S kamarádem Lukášem jsme při čajově-matematicko-fyzikální rozcvičce zjistili, že už si nepamatujeme odvození Schrödingerovy rovnice 🙂 Pamatuji si, že jsme to kdysi ve škole dělali, musel jsem si to tedy oživit — a zde je má varianta toho, jak ji odvodit:
Nejdříve tedy vyjděme ze základních vztahů, jako vždy. Víme, že celková energie se dá popsat jako:
$$ E = E_k + E_p$$
kde \(E_k\) je kinetická a \(E_p\) je potenciální energie. Kinetickou energii můžeme přepsat klasicky jako:
$$ E = \frac{1}{2}mv^2 + E_p$$
a potenciální energii můžeme brát jako obecnou energii, ať už se jedná o energii vzniknuvší působením gravitačního, elektromagnetického či jakého pole; označme si ji dále \(u\). Finální forma tedy zatím budiž:
$$ E = \frac{1}{2}mv^2 + u$$
Dále se musíme podívat na vlny a vlnění jako takové. Vlnu můžeme jednoduše zapsat jako součet goniometrických funkcí v komplexní rovině:
$$ \Psi = \cos(kx-\omega t)+i\sin(kx-\omega t) $$
A exponenciální formě pak:
$$ \Psi = e^{i(kx-\omega t)} $$
Zderivujme dvakrát podle \(x\) a získáme (postupně):
$$ \frac{\partial \Psi}{\mathrm{d}x} = ik \cdot e^{i(kx – \omega t)} = ik \Psi$$
$$\frac{\partial^2 \Psi}{\mathrm{d}x^2}=(ik)^2e^{i(kx-\omega t)} = -k^2\Psi$$
Co je to \(k\)? Pokud si tak označíme “převod” mezi \(f\) a \(\omega\), potom \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\) a tedy:
$$p=\frac{h}{\lambda}=\frac{hk}{2\pi}=\hbar k$$
a z toho plyne:
$$ k = \frac{p}{\hbar}$$
Dosadíme do rovnice s druhou derivací:
$$\frac{\partial^2 \Psi}{\mathrm{d}x^2}=-k^2\Psi = -\frac{p^2}{\hbar^2}\Psi = \frac{\partial^2\Psi}{\mathrm{d}x^2}$$
Přepíšeme-li si původní rovnici součtu energií: (vycházíme z faktu, že \(p=mv\), tedy \(p^2=m^2v^2\))
$$E = \frac{1}{2}mv^2 + u = \frac{1}{2m}p^2 + u$$
rozšíříme \(\Psi\):
$$E\Psi = \frac{1}{2m}p^2\Psi + u\Psi$$
a vidíme, že člen \(p^2\Psi\) se nám objevil i zde. Není tedy nic jednoduššího, než vytknout a dosadit:
$$E\Psi = \frac{-\hbar^2\partial^2\Psi}{2m\mathrm{d}x^2} + u\Psi$$
A to je tzv. časově nezávislá Schrödingerova rovnice. Časově nezávislá je proto, že se v ní prostě nevyskytuje \(t\), čas. Jak ho tam tedy dostat?
Víme, že \(E=hf\) a tedy:
$$E = hf = h\frac{\omega}{2\pi} = \hbar \omega$$
Vezměme původní vlnovou rovnici a zderivujeme, tentokrát podle \(t\):
$$ \Psi = e^{i(kx-\omega t)} $$
$$ \frac{\partial \Psi}{\mathrm{d}t}=-i\omega\Psi$$
$$E\Psi = -\hbar\omega\Psi$$
Podělíme \(\frac{-i}{k}\):
$$\frac{-i E \Psi}{k} = -i\omega\Psi = \frac{\partial \Psi}{\mathrm{d}t}$$
$$ E\Psi = \frac{\hbar\partial\Psi}{-i\mathrm{d}t}$$
a tedy
$$ \frac{-i\hbar\partial\Psi}{\mathrm{d}t}=E\Psi$$
Toto vzniknuvší \(E\Psi\) dosadíme do časově nezávislé rovnice a získáme:
$$\frac{-i\hbar\partial\Psi}{\mathrm{d}t}=\frac{-i\hbar^2\partial^2\Psi}{2m\mathrm{d}x^2}+u\Psi$$
A to je, vážení čtenáři, tzv. časově závislá Schrödingerova rovnice. 🙂
Níže mé ručně psané poznámky, třeba vám k něčemu budou 😉 😉
