Jednoduché odvození Schrödingerovy rovnice

S ka­ma­rá­dem Luká­šem jsme při čajově-matematicko-fyzikální roz­cvič­ce zjis­ti­li, že už si ne­pa­ma­tu­je­me od­vo­ze­ní Schrö­din­ge­ro­vy rov­ni­ce 🙂 Pa­ma­tu­ji si, že jsme to kdy­si ve ško­le dě­la­li, mu­sel jsem si to te­dy oži­vit — a zde je má va­ri­an­ta to­ho, jak ji odvodit:

Nejdří­ve te­dy vy­jdě­me ze zá­klad­ních vzta­hů, ja­ko vždy. Ví­me, že cel­ko­vá ener­gie se dá po­psat jako:

$$ E = E_k + E_p$$

kde \(E_k\) je ki­ne­tic­ká a \(E_p\) je po­ten­ci­ál­ní ener­gie. Ki­ne­tic­kou ener­gii mů­že­me pře­psat kla­sic­ky jako:

$$ E = \frac{1}{2}mv^2 + E_p$$

a po­ten­ci­ál­ní ener­gii mů­že­me brát ja­ko obec­nou ener­gii, ať už se jed­ná o ener­gii vznik­nuvší pů­so­be­ním gra­vi­tač­ní­ho, elek­tro­mag­ne­tic­ké­ho či ja­ké­ho po­le; označ­me si ji dá­le \(u\). Fi­nál­ní for­ma te­dy za­tím budiž:

$$ E = \frac{1}{2}mv^2 + u$$

Dá­le se mu­sí­me po­dí­vat na vl­nyvl­ně­ní ja­ko ta­ko­vé. Vl­nu mů­že­me jed­no­du­še za­psat ja­ko sou­čet go­ni­o­me­t­ric­kých funk­cí v kom­plex­ní rovině:

$$ \Psi = \cos(kx-\omega t)+i\sin(kx-\omega t) $$

A ex­po­nen­ci­ál­ní for­mě pak:

$$ \Psi = e^{i(kx-\omega t)} $$

Zde­ri­vuj­me dva­krát pod­le \(x\) a zís­ká­me (po­stup­ně):

$$ \frac{\partial \Psi}{\mathrm{d}x} = ik \cdot e^{i(kx – \ome­ga t)} = ik \Psi$$

$$\frac{\partial^2 \Psi}{\mathrm{d}x^2}=(ik)^2e^{i(kx-\omega t)} = -k^2\Psi$$

Co je to \(k\)? Po­kud si tak ozna­čí­me „pře­vod“ me­zi \(f\) a \(\ome­ga\), po­tom \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\) a tedy:

$$p=\frac{h}{\lambda}=\frac{hk}{2\pi}=\hbar k$$

a z to­ho plyne:

$$ k = \frac{p}{\hbar}$$

Do­sa­dí­me do rov­ni­ce s dru­hou derivací:

$$\frac{\partial^2 \Psi}{\mathrm{d}x^2}=-k^2\Psi  =  -\frac{p^2}{\hbar^2}\Psi = \frac{\partial^2\Psi}{\mathrm{d}x^2}$$

Přepíšeme-li si pů­vod­ní rov­ni­ci souč­tu ener­gií: (vy­chá­zí­me z fak­tu, že \(p=mv\), te­dy \(p^2=m^2v^2\))

$$E = \frac{1}{2}mv^2 + u = \frac{1}{2m}p^2 + u$$

roz­ší­ří­me \(\Psi\):

$$E\Psi = \frac{1}{2m}p^2\Psi + u\Psi$$

a vi­dí­me, že člen \(p^2\Psi\) se nám ob­je­vil i zde. Ne­ní te­dy nic jed­no­duš­ší­ho, než vy­tknout a dosadit:

$$E\Psi = \frac{-\hbar^2\partial^2\Psi}{2m\mathrm{d}x^2} + u\Psi$$

A to je tzv. ča­so­vě ne­zá­vis­lá Schrö­din­ge­ro­va rov­ni­ce. Ča­so­vě ne­zá­vis­lá je pro­to, že se v ní pros­tě ne­vy­sky­tu­je \(t\), čas. Jak ho tam te­dy dostat?

Ví­me, že \(E=hf\) a tedy:

$$E = hf = h\frac{\omega}{2\pi} = \hbar \ome­ga$$

Vez­mě­me pů­vod­ní vl­no­vou rov­ni­ci a zde­ri­vu­je­me, ten­to­krát pod­le \(t\):

$$ \Psi = e^{i(kx-\omega t)} $$

$$ \frac{\partial \Psi}{\mathrm{d}t}=-i\omega\Psi$$

$$E\Psi = -\hbar\omega\Psi$$

Po­dě­lí­me \(\frac{-i}{k}\):

$$\frac{-i E \Psi}{k} = -i\omega\Psi = \frac{\partial \Psi}{\mathrm{d}t}$$

$$ E\Psi = \frac{\hbar\partial\Psi}{-i\mathrm{d}t}$$

a te­dy

$$ \frac{-i\hbar\partial\Psi}{\mathrm{d}t}=E\Psi$$

To­to vznik­nuvší \(E\Psi\) do­sa­dí­me do ča­so­vě ne­zá­vis­lé rov­ni­ce a získáme:

$$\frac{-i\hbar\partial\Psi}{\mathrm{d}t}=\frac{-i\hbar^2\partial^2\Psi}{2m\mathrm{d}x^2}+u\Psi$$

A to je, vá­že­ní čte­ná­ři, tzv. ča­so­vě zá­vis­lá Schrö­din­ge­ro­va rov­ni­ce. 🙂

Ní­že mé ruč­ně psa­né po­znám­ky, tře­ba vám k ně­če­mu budou 😉 😉

Schrodinger 001 Schrodinger 002