Archiv pro rubriku: Do­plň­ko­vé člán­ky

Mo­tor – jak je to s vý­ko­nem a mo­men­tem?

Na zá­kla­dě dis­ku­se na Fa­ce­boo­ku, kde se ka­ma­rád po­kou­šel po­cho­pit z mých krát­kých pří­spěv­ků, jak sou­vi­sí vý­kon a krou­ti­vý mo­ment, jsem se ra­dě­ji roz­ho­dl se­psat myš­len­ky do pl­no­hod­not­né­ho (byť krát­ké­ho) člán­ku. Zce­la vě­řím, že totiž ten­to ka­ma­rád ne­bu­de je­di­ný, kdo má v uve­de­ných po­jmech ja­kousi „ml­hu“ a po­tře­bo­val by je osvět­lit.

Vý­kon, krou­ti­vý mo­ment a je­jich vý­znam

Všech­ny mo­to­ry má­me na svě­tě pro­to, aby ko­na­ly ně­ja­kou prá­ci. Prá­ce, uvá­dě­ná v Jou­lech, je ve­li­či­na, kte­rá nám po­pi­su­je do­slo­va „ko­lik je to­ho tře­ba udě­lat“. Kupří­kla­du po­kud bu­de­me táh­nout 500kilový kla­vír do 4. pa­t­ra, te­dy zhru­ba do 20 me­t­rů výš­ky, bu­de­me po­tře­bo­vat při­bliž­ně (za­o­krouh­luj­me pro­sím) prá­ci:

$$W=F s = m g s = 500 \cdot 10 \cdot 20 = 100\ \mathrm{kJ}$$

(ke stej­né­mu vý­sled­ku bychom do­šli, kdy­bychom po­čí­ta­li přes po­ten­ci­ál­ní ener­gii, kde \(W = mgh\), což je vlast­ně to­též v na­šem pří­pa­dě 😉 )

Abychom te­dy do­sta­li ta­ko­vý kla­vír do ta­ko­vé­ho 4. pa­t­ra, po­tře­bu­je­me ně­kde se­hnat prá­ci \(100\ \mathrm{kJ}\). Buď ji vy­vi­ne­me ruč­ně, klad­ka­mi či po­u­ži­je­me ně­ja­ký mo­tor. Jen­že sa­mo­zřej­mě in­tu­i­tiv­ně, po­kud bu­de­me mít mo­tor, kte­rý bu­de mít „vět­ší pá­ru“, vy­táh­ne nám tam kla­vír mno­hem rych­le­ji než ně­ja­ký sla­bouč­ký mo­tůrek. Množ­ství to­ho, ja­kou „to má pá­ru“ se te­dy ří­ká vý­kon a jed­ná se vel­mi jed­no­du­še po schop­nost pro­vést ně­ja­kou prá­ci za prů­měr­ný čas. Po­kud bychom te­dy chtě­li náš kla­vír vy­táh­nout za 10 vte­řin, bu­de­me po­tře­bo­vat vý­kon:

$$ P = \frac{W}{t} = \frac{m g s}{t} = \frac{500 \cdot 10 \cdot 20}{10} = 10\ \mathrm{kW}$$

Bu­de­me te­dy po­tře­bo­va mo­tor s vý­ko­nem ale­spoň \(10\ \mathrm{kW}\). Sa­mo­zřej­mě ne­bu­de­me uva­žo­vat, že mo­to­ry ne­ma­jí 100% účin­nost a tak po­dob­ně, spí­še jde o prin­cip ja­ko ta­ko­vý.

Nicmé­ně – je vám asi jas­né, že úpl­ně „ne­fun­gu­je“ jed­no­du­chá zkrat­ka, že po­kud vez­mu tře­ba mo­to­rek z ostři­ko­va­čů a bu­du s ním zve­dat ta­ko­vý kla­vír, bu­de mi to tr­vat tře­ba 2 ho­di­ny a zved­nu ho.  Sa­mo­zřej­mě by to moh­lo fun­go­vat, ale je po­tře­ba, aby – byť po­ma­lý – mo­tor uměl vy­ko­ná­vat ně­ja­kou sí­lu, kte­rá by by­la vět­ší, než sí­la pů­so­bí­cí gra­vi­ta­cí (te­dy aby kla­vír ne­kle­sal, ale stou­pal).

Mu­sí být te­dy scho­pen vy­vi­nout ur­či­tý mo­ment, kte­rým by na da­né tě­le­so pů­so­bil (byť po­ma­lu). Jed­ná se o to­či­vý stroj (mo­tor se otá­čí a dě­lá po­řád do­ko­la to sa­mé – za­bí­rá), ve­li­či­na, kte­rá nám po­pi­su­je to­to si­lo­vé pů­so­be­ní se na­zý­vá krou­ti­vý mo­ment.

Po­kud de­fi­nu­je­me dráhu, kte­rou mu­sí ob­vod to­či­vé­ho stro­je (je­ho ak­tiv­ní čás­ti) vy­ko­nat, aby udě­lal jed­nu otáč­ku, je to kla­sic­ký ob­vod:

$$o=\frac{2\pi o}{60}$$

Še­de­sá­ti dě­lí­me pro­to, že otáč­ky se uvá­dí v „rpm“, te­dy „otáč­kách za mi­nu­tu“. Po­kud má­te otáč­ky v otáč­kách za sekun­du, po­té sa­mo­zřej­mě ne­dě­lí­te 🙂 Prá­ce, jak ví­me, je si­lo­vé pů­so­be­ní po ně­ja­ké drá­ze, te­dy:

$$ W = F s$$

No a po­kud ví­me, že drá­ha je rov­na ob­vo­du:

$$ W = F s = F \frac{2 \pi r}{60}$$

Což je náš vztah pro vý­kon. Mů­že­me udě­lat zkrat­ku, že:

$$M = F r$$

A te­dy

$$ W = \frac{2 \pi M o}{60}$$

Da­ný vý­kon mo­to­ru te­dy pří­mo sou­vi­sí s krou­ti­vým mo­men­tem, kte­rým mo­tor na da­nou „pře­káž­ku“ pů­so­bí.

Prak­tic­ké otáz­ky

Vi­dí­me, že vý­kon mo­to­ru je pří­mo zá­vis­lý na otáč­kách mo­to­ru. Zkus­me si pro­to za­ex­pe­ri­men­to­vat s růz­ný­mi prů­běhy krou­ti­vé­ho mo­men­tu a vý­ko­nu.

Pří­klad 1) Plo­chý „krou­ti­vý mo­ment“:

Prů­běh krou­ti­vé­ho mo­men­tu te­dy bu­de vy­pa­dat např. tak­to:

Vi­dí­me, že mo­tor, kte­rý by měl tak­to rov­ný prů­běh, by do­sa­ho­val nej­vět­ších vý­ko­nů při nej­vyš­ších otáč­kách, při­čemž by měl stá­le kon­stant­ní krou­ti­vý mo­ment, v na­šem pří­pa­dě \(100\ \mathrm{Nm}\). Osa vý­ko­nu je ve Wat­tech, te­dy vi­dí­me, že ko­lem 10 000 otá­ček by měl mo­tor vý­kon přes 100 kW, což od­po­ví­dá zhru­ba 135 koň­ským si­lám.

Žád­ný mo­tor však ne­má tak­to krás­ný prů­běh krou­ťá­ku, mož­ná tak v Tes­le se při­bli­žu­jí, ale ji­nak se jed­ná vět­ši­nou o ně­ja­kou křiv­ku. V tech­nic­kých spe­ci­fi­ka­cích mo­to­ru vět­ši­nou na­jde­te, že má­te „ma­xi­mál­ní krou­ťák“ tře­ba 110 Nm při 4500 otáč­kách. To zna­me­ná, že všu­de jin­de je to „mé­ně“. Zkus­me si tu­to si­tu­a­ci opět na­črt­nout gra­fem:

Pří­klad 2) Mo­tor s re­ál­ným krou­ťá­kem

 

Zde vi­dí­me za­jí­ma­vý jev – za­tím­co krou­ti­vý mo­ment má svůj vr­chol zhru­ba v oněch 5000 otáč­kách, vý­kon má svůj vr­chol sko­ro až v 7000. Ty­to cha­rak­te­ris­ti­ky jsou prá­vě vel­mi dů­le­ži­té – čím má­te vyš­ší krou­ťák ve vyš­ších otáč­kách, tím má­te i vět­ší vý­kon.

Dou­fám, že je to vše jas­né, pří­pad­ně se ozvě­te do ko­men­tů 😉 A bu­du rád za sdí­le­ní! 😉

Výš­ka hla­di­ny po vlo­že­ní kost­ky le­du do vo­dy

Ten­to pří­klad je vel­mi jed­no­du­chý, nicmé­ně sto­jí za uve­de­ní:

Za­dá­ní (pře­ko­pí­ro­va­né z Fa­ce­boo­ku zní): V ná­do­bě o pod­sta­vě s hra­na­mi 10 cm a 15 cm je přes­ně 1 li­tr vo­dy v ka­pal­ném sta­vu. Do ka­pa­li­ny je vho­ze­na krych­le vod­ní­ho le­du o hra­ně 4 cm. Ja­ká bu­de výš­ka hla­di­ny ihned po­tom, co se hla­di­na po vho­ze­ní le­do­vé kost­ky ustá­lí? Ja­ká bu­de výš­ka hla­di­ny po­tom, co se kost­ka roz­pus­tí? Pro jed­no­du­chost před­po­klá­dej­me hus­to­tu ka­pal­né vo­dy \(1 \frac{g}{cm^3}\) a le­du \(\frac{9}{10} \frac{g}{cm^3}\), a žád­né zá­vis­los­ti ob­je­mu na tep­lo­tě.

Ví­me, že ob­jem bu­de te­dy:

$$V = a b v$$

kde \(v\) od­po­ví­dá výš­ce. Z to­ho snad­no ur­čí­me:

$$v = \frac{V}{ab}$$

Ny­ní mu­sí­me zjis­tit vliv vlo­že­né kost­ky. Ob­jem ta­ko­vé kost­ky je:

$$V = 4^3$$

Pod­le Ar­chi­mé­do­va zá­ko­na bu­de pla­vat a vy­tla­čí množ­ství vo­dy v po­mě­ru hus­tot, te­dy vy­tla­čí:

$$V_{vytlaceno}=V_{led} \frac{\rho_{led}}{\rho_{voda}}$$

Te­dy vý­sled­ná výš­ka bu­de:

$$v = \frac{V_{vytlaceno}+V}{ab}$$

Do­sa­dí­me te­dy:

$$v = \frac{V_{led} \frac{\rho_{led}}{\rho_{voda}}+V}{ab}=\frac{4^3\frac{9}{10}+1000}{10 \cdot 15} = 7,051\ \mathrm{cm}$$

Před vy­tla­če­ním te­dy ne­byl ob­jem s le­dem:

$$v = \frac{V}{ab}=\frac{1000}{10 \cdot 15} = 6,667\ \mathrm{cm}$$

Roz­díl je te­dy ne­ce­lé \(4\ \mathrm{mm}\).

UPDATE: Jsem si vši­ml, že jsem za­dá­ní špat­ně opsal (ce­lý já), zá­klad­na je čtver­co­vá o hra­ně 10 cm – nicmé­ně to ne­ní pro­blém, to se snad­no do­sa­dí do vznik­nuvších vzta­hů a vy­jdou výš­ky \(10,576\ \mathrm{cm}\) a \(10\ \mathrm{cm}\), te­dy roz­díl zr­hu­ba ne­ce­lých 6 mi­li­me­t­rů 😉

UPDATE 2: Za­po­mněl jsem ješ­tě na část ře­še­ní – jak se změ­ní hla­di­na po­té, co se led roz­pus­tí. Lo­gic­ky – ne­změ­ní, hmot­nost le­du a hmot­nost vo­dy po roz­puš­tě­ní kost­ky bu­de stej­ná, te­dy vy­tla­čí se stej­né množ­ství.

Stud­na a dva klac­ky

Do­stal jsem od in­struk­to­ra v au­to­ško­le vel­mi za­jí­ma­vý pří­klad – po­kud ho zná­te, tím lé­pe, ale fakt jsem ho ne­znal a hod­ně se mi lí­bil, zku­sil jsem te­dy při­jít na ně­ja­ké ře­še­ní 😉 😉 Na­ko­nec mi z to­ho „vy­padlo“ ně­co nor­mál­ní­ho (te­dy re­ál­né­ho), svůj po­stup te­dy uve­řej­ňu­ji zde.

Měj­me ná­sle­du­jí­cí za­dá­ní: Exis­tu­je stud­na ne­zná­mé hloub­ky a prů­mě­ru, do kte­ré ho­dí­me dva klac­ky; je­den tří­me­t­ro­vý, dru­hý dvou­me­t­ro­vý. Před­po­klá­dej­me, že jsou „v ro­vi­ně“ a je­jich mís­to se­tká­ní je nad dnem stud­ny ve výš­ce 1 me­tr. Otáz­ka zní – ja­ký je prů­měr ta­ko­vé stud­ny.

Si­tu­ač­ní ob­rá­zek bych na­vr­hl asi tak­to:

studna
Si­tu­ač­ní plá­nek stud­ny

Za­čal bych asi svo­jí prv­ní myš­len­kou, a to si­ce že ře­še­ní se ur­či­tě bu­de dě­lat ně­jak přes po­dob­nos­ti troj­ú­hel­ní­ků. Za­čal jsem te­dy zu­ři­vě hle­dat růz­né po­dob­nos­ti, ně­kte­ré mě za­ved­ly do sle­pých cest (te­dy ne, že by si ně­kte­ré troj­ú­hel­ní­ky ne­by­ly po­dob­né, ale by­lo mi to k ni­če­mu), ale na­ko­nec se jed­na ces­ta za­da­ři­la, tu zde i pre­zen­tu­ji 🙂

Ze vše­ho nejdří­ve si na­pí­še­me rov­ni­ce, ze kte­rých bu­de­me vy­chá­zet. Jed­né se o sou­sta­vu růz­ně pro­ple­te­ných pra­vo­úh­lých troj­ú­hel­ní­ků. Ze vše­ho nejdří­ve si ur­če­me, že cel­ko­vý prů­měr \(d\) bu­de sa­mo­zřej­mě ro­ven:

$$d = d_1+d_2$$

A ny­ní mů­že­me pra­co­vat s jed­not­li­vý­mi stra­na­mi:

$$\begin{array} aa^2+d^2 & = & 3^2 \\ b^2 + d^2 & = & 2^2\end{array}$$

Tím jsme po­psa­li dva hlav­ní (vel­ké) troj­ú­hel­ní­ky. Ny­ní po­pí­še­me vzta­hy v troj­ú­hel­ní­ku s na­zna­če­nou výš­kou. Vy­jde­me prá­vě z té po­dob­nos­ti, te­dy že:

$$\frac{d_1}{v} = \frac{d}{b}$$

te­dy po do­sa­ze­ní \(v=1\) zís­ká­me:

$$d_1 = \frac{d}{b}$$

a ob­dob­ně

$$d_2 = \frac{d}{a}$$

Vy­já­d­ří­me si jed­nu a dru­hou stra­nu:

$$d_1=\frac{d}{b}, d_2=\frac{d}{a}$$

a do­sa­dí­me do vý­še uve­de­né rov­ni­ce souč­tu čás­tí prů­mě­ru:

$$d=\frac{d}{b}+\frac{d}{a}$$

Z to­ho vy­já­d­ří­me jed­nu či dru­hou pro­měn­nou, za­čně­me tře­ba \(a\):

$$\frac{d}{a}=d-\frac{d}{b}=\frac{db-d}{b}$$

z to­ho te­dy:

$$a = \frac{b}{b-1}$$

pří­pad­ně

$$b = \frac{a}{a-1}$$

To­to do­sa­ď­me do úpl­ně prv­ních dvou rov­nic pro vel­ké troj­ú­hel­ní­ky:

$$d^2+\frac{b^2}{\left(b-1\right)^2}=3^2$$

$$d^2+b^2=2^2$$

Vy­já­d­ří­me si z dru­hé rov­ni­ce \(d^2\) a do­sa­dí­me do prv­ní:

$$2^2-b^2+\frac{b^2}{\left(b-1\right)^2}=3^2$$

Pře­ve­de­me na ro­zum­ný tvar a vy­ře­ší­me ja­ko rov­ni­ci 4. řá­du, tře­ba po­mo­cí Wolfra­mu, to už je jed­no (ale mů­že­te zku­sit ruč­ně) a vy­jdou 4 ře­še­ní, z to­ho 2 kom­plex­ní, kte­rá rov­nou za­vrh­ne­me.

$$b_1=0,7009 ; b_2=1,5761$$

Kte­ré vy­brat? To za­tím ne­ví­me, kaž­do­pád­ně po­kud do­sa­dí­me do rov­ni­ce pro prů­měr a od­moc­ní­me, vy­jdou nám (pro­za­tím) dvě ře­še­ní:

$$d_{I}=\sqrt{2^2-b_1^2} = 1,23$$

$$d_{II}=\sqrt{2^2-b_2^2} = 1,87316$$

Mu­sí­me vy­já­d­řit te­dy stej­né rov­ni­ce, ako­rát pro vy­já­d­ře­né \(b\), te­dy:

$$b=\frac{a}{a-1}$$

Stej­ným po­stu­pem ja­ko vý­še do­sta­ne­me rov­ni­ci:

$$3^2-a^2+\frac{a^2}{\left(a-1\right)^2}=2^2$$

a ta po vy­ře­še­ní dá dva re­ál­né ko­ře­ny:

$$ a_1=-2,34$$

$$a_2 = 2,7357$$

Prv­ní rov­nou vy­ho­dí­me, dél­ky pros­tě zá­por­né ne­chce­me, drž­me se to­ho 🙂 Do­sa­dí­me te­dy \(a_2\) a vy­jde:

$$d=\sqrt{3^2-a_2^2}=1,2312$$

To se te­dy sho­du­je s ře­še­ním „z dru­hé stra­ny“ pro­blé­mu – pro­to ten­to vý­sle­dek pro­hlá­sí­me za fi­nál­ní. Prů­měr stud­ny je te­dy \(1,23\) me­t­rů.

Jed­no­du­ché od­vo­ze­ní Schrö­din­ge­ro­vy rov­ni­ce

S ka­ma­rá­dem Luká­šem jsme při čajově-matematicko-fyzikální roz­cvič­ce zjis­ti­li, že už si ne­pa­ma­tu­je­me od­vo­ze­ní Schrö­din­ge­ro­vy rov­ni­ce 🙂 Pa­ma­tu­ji si, že jsme to kdy­si ve ško­le dě­la­li, mu­sel jsem si to te­dy oži­vit – a zde je má va­ri­an­ta to­ho, jak ji od­vo­dit:

Nejdří­ve te­dy vy­jdě­me ze zá­klad­ních vzta­hů, ja­ko vždy. Ví­me, že cel­ko­vá ener­gie se dá po­psat ja­ko:

$$ E = E_k + E_p$$

kde \(E_k\) je ki­ne­tic­ká a \(E_p\) je po­ten­ci­ál­ní ener­gie. Ki­ne­tic­kou ener­gii mů­že­me pře­psat kla­sic­ky ja­ko:

$$ E = \frac{1}{2}mv^2 + E_p$$

a po­ten­ci­ál­ní ener­gii mů­že­me brát ja­ko obec­nou ener­gii, ať už se jed­ná o ener­gii vznik­nuvší pů­so­be­ním gra­vi­tač­ní­ho, elek­tro­mag­ne­tic­ké­ho či ja­ké­ho po­le; označ­me si ji dá­le \(u\). Fi­nál­ní for­ma te­dy za­tím bu­diž:

$$ E = \frac{1}{2}mv^2 + u$$

Dá­le se mu­sí­me po­dí­vat na vl­nyvl­ně­ní ja­ko ta­ko­vé. Vl­nu mů­že­me jed­no­du­še za­psat ja­ko sou­čet go­ni­o­me­t­ric­kých funk­cí v kom­plex­ní ro­vi­ně:

$$ \Psi = \cos(kx-\omega t)+i\sin(kx-\omega t) $$

A ex­po­nen­ci­ál­ní for­mě pak:

$$ \Psi = e^{i(kx-\omega t)} $$

Zde­ri­vuj­me dva­krát pod­le \(x\) a zís­ká­me (po­stup­ně):

$$ \frac{\partial \Psi}{\mathrm{d}x} = ik \cdot e^{i(kx – \ome­ga t)} = ik \Psi$$

$$\frac{\partial^2 \Psi}{\mathrm{d}x^2}=(ik)^2e^{i(kx-\omega t)} = -k^2\Psi$$

Co je to \(k\)? Po­kud si tak ozna­čí­me „pře­vod“ me­zi \(f\) a \(\ome­ga\), po­tom \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\) a te­dy:

$$p=\frac{h}{\lambda}=\frac{hk}{2\pi}=\hbar k$$

a z to­ho ply­ne:

$$ k = \frac{p}{\hbar}$$

Do­sa­dí­me do rov­ni­ce s dru­hou de­ri­va­cí:

$$\frac{\partial^2 \Psi}{\mathrm{d}x^2}=-k^2\Psi  =  -\frac{p^2}{\hbar^2}\Psi = \frac{\partial^2\Psi}{\mathrm{d}x^2}$$

Přepíšeme-li si pů­vod­ní rov­ni­ci souč­tu ener­gií: (vy­chá­zí­me z fak­tu, že \(p=mv\), te­dy \(p^2=m^2v^2\))

$$E = \frac{1}{2}mv^2 + u = \frac{1}{2m}p^2 + u$$

roz­ší­ří­me \(\Psi\):

$$E\Psi = \frac{1}{2m}p^2\Psi + u\Psi$$

a vi­dí­me, že člen \(p^2\Psi\) se nám ob­je­vil i zde. Ne­ní te­dy nic jed­no­duš­ší­ho, než vy­tknout a do­sa­dit:

$$E\Psi = \frac{-\hbar^2\partial^2\Psi}{2m\mathrm{d}x^2} + u\Psi$$

A to je tzv. ča­so­vě ne­zá­vis­lá Schrö­din­ge­ro­va rov­ni­ce. Ča­so­vě ne­zá­vis­lá je pro­to, že se v ní pros­tě ne­vy­sky­tu­je \(t\), čas. Jak ho tam te­dy do­stat?

Ví­me, že \(E=hf\) a te­dy:

$$E = hf = h\frac{\omega}{2\pi} = \hbar \ome­ga$$

Vez­mě­me pů­vod­ní vl­no­vou rov­ni­ci a zde­ri­vu­je­me, ten­to­krát pod­le \(t\):

$$ \Psi = e^{i(kx-\omega t)} $$

$$ \frac{\partial \Psi}{\mathrm{d}t}=-i\omega\Psi$$

$$E\Psi = -\hbar\omega\Psi$$

Po­dě­lí­me \(\frac{-i}{k}\):

$$\frac{-i E \Psi}{k} = -i\omega\Psi = \frac{\partial \Psi}{\mathrm{d}t}$$

$$ E\Psi = \frac{\hbar\partial\Psi}{-i\mathrm{d}t}$$

a te­dy

$$ \frac{-i\hbar\partial\Psi}{\mathrm{d}t}=E\Psi$$

To­to vznik­nuvší \(E\Psi\) do­sa­dí­me do ča­so­vě ne­zá­vis­lé rov­ni­ce a zís­ká­me:

$$\frac{-i\hbar\partial\Psi}{\mathrm{d}t}=\frac{-i\hbar^2\partial^2\Psi}{2m\mathrm{d}x^2}+u\Psi$$

A to je, vá­že­ní čte­ná­ři, tzv. ča­so­vě zá­vis­lá Schrö­din­ge­ro­va rov­ni­ce. 🙂

Ní­že mé ruč­ně psa­né po­znám­ky, tře­ba vám k ně­če­mu bu­dou 😉 😉

Schrodinger 001 Schrodinger 002

Hud­ba ve 432 vs 440 Hz

Ten­to člá­nek ne­dá­vám ani do do­plň­ko­vých člán­ků, pro­to­že s fy­zi­kou má spo­leč­né­ho fakt jen mi­ni­mál­ně. Rov­nou ho te­dy dá­vám do „zá­ba­vy“. Nicmé­ně po­kud vám ta­to čís­la nic ne­ří­ka­jí, nej­spí­še pa­t­ří­te k té šťast­né mno­ži­ně li­dí, kte­ré prů­nik s mno­ži­nou li­dí, kte­ří vě­ří či pro­pa­gu­jí ten­to ne­smy­sl, je mno­ži­na prázdná[1]Prostě jste o tom nesly­še­li 🙂 .

O co se te­dy jed­ná? Za­stán­ci té­to po­div­né hy­po­té­zy ří­ka­jí, že hud­ba je při pod­la­dě­ní o 8 Hz pří­z­ni­věj­ší tě­lu a mys­li, než po­kud se hra­je v kla­sic­kém la­dě­ní. Mož­ná by to však chtě­lo troš­ku ale­spoň fy­zi­kál­ně zmí­nit, jak je to vlast­ně s la­dě­ním (když už se te­dy má­me ba­vit o fy­zi­ce).

Tó­ny

Asi to kaž­dý zná­te – tón, zvuk, hluk; ty­to ter­mí­ny se de­fi­nu­jí snad už na ZŠ, či­li ne­bu­du je dlou­ho ro­ze­bí­rat, jen struč­ně: tón je na roz­díl od hlu­ku ho­mo­gen­ní a pe­ri­o­dic­ký, zvuk je mno­ži­na vše­ho, do če­ho pat­ří i tón, hluk atp.

Jak ví­te, zvuk je me­cha­nic­ké vl­ně­ní ně­ja­ké­ho pro­stře­dí, v na­šem pří­pa­dě vzdu­chu, kte­ré tím­to pře­ná­ší ně­ja­kou zvu­ko­vou in­for­ma­ci. Tu pak mo­zek přes pe­ri­fe­rie (ucho) zpra­co­vá­vá na hu­deb­ní či zvu­ko­vý vjem.

Bě­hem his­to­rie se chá­pá­ní „hud­by“ ja­ko sou­sta­vy tó­nů po­měr­ně dost bouř­li­vě vy­ví­je­lo, nicmé­ně to, že dnes po­u­ží­vá­me kla­sic­ké tó­ni­ny, na kte­ré jsme zvyklí, ne­ní jen tak ná­ho­dou. His­to­rii pře­ne­chám his­to­ri­kům, po­pí­še­me si všech­no pěk­ně fy­zi­kál­ně.

Zá­klad­ní tón, har­mo­nic­ká, in­ter­va­ly

Po­kud vás za­jí­má ví­ce z hu­deb­ní te­o­rie, pře­čtě­te si člán­ky, kde ty­to vě­ci po­pi­su­ji (či pří­pad­ně člán­ky o iter­va­lech) z hu­deb­ní­ho hle­dis­ka, nicmé­ně ny­ní pou­ze fy­zi­kál­ně:

Jak jsme již řek­li, tón je ge­ne­ro­ván ně­ja­kým vl­ně­ním, v na­šem pří­pa­dě se ome­zí­me na har­mo­nic­ké vl­ně­ní:

$$ f(t) = y = \sin \left(\omega t + \phi \right) $$

Kde \(y\) je ak­tu­ál­ní vý­chyl­ka, \(\ome­ga\) je úh­lo­vá frek­ven­ce, \(t\) je čas, kte­rý do rov­ni­ce vstu­pu­je ja­ko pa­ra­me­tr a \(\phi\) je fá­zo­vý po­suv. Nicmé­ně po­kud bychom si vy­tvo­ři­li např. ta­ko­vý­to tón, kte­rý má frek­ven­ci 440 Hz, zněl by po­ně­kud fád­ně, ne­za­jí­ma­vě, nud­ně:

Krom to­ho, že tón ne­ní ani tak hla­si­tý a přes­to je dost ne­pří­jem­ný. Aby tón zněl lé­pe, je za­po­tře­bí smí­chat ví­ce tó­nů, nicmé­ně ne jen tak le­da­by­le a ná­hod­ně, je po­tře­ba je smí­chat pod­le ně­ja­kých pra­vi­del. Nej­jed­no­duš­ším mí­chá­ním je stav, kdy mí­chám růz­né „har­mo­nic­ké“ frek­ven­ce. Co to je har­mo­nic­ká? Zde uve­de­ný tón si mů­že­me za­kres­lit např. tak­to:

Jak vi­dí­te, křiv­ka se ne­u­stá­le opa­ku­je – což je přes­ně to, co slo­vo „har­mo­nic­ká“ zna­me­ná, je totiž pe­ri­o­dic­ká (tzn. ne­u­stá­le se opa­ku­jí­cí). Abychom moh­li při­dat tře­ba „dru­hou har­mo­nic­kou“, mu­sí­me při­dat ta­ko­vou „har­mo­nic­kou“, kte­rá bu­de mít stej­né mís­to opa­ko­vá­ní – te­dy aby tam, kde se křiv­ka v nule[2]či tam, kam nás fá­ze po­su­ne po­tká­vá s osou \(t\), aby se i tam po­tká­va­la křiv­ka dal­ší har­mo­nic­ké frek­ven­ce. Po­kud při­dá­me např. frek­ven­ci 880 Hz, te­dy:

Vý­sled­ná frek­ven­ce bu­de pros­tým souč­tem těch­to dvou kři­vek, te­dy:

Si­ce už to ne­ní „si­nu­sov­ka“, ale vi­dí­me, že je to funk­ce ne­u­stá­le pe­ri­o­dic­ká. Zní ně­jak tak­to:

Kon­t­rol­ní otáz­ka (o dal­ší Fi­dor­ku!), po­kud si tu­ten souzvuk pus­tí­te, jak vy­svět­lí­te ono „vl­ně­ní“ zvu­ku? Proč zvuk ne­zní stá­le stej­ně, ale ja­ko by pul­zo­val?

Nicmé­ně tím­to způ­so­bem mů­že­te při­dat hro­ma­du kři­vek, při­dám ješ­tě 220 a 110 Hz:

Vi­dí­me, že křiv­ka za­čí­ná být oprav­du slo­ži­tá, ale po­řád je pe­ri­o­dic­ká, po­řád se opa­ku­je. Zní tak­to:

Nicmé­ně když ten­to tón sly­ší­me, po­řád je to pros­tě „ta­ko­vé ja­lo­vé“. Jak se do­sáh­ne to­ho, že tó­ny zní tak ně­jak lé­pe?

Za­tím jsme totiž mí­cha­li pou­ze ná­sob­ky har­mo­nic­ké – dvoj­ná­sob­nou frek­ven­ci, po­lo­vič­ní, čtvr­ti­no­vou. To­mu­to in­ter­va­lu me­zi tó­ny se ří­ká ok­tá­va a vy­ja­dřu­je přes­ně to, co jsme si uká­za­li – dvoj­ná­so­bek (či půl­ná­so­bek) pů­vod­ní frek­ven­ce. Po­kud tón o frek­ven­ci 440 Hz ozna­čí­me ja­ko \(a_1\), po­tom ten o frek­ven­ci 880 Hz bu­de \(a_2\), frek­ven­ce 220 Hz od­po­ví­dá \(a\) a 110 po­tom \(A\) (čte­me ja­ko „á ma­lé“ a „á vel­ké“).

To je však po­řád jen tón A, ale kdo ně­kdy vi­děl ky­ta­ru ne­bo kla­vír dob­ře ví, že je tam po­ně­kud ví­ce tó­nů. Tak­že jak vznik­nou? Za­čně­me s dal­ší pěk­nou ma­te­ma­tic­kou zá­vis­los­tí – čis­tou kvin­tou. Že je to kvin­ta, na to li­dé při­šli až poz­dě­ji, nicmé­ně kvin­ta má troj­ko­vé ná­sob­ky. Smí­chej­me pro­to Náš tón 440 Hz s frek­ven­cí 660 Hz, te­dy \(\frac{3}{2}\) z 440 Hz:

Pro dal­ší in­ter­va­ly pla­tí dal­ší zá­ko­ni­tos­ti, nicmé­ně ta­ko­vým­to růz­ným dě­le­ním do­sta­ne­me hro­ma­du tó­nů, kte­ré když uspo­řá­dá­me do na­šich zná­mých stup­nic, do­sta­ne­me tzv. Py­tha­go­rej­ské la­dě­ní, kte­ré te­dy vznik­ne tím, že po­stup­ně při­dá­vá­me růz­né kvin­ty a po­sou­vá­me je růz­ně o ok­tá­vy na­ho­ru a do­lů. Nicmé­ně dneš­ní ná­stro­je nejsou la­dě­ny v Py­tha­go­rej­ském la­dě­ní, ale tzv. tem­pe­ro­va­ném, pří­pad­ně kon­cert­ním la­dě­ní.

Roz­díl me­zi tě­mi­to la­dě­ní­mi je mír­ně nad rá­mec fy­zi­kál­ní­ho člán­ku, kaž­do­pád­ně ve struč­nos­ti – li­dé si všimli, že po­kud mír­ně po­su­nou ně­kte­ré tó­ny, kla­vír bu­de tře­ba ne­u­stá­le „tro­chu roz­la­děn“, ale za­se bu­dou všech­ny tó­ny (sou­čas­ně hlu­bo­ké a vy­so­ké) k so­bě la­dit lé­pe. A prá­vě ta­ko­vé­mu la­dě­ní se ří­ká te­me­pro­va­né.

V člán­ku o Fou­rie­ro­vě ana­lý­ze se mů­že­te pří­pad­ně do­číst, jak je to se sklá­dá­ním prak­tic­ky ne­ko­neč­ně mno­ha růz­ných frek­ven­cí.

Zpět však k za­stán­cům „432 hy­po­té­zy“. Ti tvr­dí, že po­kud ja­ko vý­cho­zí tón (tzn. vše ostat­ní je stej­né) ne­po­u­ži­ji tón o frek­ven­ci 440 Hz, ale 432 Hz, bu­de hud­ba pří­jem­něj­ší (s tím se dá i ne­dá sou­hla­sit, zá­le­ží na sklad­bě), ale pře­de­vším že bu­de mít „po­zi­tiv­ní účin­ky na zdra­ví jedince“[3]Spíše te­dy že „ne­bu­de mít ne­ga­tiv­ní“ účin­ky….

S ar­gu­men­ty té­to čty­ři sta tři­cet dvoj­ko­vé sku­pi­ny se dá po­měr­ně sluš­ně ne­sou­hla­sit; už jsem če­tl růz­né – od to­ho, že Mo­zart či Beetho­ven po­u­ží­va­li ji­né ladění[4]Aby ne, když to by­lo před sta­le­tí­mi a mo­der­ní la­dě­ní se nor­ma­li­zo­va­lo až ko­lem roku 1940., pří­pad­ně po­stu­jí růz­né „pes­t­ro­ba­rev­né“ ob­ráz­ky s ja­ko­že­me­di­ta­tiv­ní té­ma­ti­kou a vzá­jem­ně se po­plá­cá­va­jí po zá­dech, jak to všem „čty­ři sta čty­ři­cát­ní­kům“ nan­da­li.

Ná­zor si udě­lej­te sa­mi, pří­pad­ně za­go­o­gle­te, že je to hloupost zjis­tí­te po ně­ko­li­ka pročte­ných pří­spěv­cích a stu­di­ích, nicmé­ně ny­ní jen pro srov­ná­ní – stej­ný kou­sek pís­nič­ky ve 440Hz la­dě­ní (tzn. be­ze změ­ny) a ten sa­mý kou­sí­ček se sní­že­ným la­dě­ním (bo­hu­žel kvů­li au­tor­ské­mu zá­ko­nu ne­můžu ví­ce než 30vteřinovou ukáz­ku):

Pů­vod­ní 440Hz ver­ze:

„Vy­lep­še­ná“ 432Hz ver­ze:

Jak sly­ší­me, „ně­ja­ký“ roz­díl tam je. Nicmé­ně vliv těch­to změn je pod­le mé­ho dost spor­ný. Čas­to též vi­dí­me růz­né ob­ráz­ky, kte­ré ta­to sku­pi­na li­dí po­sí­lá:

Je to si­ce krás­né, ale ne­tu­ším, proč by mě­la změ­na frek­ven­ce či to­ho, kde se růz­né har­mo­nic­ké po­tká­va­jí, ně­jak ovliv­ňo­vat zdra­ví. Kaž­do­pád­ně k vý­še uve­de­né­mu ob­ráz­ku ješ­tě pár slov:

Mu­sí­me totiž „pro­brat“ ješ­tě je­den typ vl­ně­ní, tzv. sto­ja­té vl­ně­ní. To je na­roz­díl od po­stup­né­ho vl­ně­ní uve­de­no „na mís­tě“. Např. po­kud klep­ne­te do stru­ny, ta se ro­ze­z­ní a bu­de „se vl­nit“ – sto­ja­té vl­ně­ní. Vl­na ni­kam ne­ces­tu­je, vl­no­vé dél­ky od­po­ví­da­jí růz­ným po­mě­rům dél­ky stru­ny. Po­stup­né vl­ně­ní je ta­ko­vé, kte­ré po­zo­ro­va­tel vní­má ja­ko vl­ně­ní až s tím, jak se věc, kte­rá se vl­ní, po­hy­bu­je – např. ta­ko­vý zvuk ve vzdu­chu. Vl­ny po­stup­ně ja­ko ko­la po ho­ze­ní ka­mín­ku do vo­dy ces­tu­jí smě­rem od zdro­je zvu­ku a po­kud „na­ra­zí“ na po­slu­cha­če, ten je usly­ší.

Nicmé­ně sto­ja­té vl­ně­ní má pár do­ce­la za­jí­ma­vých vlast­nos­tí – hrá­či na ky­ta­ru tře­ba ví, že po­kud drk­nou na stru­nu tzv. fla­žo­let tak, že ji ro­ze­z­ní jen „na půl­ce“, po­té se dru­há po­lo­vi­na stru­ny ro­ze­z­ní též, ako­rát v opač­né fá­zi 😉 Vý­sled­ná frek­ven­ce tó­nu bu­de te­dy dvoj­ná­sob­ná, bu­de te­dy o ok­tá­vu vý­še. Ale po­kud si zku­sí­te tak­to ro­ze­znít stru­nu tře­ba jen „o cen­ti­me­tr“ ve­d­le, už se tón ne­o­zve a vl­ně­ní oka­mži­tě usta­ne.

Po­kud bychom na­kres­li­li ob­rá­zek to­ho, jak moc dob­ře stru­na zní, po­kud v ně­ja­kém mís­tě stisk­ne­me stru­nu, do­sta­ne­me di­a­gram, kte­rý je vel­mi po­dob­ný prá­vě vý­še uved­ným ob­ráz­kům (ako­rát ty be­rou osy jak X tak Y, v mém uve­de­ném pří­pa­dě se stru­nou by se apli­ko­va­la pou­ze osa X). Ob­ráz­ky totiž zo­hled­ňu­jí vliv pro­stře­dí, kte­ré ce­lé kmi­tá – např. po­kud jste v ma­lé míst­nos­ti bez ko­ber­ců, ur­či­tě sly­ší­te, že se zvuk tak po­div­ně „ne­se“ a re­zo­nu­je. A to přes­ně sou­vi­sí prá­vě se sto­ja­tým vl­ně­ním – v ně­kte­rých frek­ven­cích se vl­ny pros­tě ne­vy­ru­ší a bu­dou znít déle a in­ten­ziv­ně­ji než v ji­ných.

Nicmé­ně ta­to frek­ven­ce je na­pros­to zá­vis­lá na roz­mě­rech a tva­ru míst­nos­ti. A stej­ně tak i vý­še uve­de­né ob­ráz­ky, kte­ré ma­jí si­mu­lo­vat vl­ně­ní na hla­di­ně vo­dy – zá­le­ží kro­mě vstup­ní frek­ven­ce i na roz­mě­rech mis­ky či před­mě­tu, kte­rý se vl­ní a kde to­to vl­ně­ní zkou­má­me.

Kdy­by mě­li li­dé své hla­vy všech­ny stej­ně vel­ké (te­dy všich­ni li­dé kdy­by mě­li stej­ně vel­kou hla­vu), sa­mo­zřej­mě by ně­co ta­ko­vé­ho moh­lo být za­jí­ma­vé zkou­mat. Bo­hu­dík to­mu tak však ne­ní a kaž­dý si tak mů­že­me uží­vat ji­né­ho „vl­ně­ní“, kte­ré je nám pří­jem­né.

Ohled­ně vli­vu zvu­ku a frek­ven­cí na tě­lo v bi­o­lo­gic­kém slo­va smys­lu opět po­žá­dám ko­le­gu Luká­še, kte­rý se k té­ma­tu dou­fám též ně­kdy vy­já­d­ří! 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Prostě jste o tom nesly­še­li 🙂
2. či tam, kam nás fá­ze po­su­ne
3. Spíše te­dy že „ne­bu­de mít ne­ga­tiv­ní“ účin­ky…
4. Aby ne, když to by­lo před sta­le­tí­mi a mo­der­ní la­dě­ní se nor­ma­li­zo­va­lo až ko­lem roku 1940.

Vztah ma­te­ma­ti­ky a fy­zi­ky

Ne­moh­li jste si za­jis­té ne­po­všim­nout, že me­zi růz­ný­mi po­do­bo­ry pří­rod­ních věd pa­nu­je ta­ko­vá při­ro­ze­ná a ne­škod­ná ne­vra­ži­vost. Dnes bych se chtěl po­dí­vat na je­den sko­ro už fe­no­mén – vztah ma­te­ma­ti­kyfy­zi­ky. Ale­spoň te­dy vnést svo­ji kap­ku po­hle­du do to­ho­to spo­ru.

Že ne­ví­te, kde je spor? Nor­mál­ně bych ho též ne­vi­děl, ale exis­tu­jí me­zi ná­mi je­din­ci, kte­ří to pros­tě vi­dí ji­nakza kaž­dou ce­nu ob­ha­ju­jí své te­ze, i když už se zda­jí bý­ti vy­vrá­ce­né. V žád­ném pří­pa­dě to ne­zna­me­ná, že by do­tyč­ní by­li ně­ja­cí hlu­páci či po­ple­ten­ci – to vů­bec ne. Já ne­mám nejmen­ší­ho dů­vo­du si ně­če­ho ta­ko­vé­ho o nich mys­let, do­kon­ce se s tě­mi­to lid­mi znám a vím, že jsou to „bed­ny“, kte­ří by by­li schop­ni mě a hro­ma­du dal­ších li­dí, kte­ří se za­jí­ma­jí o fy­zi­ku, str­čit hra­vě do kapsy.

Jsou však té­ma­ta, na kte­rých se s ni­mi pros­tě ne­shod­nu – a při­jde mi, že je to­to té­ma, kte­ré zde chci uvést, tak čas­to omí­lá­no, až si pros­tě svůj vlast­ní mi­ni­člá­nek za­slou­ží.

Prin­cip sa­mot­né­ho spo­ru

Nejde o nic zá­važ­né­ho: Li­dé, se kte­rý­mi ne­sou­hla­sím, tvr­dí ná­sle­du­jí­cí:

  • ma­te­ma­ti­ka má opo­ru v re­a­li­tě
  • => ma­te­ma­ti­ka se mu­sí ří­dit zá­ko­ny „re­a­li­ty“ (či to­ho, co za re­a­li­tu po­va­žu­je­me)

To je vlast­ně ce­lé. Že to vy­pa­dá tri­vi­ál­ně? No, ono až tak ne­ní. Za­čně­me ny­ní roz­bo­rem zá­klad­ní myš­len­ky „opo­zič­ní­ho tábora“[1]od teď již OT.

Ti­to tvr­dí, že ma­te­ma­ti­ka vznik­la ja­ko „odnož fy­zi­ky“[2]https://​www​.fa​ce​book​.com/​j​a​n​.​f​i​k​a​c​e​k​/​p​o​s​t​s​/​7​8​9​8​4​3​0​3​4​3​8​4​2​4​1​?​c​o​m​m​e​n​t​_​i​d​=​7​9​0​0​7​2​4​1​7​6​9​4​6​3​6​&​a​m​p​;​o​f​f​s​e​t​=​0​&​a​m​p​;​t​o​t​a​l​_​c​o​m​m​e​n​t​s​=22, te­dy mu­sí se tě­mi­to zá­ko­ny ří­dit. Já si mys­lím troš­ku ně­co ji­né­ho – nicmé­ně k mé­mu ná­zo­ru až poz­dě­ji. Jak to s ma­te­ma­ti­kou a fy­zi­kou ve sta­ro­vě­ku by­lo, to pře­ne­chám his­to­ri­kům a od­bor­ní­kům, kte­ří vě­dí zda­le­ka ví­ce než-li já. Ať už to by­lo jak­ko­liv, his­to­rie to­ho­to ne­má totiž na sou­čas­né po­je­tí ma­te­ma­ti­ky prak­tic­ky žád­ný vliv.

Sou­čas­ná ma­te­ma­ti­ka je – abych to zjed­no­du­šil – abs­trakt­ní vě­dou, ta­ko­vou, kte­rá je schop­na čis­té­ho důkazu[3]Jiná vě­da nic ta­ko­vé­ho ne­u­mí – i tře­ba má ob­lí­be­ná fy­zi­ka. Po­kud chce­te ně­co do­ká­zat ve fy­zi­ce, buď po­u­ži­je­te ma­te­ma­ti­ku, ane­bo pro­ve­de­te ex­pe­ri­ment, kte­rý po­tvr­dí to, co tvr­dí­te. V ostat­ních věd­ních obo­rech je to po­dob­né.. Da­lo by se te­dy ří­ci, že má mno­hem blí­že např. k fi­lo­so­fii než k fy­zi­ce. Čas­to tvr­dím, že ma­te­ma­ti­ka je ja­zy­kem abs­trakt­ních struk­tur, což ne­zna­me­ná nic ji­né­ho, že dá­vá ostat­ním vě­dám a obo­rům ná­vod a struk­tu­ry, po­mo­cí kte­rých už ty­to vě­dy mo­hou ře­šit své pro­blémy.

Ne­pů­jdu zrov­na da­le­ko pro pří­klad – a uve­du ten nej­jed­no­duš­ší, kte­rý mě prá­vě na­pa­dl: Ko­mu­ni­ta­tiv­nost čle­nů při sčí­tá­ní. To­to ne­ří­ká nic ji­né­ho než že:

$$ x + y + z = x + z + y = y + x + z = y + z + x = z + x + y = z + y + x $$

Te­dy slov­ně asi to­lik, že po­kud sčí­tám, na­pros­to ne­zá­vi­sí na po­řa­dí čle­nů v souč­tu. Te­dy že \(5+10\) je to­též, co \(10+5\). Ma­te­ma­ti­ka jde však ješ­tě dál – má de­fi­no­vá­no, co je to sčí­tá­ní, co je to „pět­ka“, co je to „de­sít­ka“, k ni­če­mu z to­ho ne­po­tře­bu­je nic fy­zic­ké­ho, de­fi­nu­je ta­ko­vé vě­ci pou­ze na zá­kla­dě čis­tých matematických[4]a te­dy abs­trakt­ních pra­vi­del, kte­rá jsou za­se dá­le de­fi­no­vá­na. Ne­ní po­tře­ba ani fe­no­me­no­lo­gic­ké­ho přístupu[5]Tedy ta­ko­vé­ho, kte­rý zkou­má na­roz­díl od při­čin­né kauzál­nos­ti prá­vě fe­no­me­no­lo­gic­kou, te­dy ta­ko­vou, kte­rá ře­ší ja­kým způ­so­bem „se je­ví“ da­né vě­ci člo­vě­ku, než spí­še ja­ké „do­o­prav­dy jsou.“ Sa­mo­zřej­mě oba po­jmy jsou na­pros­to abs­trakt­ní a po­kud se to­mu chce­te vě­no­vat, do­po­ru­ču­ji dal­ší stu­di­um, zde již ne ví­ce o tom 🙂 , ma­te­ma­ti­ka totiž vy­tvá­ří vlast­ní sa­du pra­vi­del – a ta ne­vznik­la z ni­če­ho ji­né­ho než z dal­ších sad pra­vi­del.

Ma­te­ma­ti­ka ja­ko ja­zyk struk­tur

Co tím­to mys­lím – po­kra­čuj­me dá­le v tom, co jsem již před­sta­vil, te­dy ko­mu­ta­tiv­nost při sčí­tá­ní. Ma­te­ma­ti­ko­vi je na­pros­to jed­no, co se pod čís­li­ce­mi či pro­měn­ný­mi skrý­vá. Pou­ze po­sky­tl pra­vi­dlo k to­mu, aby „se to tak moh­lo dě­lat“.

Fy­zik na­pří­klad po­tře­bu­je spo­čí­tat ně­ja­kou rov­ni­ci, uve­du tře­ba ná­sle­du­jí­cí zná­mou rov­ni­ci (kdo po­zná, co vy­ja­dřu­je, má u mě Fi­dor­ku, po­čet Fi­do­rek je ome­ze­ný ka­pa­ci­tou zá­sob, tj. ma­xi­mál­ně 1 kus) 😀 :

$$ i \hbar \frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar}{2m} \nabla^2 \Psi(r, t) + V( r )\Psi(r,t)$$

A zá­kon o ko­mu­ta­tiv­nos­ti tvr­dí, že tu­to rov­ni­ci můžu za­psat stej­ně tak ja­ko:

$$ i \hbar \frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t} = V( r )\Psi(r,t) – \frac{\hbar}{2m} \nabla^2 \Psi(r, t) $$

Aniž bych tře­ba tu­šil, co vý­še zmí­ně­né zna­me­ná, mo­hu to tak­to za­psat. Ma­te­ma­ti­ka te­dy pou­ze po­skyt­la ná­vod na to, jak ně­co ta­ko­vé­ho ře­šit, jak k to­mu při­stu­po­vat – je to te­dy čis­tě abs­trakt­ní struk­tu­rál­ní ja­zyk.

S tím však OT ne­ma­jí pro­blém, je­jich pro­blém na­stá­vá v mo­men­tě, co se za­čne­me po­hy­bo­vat v „čis­tě ma­te­ma­tic­kých“ vodách[6]Ono je to­to stej­ně ab­surd­ní po­jem, i ko­mu­ti­ta­vi­ta souč­tu je čis­tě abs­trakt­ní a ma­te­ma­tic­ký po­jem, kte­rý ne­má žád­nou opo­ru v ostat­ních vě­dách, pou­ze ji vy­u­ží­va­jí., na­pří­klad po­kud za­čne­me ře­šit nu­lyne­ko­neč­na.

Ne­bu­du se ro­ze­pi­so­va­to  tom, že exis­tu­je spous­ta „ty­pů“ ne­ko­neč­na (na­víc nejsem ma­te­ma­tik a nejsem si jist, že bych to byl scho­pen správ­ně po­psat), nicmé­ně to dů­le­ži­té, co si od­nést – ne­ko­neč­no ne­ní čís­lo! Ať už má­me ja­kou­ko­liv úro­veň ne­ko­neč­na, po­řád to ne­ní čís­lo.

A stej­ně tak i ne­ko­neč­ně ma­lé čís­lo ne­ní vlast­ně čís­lo, i když se vel­mi ne­ko­neč­ně jem­ně blí­ží k nu­le. Ano, jde mi o zá­pi­sy di­fe­ren­ci­á­lů. Např.:

$$ \frac{\partial s}{\partial t} = v$$

Pří­pad­ně oby­čej­né:

$$ \int_{x_0}^{x_1} F \mathrm{d}s = W$$

Vel­mi jed­no­znač­né fy­zi­kál­ní vy­já­d­ře­ní, kte­ré pou­ze vy­u­ži­lo ma­te­ma­ti­ku. To, že je za tím scho­va­ný vý­po­čet ak­tu­ál­ní rych­los­ti či prá­ce po obec­né drá­ze, to už ma­te­ma­ti­ka ne­za­jí­má 😉 Ma­te­ma­tik v tom vi­dí pou­ze abs­trakt­ní po­jmy, pro­měn­né, chcete-li.

Zde se však s OT ne­sho­du­ji. OT tvr­dí, že co­ko­liv v ma­te­ma­ti­ce má ně­ja­ký re­ál­ný (či tzv. re­ál­ný) pod­klad – te­dy nic ja­ko \(\mathrm{d}s\) ne­mů­že exis­to­vat, pro­to­že ne­e­xis­tu­je (hy­po­te­tic­ky, i když prav­du ne­zná­me) nic men­ší­ho než Planc­ko­va vzdá­le­nost (což je po­jem, kte­rý vy­táh­ne­me z rov­ni­ce s planc­ko­vou kon­stan­tou a zjis­tí­me, že ne­mů­že­me mít men­ší vzdá­le­nost než prá­vě tu­to vzdá­le­nost). Jak ří­kám – jest­li je to prav­da ne­ví­me, nicmé­ně i kdy­by to prav­da by­la, vů­bec to ne­mě­ní nic na tom, jak k to­mu ma­te­ma­ti­ka při­stu­pu­je.

A jak k to­mu ma­te­ma­ti­ka při­stu­pu­je? VŮBEC NIJAK, pro­to­že ma­te­ma­ti­ka ne­ře­ší fy­zi­kál­ní pro­blémy! Ma­te­ma­ti­ce je jed­no, že ně­co vy­ná­so­bím nu­lou či bu­du se při­bli­žo­vat „ne­ko­neč­ně dlou­ho“. Ma­te­ma­ti­ka ty­to vě­ci pros­tě a jed­no­du­še ne­ře­ší.

Stej­ně tak ma­te­ma­ti­ka ne­ře­ší bi­o­lo­gic­ké pro­blémy, mohl bych ří­ci, že v DNA se pá­ru­jí ně­ja­ké pá­ry tak či onak, pro­to ne­mů­že exis­to­vat po­sloup­nost ta­ko­vá či ona­ká (to­to vám spí­še vy­svět­lí ko­le­ga bi­o­log Lukáš). A opět – ma­te­ma­ti­ku to ne­za­jí­má 😉

Ma­te­ma­ti­ka totiž sto­jí „mi­mo“ ty­to vě­ci (chtěl bych na­psat „nad“, ale ne­mys­lím tím, že je ostat­ním vě­dám nad­řa­ze­ná, stej­ně ja­ko po­kud řek­nu „ope­ra­ce nad souč­tem“, ne­mys­lím tím, že je ta­to ope­ra­ce na­řa­ze­na souč­tu) a ře­ší pou­ze to, ja­kým způ­so­bem spo­lu mo­hou abs­trakt­ní en­ti­ty spo­lu­pra­co­vat. Co se však v nich na­chá­zí, to už ne­ní ke zjiš­tě­ní úlo­hou ma­te­ma­ti­ka, ale ostat­ních – fy­zi­ků, bi­o­lo­gů, …

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. od teď již OT
2. https://​www​.fa​ce​book​.com/​j​a​n​.​f​i​k​a​c​e​k​/​p​o​s​t​s​/​7​8​9​8​4​3​0​3​4​3​8​4​2​4​1​?​c​o​m​m​e​n​t​_​i​d​=​7​9​0​0​7​2​4​1​7​6​9​4​6​3​6​&​a​m​p​;​o​f​f​s​e​t​=​0​&​a​m​p​;​t​o​t​a​l​_​c​o​m​m​e​n​t​s​=22
3. Jiná vě­da nic ta­ko­vé­ho ne­u­mí – i tře­ba má ob­lí­be­ná fy­zi­ka. Po­kud chce­te ně­co do­ká­zat ve fy­zi­ce, buď po­u­ži­je­te ma­te­ma­ti­ku, ane­bo pro­ve­de­te ex­pe­ri­ment, kte­rý po­tvr­dí to, co tvr­dí­te. V ostat­ních věd­ních obo­rech je to po­dob­né.
4. a te­dy abs­trakt­ních
5. Tedy ta­ko­vé­ho, kte­rý zkou­má na­roz­díl od při­čin­né kauzál­nos­ti prá­vě fe­no­me­no­lo­gic­kou, te­dy ta­ko­vou, kte­rá ře­ší ja­kým způ­so­bem „se je­ví“ da­né vě­ci člo­vě­ku, než spí­še ja­ké „do­o­prav­dy jsou.“ Sa­mo­zřej­mě oba po­jmy jsou na­pros­to abs­trakt­ní a po­kud se to­mu chce­te vě­no­vat, do­po­ru­ču­ji dal­ší stu­di­um, zde již ne ví­ce o tom 🙂
6. Ono je to­to stej­ně ab­surd­ní po­jem, i ko­mu­ti­ta­vi­ta souč­tu je čis­tě abs­trakt­ní a ma­te­ma­tic­ký po­jem, kte­rý ne­má žád­nou opo­ru v ostat­ních vě­dách, pou­ze ji vy­u­ží­va­jí.

Li­mi­ty

Na­pros­to zá­kald­ní ma­te­ma­tic­kou zna­los­tí jsou li­mi­ty – ať už pro po­cho­pe­ní de­ri­va­cí či in­te­gra­cí, tak čas­to i pro po­cho­pe­ní ně­kte­rých prů­bě­hů funk­cí.

Zá­pis li­mi­ty

Li­mi­ta má spe­ci­fic­ký ma­te­ma­tic­ký zá­pis, na­pros­to obec­ně vy­pa­dá např. tak­to:

$$ \lim_{x\to L} f(x) $$

Ten­to zá­pis nám do­slo­va ří­ká „vez­mě­te \(x\) a na­sta­vuj­te mu tak vel­kou hod­no­tu, aby se co nej­blí­že při­blí­ži­la k hod­no­tě \(L\) a sle­duj­te při tom, co funk­ce zá­vis­lá na \(x\) dě­lá.“

Ně­ko­lik pří­kla­dů k úpl­né­mu po­cho­pe­ní:

$$ \lim_{x\to 0} x = 0$$

To je snad jas­né – po­kud bu­du \(x\) při­bli­žo­vat nu­le, po­tom se… \(x\) bu­de při­bli­žo­vat nu­le 🙂 Při­tvr­dí­me…

$$ \lim_{x\to 0} 15x = 0$$

Zde sa­mo­zřej­mě pla­tí to­též, co vý­še – i kdy­bych to ná­so­bil li­bo­vol­ným re­ál­ným čís­lem, po­řád bu­du mít vý­sle­dek nu­lo­vý. Pro­střed­nic­tvím li­mit však mů­že­me za­pi­so­vat i vý­ra­zy, kte­ré bychom ji­nak v ma­te­ma­ti­ce na­zva­li ja­ko „chyb­né“ či „ne­dá­va­jí­cí smy­sl“. Nu­la za­psa­ná „s plu­sem“ zna­me­ná, že se k do­tyč­né nu­le po­stup­ně při­bli­žu­ji zpra­va, te­dy z klad­něj­ší čás­ti čí­sel­né osy – pro­to plus. U dru­hé­ho zna­mén­ka to pla­tí přes­ně opač­ně.

$$ \lim_{x\to0^+} \frac{1}{x} = \inf­ty $$

$$ \lim_{x\to0^-} \frac{1}{x} = -\inf­ty $$

ne­vlast­ních li­mit[1]to jsou ta­ko­vé, kte­ré ne­ma­jí „nor­mál­ní“ vý­sle­dek mů­že­me tak­to tvr­dit, že vý­sle­dek tzv. ros­te na­de všech­ny me­ze. Po­dob­ně (přes­ně in­verz­ně) to pla­tí i u vlast­ních li­mit v ne­vlast­ním bo­dě:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{1}{x} = 0$$

Li­mit­ní arit­me­ti­ka

Když teď už ví­me, jak fun­gu­jí li­mi­ty, mů­že­me se po­dí­vat na pár pří­kla­dů, kte­ré se v pra­xi čas­to ob­je­vu­jí. Za­čně­me po­ly­no­mem:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{2x^3 – 6x^2–145x + 17}{3x^3 – 2x^2 – 6} $$

Po­kud bychom mě­li ur­čo­vat tře­ba vlast­nos­ti to­ho­to po­ly­no­mu, bu­de­me hle­dat ko­ře­ny rov­ni­ce v či­ta­te­li, ko­ře­ny rov­ni­ce ve jme­no­va­te­li, abychom ome­zi­li dě­le­ní nu­lou a po­dob­ně. Nicmé­ně ta­dy nás za­jí­má je­di­né – jak se bu­de da­ný vý­raz cho­vat, po­kud \(x\) bu­de­me zvět­šo­vat až k ne­ko­neč­nu.

Ny­ní však mu­sí­me udě­lat drob­nou od­boč­ku a uká­zat si pár ele­men­tár­ních zna­los­tí – např. jak se bu­dou cho­vat růz­né po­mě­ry a zlom­ky li­mit­ně:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{1}{x} = 0$$

To už zná­me. Nicmé­ně po­kud zde bu­de ta­ko­vý­to po­měr?

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x}{x} = ?$$

Ví­me, že dě­lit nu­lu nu­lou, stej­ně ja­ko ne­ko­neč­no ne­ko­neč­něm (což je vlast­ně to­též, po­kud mlu­ví­me o li­mi­tách), je troš­ku ne­ko­šer, co se ma­te­ma­ti­ky tý­če. Ale hleď­te! Zde se ře­ší li­mi­ty, zde nám vě­ci, ja­ko že bu­de mít po­ly­nom ve jme­no­va­te­li nu­lu, vlast­ně ne­va­dí! Mů­že­me te­dy do­tyč­ný zlo­mek s klid­ným svě­do­mím zkrá­tit a vy­jde:

 $$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x}{x} = \lim_{x\to \inf­ty} \frac{1}{1} = 1$$

Vy­řa­di­li jsme tím „ze hry“ te­dy ja­ké­ko­liv \(x\) a vý­sle­dek na něm vů­bec ne­zá­vi­sí. A co tře­ba ná­sle­du­jí­cí?

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x^n}{x^n} $$

Mů­že­me pros­tě po­krá­tit stej­ně, ja­ko v pří­pa­dě vý­še, vý­sle­dek je te­dy opět jed­nič­ka. Pří­pad­ně mů­že­me roz­lo­žit na :

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x^n}{x^n} = \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x}{x} \frac{x^{n-1}}{x^{n-1}} $$

a tak­to to ře­šit do ne­ko­neč­na 😉 S stej­ně tak lo­gic­ky od­vo­dí­me, že:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{nx}{mx}$$

bu­de rov­no \(\frac{n}{m}\) – pro­to­že „co­ko­liv“ krát jed­na je „co­ko­liv“ 😉

Zkus­me ny­ní dal­ší pří­pad:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x^2}{x} = ?$$

V ma­te­ma­ti­ce (ono i ve fy­zi­ce, ale v ma­te­ma­ti­ce ob­zvlášť) pla­tí, že po­kud ne­zná­te ře­še­ní kom­plex­ní­ho pro­blé­mu, de­kom­po­nuj­te ho na řa­du „men­ších“ pro­blé­mů, kte­ré ne­zá­vis­le ře­šit umí­te. Což mů­že­me udě­lat i zde. Vý­še uve­de­né te­dy mů­že­me pře­psat ja­ko sou­čin:

$$\lim_{x\to \inf­ty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x\to \inf­ty} x \frac{x}{x}$$

Dru­hý zlo­mek už ře­šit umí­me, to ví­me, že je \(1\), tak­že:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x\to \inf­ty} x = \inf­ty$$

Vi­dí­me te­dy, že po­kud je v či­ta­te­li vyš­ší moc­ni­na než ve jme­no­va­te­li, zlo­mek vy­stře­lí do ne­ko­neč­ných vý­šin. A co po­kud je to opač­ně? Sa­mo­zřej­mě už správ­ně tu­ší­te:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x\to \inf­ty} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} = \lim_{x\to \inf­ty} \frac{1}{x} = 0$$

Je to pros­té! 🙂 Vrať­me se ny­ní te­dy k na­še­mu pů­vod­ní­mu pří­kla­du:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{2x^3 – 6x^2–145x + 17}{3x^3 – 2x^2 – 6} $$

A ro­ze­piš­me si zlo­mek na 3 zlom­ky:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{2x^3 – 6x^2–145x + 17}{3x^3 – 2x^2 – 6} = $$

$$ = \lim_{x\to \inf­ty} \frac{2x^3}{3x^3 – 2x^2 – 6}  + \lim_{x\to \inf­ty} \frac{ – 6x^2}{3x^3 – 2x^2 – 6} + \lim_{x\to \inf­ty} \frac{-145x}{3x^3 – 2x^2 – 6} +\lim_{x\to \inf­ty} \frac{17}{3x^3 – 2x^2 – 6} $$

Když se ny­ní po­dí­vá­me na po­sled­ní tři li­mi­ty, už vi­dí­me, kam smě­řu­jí – řek­li jsme, že po­kud je moc­ni­na či­ta­te­le men­ší než jme­no­va­te­le, zlo­mek bu­de li­mi­to­vat k nu­le. Mů­že­me te­dy vel­mi snad­no všech­ny ty­to tři li­mi­ty po­lo­žit rov­ny nu­le a zby­de tak pou­ze zlo­mek se stej­nou moc­ni­nou.

A co jsme si dá­le uká­za­li – že li­mi­ta \(\frac{x^n}{x^n}\) je rov­na jed­né! Či­li rov­nou krás­ně vi­dí­me, že vý­sle­dek li­mi­ty bu­de \(\frac{2}{3}\).

Za­jí­ma­vé po­mě­ry

U po­ly­no­mu je te­dy snad už jas­né, nicmé­ně pojď­me se po­dí­vat na dal­ší „moc hez­ké“ li­mi­ty. Na­pří­klad ta­to:

$$ \lim_{x\to0} \frac{\sin(x)}{x}$$

Podíváme-li se na graf ta­ko­vé funk­ce, vi­dí­me (chce­me vi­dět), že li­mi­ta bu­de rov­ná jed­nič­ce. Gra­fic­ky te­dy mů­že­me to­to tvr­dit, nicmé­ně, jak to do­o­prav­dy spo­čí­tat?

Na po­moc si vez­me­me tzv. L’Hospitalovo pra­vi­dlo, te­dy pra­vi­dlo, kte­ré ří­ká ná­sle­du­jí­cí:

$$ \lim_{x\to0}\frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \lim_{x\to0}\frac{f_1^\prime(x)}{f_2^\prime(x)}$$

Te­dy že li­mi­ta po­mě­ru funk­cí je li­mi­tou po­mě­ru de­ri­va­cí těch­to funk­cí. O de­ri­va­cích si mů­že­te pře­číst v člán­ku o ki­ne­ma­ti­ce, zde te­dy po­u­ži­ji pou­ze rych­lou de­ri­va­ci:

$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)^\prime}{x^\prime} = \lim_{x\to0}\frac{\cos(x)}{1}$$

A to už je sna­né – budeme-li do \(\cos(x)\) za \(x\) do­sa­zo­vat nu­lu, bu­de se co­si­nus blí­žit k jed­nič­ce. Ve jme­no­va­te­li má­me jed­nič­ku – vý­sled­ný po­měr je te­dy jed­nič­ka 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. to jsou ta­ko­vé, kte­ré ne­ma­jí „nor­mál­ní“ vý­sle­dek

Ne­ko­neč­ná rych­lost po­hy­bu svět­la při po­u­ži­tí ro­tač­ní­ho la­se­ru

Ka­ma­rád (Pa­vel Kach­líř) se mě ze­ptal, jest­li je mož­né, že zob­ra­ze­ní la­se­ru na kru­ho­vé pod­lož­ce mů­že být rych­lej­ší, než \(c\), po­kud bu­du la­se­rem do­sta­teč­ně rych­le hý­bat. Po­u­žil k to­mu ná­sle­du­jí­cí­ho si­tu­ač­ní­ho ob­ráz­ku:

Rych­lá od­po­věď – ano, prů­mět la­se­ru se mů­že po­hy­bo­vat rych­los­tí \(> c\). Nicmé­ně ny­ní proč:

Uva­žuj­me sam­zo­řejmě (pro zjed­no­du­še­ní), že rych­lost ší­ře­ní la­se­ru je prá­vě \(c\), te­dy rych­lost svět­la. Sa­mo­zřej­mě si do­ká­že­me před­sta­vit, že z do­tyč­né­ho si­tu­ač­ní­ho ob­ráz­ku se in­tu­i­tiv­ně do­ká­že­me do­stat do sta­vu, kdy aniž by se la­ser po­hy­bo­val rych­los­tí vět­ší než \(c\), je­ho ob­rá­zek se ta­ko­vou rych­los­tí po­hy­bo­vat mů­že.

Ce­lý pro­blém tkví v tom, co nám ří­ká relativita[1]STR – spe­ci­ál­ní te­o­rie re­la­ti­vi­ty – struč­ně ře­če­no, že žád­ná in­for­ma­ce, čás­ti­ce či před­mět obec­ně se ne­mů­že po­hy­bo­vat rych­los­tí, kte­rá by do­sáh­la rych­los­ti \(c\), te­dy že ja­ká­ko­liv rych­lost po­hy­bu v pro­sto­ru mu­sí být \(v < c\). Rych­lost \(c\) je te­dy ne­do­sa­ži­tel­ná.

Pře­kres­le­me si troš­ku si­ta­uč­ní plá­nek, vy­u­žijme úh­lo­vé rych­los­ti a rych­los­ti po­hy­bu:

Za­čně­me te­dy jed­no­du­še – měj­me ta­ko­vou­to si­tu­a­ci, kdy ve stře­du kru­hu má­me la­ser, kte­rý se otá­čí ně­ja­kou rych­los­tí \(\ome­ga\):

laser výchozí stav

Dal­ší dů­le­ži­tou in­for­ma­cí pro nás bu­de po­lo­měr kru­hu, v na­šem pří­pa­dě te­dy \(r\):laser poloměr

A ny­ní se ptá­me: Jak zá­vi­sí do­ba pře­no­su la­se­ru ze stře­du sou­sta­vy na okraj? Od­po­věď pře­ce zná­me – ví­me, že:

$$s = v t$$

či­li

$$t_{\phi} = \frac{s}{v} = \frac{r}{c}$$

Pro­to­že se jed­ná o kruh, ta­to do­ba bu­de stá­le kon­stant­ní, ať už bu­de la­ser na­to­če­ný kam­ko­liv.

Ny­ní si na­piš­me rov­ni­ci:

$$\phi =  A \sin \left(\omega t + \phi_0\right)$$

Kde \(\ome­ga t\) je úh­lo­vá rych­lost po­hy­bu, \(A\) je am­pli­tuda, te­dy \(r\) a \(\phi_0\) je ně­ja­ký fá­zo­vý po­suv, kte­rý v na­šem pří­pa­dě bu­de zá­vi­set na \(t_{\phi}\), kte­ré jsme si vy­já­d­ři­li vý­še.

Jak ale zá­vi­sí? Ví­me, že do­ba, kte­rou sig­nál (pa­prsek) po­tře­bu­je na ura­že­ní vzdá­le­nos­ti laser–obvod bu­de \(t_\phi\), či­li než tam sig­nál do­le­tí, la­ser se oto­čí o \(\ome­ga t_\phi\). Čímž má­me jas­ně da­ný fá­zo­vý po­suv a mů­že­me psát:

$$ \phi = r \sin \left(\omega t + \ome­ga \frac{r}{c}\right)$$

Mu­sí­me však uva­žo­vat, že sig­nál se bu­de zpož­ďo­vat a ne před­bí­hat, mu­sí­me te­dy psát:

$$ \phi = r \sin \left(\omega t – \ome­ga \frac{r}{c}\right) $$

Po­kud si za \(\ome­ga\) ny­ní do­sa­dí­me ta­ko­vou frek­ven­ci, kdy by se změ­na \(\frac{\phi}{t}\) mě­la ode­hrá­vat rych­le­ji, než \(c\), nic se ne­sta­ne 😉 Bu­de do­chá­zet sa­mo­zřej­mě k fá­zo­vé­mu zpož­dě­ní, ale sa­mot­né zob­ra­ze­ní (pro­jek­ce) svět­la la­se­ru se mů­že zdán­li­vě po­hy­bo­vat \(v>c\).

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. STR – spe­ci­ál­ní te­o­rie re­la­ti­vi­ty

Do­p­ple­rův jev

V tom­to krát­kém člán­ku od­vo­dí­me rov­ni­ci do­p­ple­ro­va je­vu, resp. te­dy bu­de­me zkou­mat změ­nu vl­no­vé dél­ky (a frek­ven­ce) zvu­ko­vé­ho či obec­né­ho sig­ná­lu v zá­vis­los­ti na po­hy­bu po­slu­cha­če a zdro­je sig­ná­lu.

Ur­či­tě jste s pro­je­vy Do­p­ple­ro­va jevu[1]dále jen DJ em­pi­ric­ky se­zná­me­ni; je­dou­cí vo­zi­dlo, vlak, sa­nit­ka, po­li­cis­té – po­kud se při­bli­žu­jí, je­jich zvu­ko­vý pro­jev „zní vý­še“, než po­kud je­dou smě­rem „od vás“. Pojď­me se ny­ní lehce po­dí­vat na zá­vis­los­ti těch­to je­vů, z če­ho ply­nou a ja­ké jsou vlast­no­si DJ.

Zá­klad­ní vzo­reč­ky, ze kte­rých vy­jde­me:

Pev­ně vě­řím, že ná­sle­du­jí­cí vzta­hy jsou pou­hým opa­ko­vá­ním, nicmé­ně pro jis­to­tu je uve­du:

  • Zá­vis­lost dráhy \(s\), rych­los­ti \(v\) a ča­su \(t\):
    $$\begin{array}{}s & = & v\cdot t\\ v & = & \frac{s}{t}\\ t & = & \frac{s}{v}\end{array}$$
  • Zá­vis­lost frek­ven­ce \(f\), rych­los­ti \(v\) a vl­no­vé dél­ky \(\lamb­da\):
    $$\begin{array}{}\lambda & = & v\cdot \frac{1}{f} \\ f & = & v \cdot \frac{1}{\lambda}\end{array}$$
  • Zá­vis­lost frek­ven­ce \(f\) a do­by kmi­tu \(T\):
    $$f = \frac{1}{T}$$

Od­vo­ze­ní pro li­ne­ár­ní po­hyb

Abychom od­vo­ze­ní správ­ně po­cho­pi­li, mu­sí­me jít „od nej­jed­no­duš­ší­ho“ pří­pa­du a po­stup­ně při­dá­vat dal­ší je­vy. Tak­to je po­stup­ně bu­de­me na­ba­lo­vat, až to­mu bu­de­me vlast­ně ro­zu­mět ce­lé­mu 🙂 Tak­že hu­rá do to­ho!

Sta­ci­o­nár­ní po­slu­chač, po­hyb­li­vý zdroj zvu­ku

Za­čně­me tím nej­jed­no­duš­ším. Eli­mi­nu­je­me všech­ny mož­né pří­pa­dy do je­di­né­ho – kdy se po ose \(x\) po­hy­bu­je ně­ja­ký zdroj sig­ná­lu rych­los­tí \(v_s\), my ja­ko po­slu­cha­či sto­jí­me na kon­stant­ním mís­tě \(x_p\). Bu­de­me zkou­mat vlast­nos­ti zvu­ko­vé­ho pro­je­vu, když se náš před­mět bu­de při­bli­žo­vat a po­slé­ze od­da­lo­vat.

Ja­kou rych­los­tí se ší­ří zvuk? Na­zvě­me tu­to rych­lost \(c\) – stej­ně, ja­ko rych­lost ší­ře­ní svět­la ve va­kuu. Ny­ní však ta­to kon­stan­ta zna­me­ná rych­lost ší­ře­ní zvu­ku ve vzdu­chu (či tam, kde jsme ja­ko po­slu­cha­či). Dá­le ví­me, že zvu­ko­vý zdroj vy­dá­vá zvuk o kon­stant­ní vl­no­vé dél­ce \(\lamb­da\). Co to vlast­ně \(\lamb­da\) je? Vl­no­vá dél­ka ne­ní oprav­du nic ji­né­ho než „div­ná dél­ka“ – dél­ka, kte­rá vy­ja­dřu­je vzdá­le­nost me­zi dvě­ma na se­be zob­ra­zi­tel­ný­mi bo­dy z da­né křiv­ky, kte­rá vlast­nost vl­no­vé dél­ky má. Např. u kla­sic­ké „si­nu­sov­ky“ mů­že­me po­čí­tat vl­no­vou dél­ku ja­ko vzdá­le­nost me­zi dvě­ma „ko­peč­ky“ (am­pli­tuda­mi).

Pro před­sta­vu – má­me např. zvuk o frek­ven­ci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a rych­lost ší­ře­ní zvu­ku ve vzdu­chu je zhru­ba \(340\ m\cdot s^{-1}\). Z to­ho snad­no vy­po­čí­tá­me vl­no­vou dél­ku:

$$\lamb­da = c \cdot \frac{1}{f} = 340 \cdot \frac{1}{1000} = 34\ \mathrm{cm}$$

Ny­ní si však uvě­do­m­me, co se sta­ne bě­hem „jed­né“ ta­ko­vé vl­no­vé dél­ky. Při po­hyb­li­vém zdro­ji zvu­ku se me­zi­tím zdroj po­su­ne o ur­či­tou vzdá­le­nost, na­zvě­me ji ny­ní tře­ba \(x_d\). Jak vel­ká bu­de ta­to vzdá­le­nost?

Ví­me, že jed­na vl­na tr­vá \(T = \frac{1}{f}\) a dá­le ví­me, že \(s = v \cdot t\), v na­šem pří­pa­dě te­dy \(s = v_s \cdot T\). Stej­ně tak mů­že­me psát „pro frek­ven­ce“, že po­kud \(f = \frac{c}{\lambda_s}\), tak že \(T=\frac{1}{T_s} = \frac{\lambda_s}{c}\).

Po­kud te­dy \(x_d = v_s \cdot T_s\), po­tom \(x_d = v_s \frac{\lambda_s}{c}\). In­dex „s“ zna­čí, že po­čí­tá­me s pro­měn­ný­mi, kte­ré po­pi­su­jí „zdroj sig­ná­lu“. Jen pro pře­hled­nost, aby byl po­řá­dek v pro­měn­ných.

Po­kud se te­dy zdroj sig­ná­lu při­bli­žu­je, vl­no­vá dél­ka se bu­de zkra­co­vat, kon­krét­ně:

$$\lambda_{p} = \lambda_s – x_d = \lambda_s – v_s\frac{\lambda_s}{c}$$

Mů­že­me te­dy vy­já­d­řit \(\lambda_p\):

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) $$

Pří­pad­ně pro frek­ven­ce:

$$ f_p = \frac{c}{\lambda_p} = \frac{c}{\lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c}\right)}$$

Ny­ní te­dy prak­tic­ký pří­klad: Před­stav­me si, že má­me vý­še zmí­ně­nou frek­ven­ci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a zdroj se bu­de při­bli­žo­vat rych­los­tí \(10\ \mathrm{ms^{-1}}\), po­tom:

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) = 0.34 \left( 1 – \frac{10}{340} \right) = 0.33\ \mathrm{m} = 33\ \mathrm{cm}$$

Vyjádříme-li to te­dy frek­venč­ně, frek­ven­ce při­bli­žu­jí­cí­ho se zvu­ku bu­de:

$$ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{340}{0.33} = 1030\ \mathrm{Hz}$$

Jak ta­ko­vé dva zvu­ky zní za se­bou si mů­že­te po­slech­nout zde:

Pří­pad­ně si mů­že­te stáh­nout zvuk zde: 1000Hzvs1030Hz

Kon­t­rol­ní vý­po­čet do­sta­ne­me tak, že po­kud do­sa­dí­me za \(v_s=c\), vi­dí­me, že zá­vor­ka se pak vy­nu­lu­je a vy­jde „nu­lo­vá vl­no­vá dél­ka“ (te­dy ne­ko­neč­ná frek­ven­ce). Sa­mo­zřej­mě v re­á­lu se nic ta­ko­vé­ho ne­sta­ne, ale vi­dí­me, že vzo­rec v ta­ko­vém pří­pa­dě ne­dá­vá smy­sl – a to je správ­ný stav.

Všech­ny ostat­ní pří­pa­dy, te­dy kdy se po­slu­chač po­hy­bu­je či kdy se po­hy­bu­jí sou­čas­ně po­slu­chač i zdroj, se da­jí pře­vést na ten­to mo­del. Ostat­ní zá­vis­los­ti si tak mů­že­te zku­sit od­vo­dit sa­mi.

V příš­tím člán­ku se po­dí­vá­me na od­vo­ze­ní těch­to frek­ven­cí pro obec­ný po­hyb, tzn. ta­ko­vý, kdy se zdroj sig­ná­lu ne­při­bli­žu­je pří­mo k vám, ale bu­de vás mí­jet. Vy­tvo­ří­me te­dy funk­ci frek­ven­ce či vl­no­vé dél­ky v zá­vis­los­ti na vzá­jem­né po­lo­ze. Ale to až za­se příš­tě, tak hez­ký den! 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. dále jen DJ

Fou­rie­ro­va trans­for­ma­ce, apro­xi­ma­ce, in­ter­po­la­ce

Ob­tíž­nost: 3/5 Mu­sí­te troš­ku vě­dět

Ně­kdy je po­tře­ba, abychom vy­mys­le­li ně­ja­kou funk­ci, kte­rá se nám co nej­blí­že při­bli­žu­je tře­ba na­mě­ře­ným hod­no­tám. K to­mu po­u­ží­vá­me me­tod in­ter­po­la­ceapro­xi­ma­ce. Po­té se po­dí­vá­me na lehce sou­vi­se­jí­cí té­ma s Fou­rie­ro­vo řa­dou a na­kousne­me fou­rie­ro­vu ana­lý­zu.

Po­kra­čo­vá­ní tex­tu Fou­rie­ro­va trans­for­ma­ce, apro­xi­ma­ce, in­ter­po­la­ce