to:

sinus_x

Funk­ce \(y(x) = \sin 2x\) vy­pa­dá úpl­ně stej­ně, ako­rát má dva­krát vět­ší frek­ven­ci, což zna­me­ná to­též, ja­ko když řek­nu, že má dva­krát men­ší pe­ri­o­du. Křiv­ka tak ne­ces­tu­je od \(0\) do \(2\pi\), ale jen do \(\pi\).

Vy­pa­dá to te­dy ně­jak ná­sle­dov­ně:

sinus_2x

V ob­ráz­ku jsem rov­nou fi­a­lo­vě na­zna­čil čá­ru od­po­ví­da­jí­cí hod­no­tě \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). A po­kud na­pí­še­me rov­ni­ci ve tva­ru, kte­rý uvá­dím vý­še, te­dy \(\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), na co se ta­ko­vou rov­ni­cí vlast­ně ptá­me?

Cí­lem je ur­čit ta­ko­vá \(x\), kte­rá ma­jí spo­leč­né \(\sin 2x\) a ono čís­lo na pra­vé stra­ně rov­nít­ka. Co o ta­ko­vých \(x\) mů­že­me ří­ci?

  • Na na­šem roz­sa­hu \(\lt 0 ; \pi \gt\) bu­dou dvě (viz ob­rá­zek)
  • Ví­me, že bu­dou v dru­hé po­lo­vi­ně křiv­ky (te­dy me­zi \(\frac{\pi}{2}\) a \(\pi\)), či­li „stup­ňo­vě“ me­zi 90 a 180 (ni­ko­liv 180 a 360, pro­to­že se jed­ná o dva­krát „rych­lej­ší“ křiv­ku)

Správ­ně si na­sta­ví­me kal­ku­lač­ku (na vý­po­čty ve stup­ních tře­ba) a za­dá­me „ar­kus si­nus“ pro hod­no­tu \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Ale po­zor! Kal­ku­lač­ka umí vy­ho­dit pou­ze jed­nu hod­no­tu, či­li mu­sí­me správ­ně uva­žo­vat! V mém pří­pa­dě vy­ho­di­la \(-60\). Vez­mě­me te­dy těch \(180\) stup­ňů, kte­ré jsou na kon­ci a odčtě­me \(60\). Vy­jde te­dy \(120\). A co ta dru­há hod­no­ta?

Jed­no­du­še — v na­šem pří­pa­dě vi­dí­me, že se jed­ná o sy­me­t­ric­ké ře­še­ní pod­le nej­hlub­ší­ho bo­du si­nu­sov­ky. A jak da­le­ko je 120 od 90? Stej­nou vzdá­le­nost na­jde­me i od 180 a má­me vy­hrá­no 😉

V ma­šem pří­pa­dě je to te­dy \(30\) stup­ňů, či­li \(180-30=150\) — a to je na­še dru­hé ře­še­ní.

Ale tam roz­hod­ně ne­kon­čí­me! Proč? Jak ví­me, křiv­ka jde „do ne­ko­neč­na“ — pros­tě dál a dál. Ne­e­xis­tu­je tak pou­ze jed­no či dvě ře­še­ní, exis­tu­je jich ne­ko­neč­ně mno­ho. Ta­to ře­še­ní jsou si však po­dob­ná — stej­ně ja­ko všech­ny si­nu­sov­ky vy­pa­da­jí „stej­ně“. Mu­sí­me te­dy na­psat ře­še­ní „vel­mi obec­ně“, ale aby by­lo jed­no­znač­ně de­fi­no­vá­no.

Ví­me, že křiv­ka se opa­ku­je kaž­dé \(\pi\), či­li bychom moh­li na­psat, že stej­ně, ja­ko exis­tu­je ře­še­ní „120“, tak exis­tu­je i \(120+\pi\). No­jo, jen­že ono pla­tí i ře­še­ní \(120+2\pi\) a dal­ší. Pro­to udě­lá­me trik — ře­še­ní na­pí­še­me ve tva­ru:

$$x_1 = 120 + k\pi; k\in \lt 1..\mathbb{N}\gt$$

$$x_2 = 150 + k\pi; k\in \lt 1..\mathbb{N}\gt$$

A to je ce­lé, tá­dy­dá­dy­dá 😉