Archiv pro štítek: frekvence

Polarizace a spin částice (2. část)

Vítám vás u pokračování tématu o polarizaci a spinu částic. V prvním díle jsme zlehka naznačili matematický aparát a obecné principy, v tomto článku jich dále budeme využívat, proto pokud budete potřebovat, velmi doporučuji otevřít si první článek a v případě matematických nejasností zde se na něho odkazovat, mělo by tam být vysvětleno vše důležité.

Co je to spin?

Bohužel, u fyziky malých částic, jak jsme řekli dříve, poměrně slušně selhávají makroskopické představy o principech, stejně tak i jakákoliv snaha vysvětlit, k čemu spin částice připodobnit. Velmi blízce by se dal spin připodobnit jako moment hybnosti částice, ale ne v tom významu, že s ním můžeme zacházet libovolně jak chceme, ve své podstatě se jedná o experimentálně ověřenou hodnotu, která byla “tak nějak” potřeba přidat do co nejcelkovějšího modelu chování částic.[1]Pro další informace rozhodně doporučuji tento popis experimentu: ElektronovySpin.pdf. Říká nám zjednoduše, kolikrát musíme danou částici otočit, aby se nám jevila opět stejně. Pokud máme spin 1, poté musíme částici otočit o celých 360 stupňů, pokud 2, stačí 180 stupňů. Spin dané částice je (jeho velikost) přesně dána a nelze tuto hodnotu změnit. Navíc tyto hodnoty mohou nabývat pouze celočíselných a nebo polovičních násobků \(\hbar\)[2]Redukované planckovy konstanty, tedy \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\)., tedy spiny můžeme mít \(\left(1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1,\frac{3}{2},\ldots\right)\) a tak podobně.

Směr spinu částice (nikoliv jeho hodnotu) můžeme měnit např. magnetickým polem, kterým částice prochází. Budeme-li se pohybovat v běžných třech osách pohybu (pravolevá, hornodolní a předozadní), můžeme jednoduše spin označit jako horní, dolní, pravý, levý atd. Pro tato označování je zaběhnuté používání písmenek z anglických slov toto popisující, toho se budeme držet i zde — tedy u jako upd jako down atd. Pokud si nyní představíme spin jako rotaci, tato rotace bude mít nějakou osu[3]Opět — osu bude mít pouze v makroskopickém světě, v případě spinu hovořit o ose rotace je chybné.. Stačí nám tedy pro popis spinu jako takového pouze znázornění směru této osy, a to je právě výše zmíněné u nebo d.

Tak nějak asi tušíme, že se spinem to bude velmi podobné jako s polarizací částice. Budeme-li mít např. nějaký experiment, který nám říká, jestli měřená částice má spin u nebo d, pokud do tohoto experimentu pošleme u částici, řekne nám, že máme spin u a naopak. Stejně jako u polarizace, pokud pošleme do experimentu částici, která má spin natočený pod nějakým úhlem, dosáhneme určitého poměru ud v tomto experimentu (při větším počtu částic, třeba 100 částic, tedy získáme třeba 60 % částic s u a 40 % s d.)

Bra-ketovým zápisem (pro oživení doporučuji 1. díl seriálu) tedy můžeme daný spin částice zapsat jako:

$$|p_s\rangle=\alpha|\mathrm{u}\rangle+\beta|\mathrm{d}\rangle$$

Tedy že daný spin \(p_s\) bude součtem amplitud pravděpodobností pro ud. Abychom z amplitudy pravděpodobnosti dostali přímo pravděpodobnost, musíme “umocnit na druhou” — jenže pozor, toto platí pouze pro \(\mathbb{R}\). Pro \(\mathbb{C}\) budeme muset použít součin dvou komplexně konjugovaných čísel, tedy \(\alpha\alpha^*\)[4]Komplexně konjugované číslo, pro zopakování, je číslo, které má stejnou reálnou část, ale opačnou imaginární. Sami vidíme, že u reálných čísel se jedná opravdu o “umocnění na druhou”. Samozřejmě rovnou vidíme, že pravděpodobnosti budou muset být:

$$\alpha\alpha^*+\beta\beta^*=1$$

Také rovnou vidíme následující možnosti[5]vše vztaženo k experimentu, kdy měříme “je to u?:

$$
p_{u}=1|\mathrm{u}\rangle+0|\mathrm{d}\rangle\\
p_{d}=0|\mathrm{u}\rangle+1|\mathrm{d}\rangle\\
p_{r}=\frac{1}{\sqrt{2}}|\mathrm{u}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\mathrm{d}\rangle
$$

Co však značí přímo \(\mathrm{u}\) a \(\mathrm{d}\)? Jedná se o dva ortonormální vektory[6]Velmi podobné ortogonálním, jen mají jednotkovou velikost. Ortogonální vektory nám říkají, že pokud je jeden “něčím”, pak ten druhý je vším jen ne “něčím”, tedy např. pokud jeden vektor popisuje stav u, poté ortogonální popisuje stav přesně ne-u, tedy d 🙂 (Ano, tyto  vektory jsou tedy lineárně nezávislé a tvoří bázi prostoru, ale lineární algebru nechme na jindy.) , velmi podobně jako v případě polarizace. Musíme se ještě podívat na jeden “zvláštní typ” polarizace, tedy kruhovou polarizaci.

Kruhová polarizace

Jak asi víme, světlo je označováno jako elektromagnetické vlnění, což značí přesně to, co to je — obsahuje jak “elektrickou” tak “magnetickou” část. Představíme-li si světelný paprsek, který putuje prostorem nějakým přímým směrem:

Světelný paprsek
Světelný paprsek

Tento světelný paprsek je tvořen dvěma kolmými vlněními — elektrickým a magnetickým. Ty se mohou vyskytovat pouze jako “kolmé” veličiny na směr šíření paprsku, budou se tedy pohybovat v rovině:

Elektromagnateické vlnění se může rozkmitat pouze v této rovině, která je kolmá na směr šíření vlny.
Elektromagnetické vlnění se může rozkmitat pouze v této rovině, která je kolmá na směr šíření vlny.

Vlnění se tedy může rozkmitávat pouze po této plošce. Vlnění elektrické a magnetické je na sebe vzájemně kolmé, tedy:

Kruhova polarizace -- vlnění E & B
Kruhova polarizace — vlnění E & B

Nutno podotknouti, že obrázek je velmi silně mimo proporce, elektrická část vlnění je totiž mnohem silnější než magnetická, ale teď nám jde spíše o zobrazení principu než o správné proporce grafu 🙂

Nicméně k výpočtům samotným. Pokud budeme předpokládat, že \(E\) a \(B\) jsou kolmé a jsou to klasické vlny (sinusovky), označíme-li souřadné osy takto:

Označení os
Označení os

Tedy že vlna se pohybuje po ose \(z\), poté můžeme psát pro intenzity:

$$
E_x=E_{E_{max}}\sin(k\mathbb{\mathrm{z}}+\omega t)\\
E_y=E_{B_{max}}\cos(k\mathbb{\mathrm{z}}+\omega t)
$$

Budeme-li naší rovinou posouvat po ose \(z\), uvidíme, že se nám budou prakticky střídat dvě základní polarizace — tam, kde bude hodnota \(E_E\) maximální, tam bude hodnota \(E_B\) minimální a naopak. Budou se prakticky neustále dohánět, bude to právě vypadat, jako kdyby se vektor polarizace neustále otáčel; proto kruhová polarizace.

Zkusme se nyní podívat na bra-ketový zápis takového jevu a jak vůbec na to. Budeme předpokládat, že pro naši polarizaci bude platit něco jako (předpokládejme, že \(p_{kr}\) bude znamenat “Polarizace kruhová doprava”, tedy ve směru hodinových ručiček, ale pro začátek je to vlastně jedno):

$$|p_{kr}>=\alpha|\mathrm{x}\rangle+\beta|\mathrm{y}\rangle$$

Což by značilo, že musí existovat taková pravděpodobnost, kdy \(\alpha^2+\beta^2=1\). V čem je tady problém? Vidíme, že obě čísla budou kladná, pokud je zvolíme z \(\mathbb{R}\)[7]Protože 2. mocnina čehokoliv z $latex\mathbb{R}$ bude kladné číslo.. Proto musíme začít pokukovat po oblasti $latex\mathbb{C}$, tedy komplexních číslech. Pokud bychom zvolili:

$$1|x\rangle+i|y\rangle$$

Mohli bychom namítat, že to přece nefunguje, protože \(1^2+i^2=1-1=0\neq1\). Jenže! V prvním článku jsme si řekli, že abychom se dostali z pravděpodobnostních amplitud do přímé pravděpodobnosti, musíme nikoliv pouze umocnit, ale vynásobit komplexně konjugovaným číslem, tedy výpočet bude:

$$\alpha\alpha^*+\beta\beta^*=1$$

A to už fungovat bude:

$$1\cdot 1^*+i\cdot i^*=1\cdot 1 + i\cdot (-i) = 2$$

To sice taktéž není \(0\), ale už se blížíme k cíli, musíme pouze nanormovat jednotlivé operandy, stejně jako jsme dělali v prvním článku:

$$
\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1^*}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{i^*}{\sqrt{2}}=
\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
$$

Vektor kruhové polarizace vpravo \(p_{kr+}\) a vlevo \(p_{kr-}\) tedy můžeme napsat jako:

$$
|p_{kr+}\rangle=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\\
|p_{kr-}\rangle=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
$$

Zkusme nyní klasický pokus s částicí s jednou a filtrem s druhou polarizací a ověřme, jestli pro danou polarizaci platí předpokladané, tedy že částice neprojde. Připravme čáscici s polarizací v protisměru hodinových ručiček a přožeňme ji filtrem, který propouští pouze částice s polarizací ve směru hod. ručiček. Uvědomme si taktéž, že původní předpis pro řešení spočívá v použití prvního vektoru v konjugované formě!:

$$
\langle{}p_{kr-}|p_{kr+}\rangle=
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=
\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{i}{\sqrt{2}}=
\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}=0
$$

Stejně tak, pokud použijeme přesně inverzní zadání, tedy:

$$
\langle{}p_{kr+}|p_{kr-}\rangle=
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=
\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{-i}{\sqrt{2}}\frac{-i}{\sqrt{2}}=
\frac{1}{2}+\frac{(-i)^2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0
$$

Zkusme nyní ještě pokus s kruhově polarizovaným světlem a polarizačním filtrem pod nějakým obecným úhlem \(\phi\):

$$
\langle{}\phi|p_{kr+}\rangle=
\begin{pmatrix}\cos\left(\phi\right) & \sin\left(\phi\right)\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=
\cos(\phi)\frac{1}{\sqrt{2}}+\sin(\phi)\frac{i}{\sqrt{2}}
$$

Abychom z tuté pravděpodobnostní amplitudy dostali pravděpodobnost, musíme samozřejmě:

$$
\left(\langle{}\phi|p_{kr+}\rangle\right)^2=
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\frac{i}{\sqrt{2}}\sin(\phi)\right)^2=\\=
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\frac{i}{\sqrt{2}}\sin(\phi)\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\frac{-i}{\sqrt{2}}\sin(\phi)\right)=\\=
\left(\frac{1}{2}\cos^2(\phi)-\frac{i^2}{2}\sin^2(\phi)\right)=
\left(\frac{1}{2}\cos^2(\phi)+\frac{1}{2}\sin^2(\phi)\right)=
\frac{1}{2}\left(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)\right)=\frac{1}{2}
$$

Využijme ještě testu s hermitovským operátorem, který můžeme definovat takto[8]Viz https://www.eng.tau.ac.il/~shtaif/PolarizationClass.pdf.[9]Co to je, jsme řešili v minulém článku.:

$$
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
$$

A tedy jestli vyhovuje výrazu:

$$
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

Roznásobíme-li tedy:

$$
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\frac{1}{\sqrt{2}} – i\frac{i}{\sqrt{2}} \\
i\frac{1}{\sqrt{2}}+0\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

A tedy vidíme, že vlastní vektor odpovídá měřenému a předpokládanému, a tedy \(\lambda=1\).

Třípolarizátorový paradox

Tento paradox[10]Viz http://www.informationphilosopher.com/solutions/experiments/dirac_3-polarizers/[11]Viz http://alienryderflex.com/polarizer/[12]Viz polarize.pdf ukazuje zajímavou věc, která vypadá dost nemyslitelně; vezmeme-li dva polarizátory[13]Polarizační filtry…, které nastavíme kolmo na sebe (jejich roviny polarizace), ukazáali jsme si, že pravděpodobnost průchodu částice je \(0\). Nicméně, zařadíme-li mezi dva takové filtry třetí polarizátor pod nějakým úhlem, např. 45°, bude pravděpodobnost průchodu částice \(P: \left(0;1\right)\). Jak je toto možné? Využijme již známého matematického aparátu.

Víme už, že pravděpodobnost průchodu fotonem polarizačním filtrem o obecném úhlu \(\phi\) je \(p_{45}=\cos^2(\phi)=\cos^2(45)=\frac{1}{2}\). Připravíme-li proto polarizovaný proud částic, který pošleme 1. polarizátorem se stejným úhlem polarizace, tento nám daný paprsek nezmění (v rámci intenzity) a bude neustále \(100\%\) pravděpodobnost, že paprsek projde. Po 2. polarizátoru bude pravděpodobnost poloviční, tedy \(\frac{1}{2}\). No a po třetím, který je opět o oněch 45° otočen, bude pravděpodobnost:

$$
p_{II}=p_{45}\cos^2(45)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=25\ \%
$$

Pravděpodobnost průchodu takové částice je tedy \(45\ \%\). Ale pozor! Jde o světlo, které už máme polarizované, pokud do prvního polarizátoru pošleme nějaké obecné nepolarizované světlo, uvidíme, že už po prvním filtru budeme mít mnohem menší pravděpodobnost průchodu částice, konkrétně \(\frac{1}{2}\), pokud tedy bychom měřili nějakou intenzitu mezi vstupujícím světlem a výstupním světlem, dostaneme se ještě na polovinu z oněch \(25\ \%\), tedy na \(12,5\ \%\).

Samozřejmě bychom mohli dopočítat přes vlastní vektor, ale když jsme si už ukázali výstupy z této metody, můžeme jen vhodně zkombinovat výstupy, nicméně však by to vyšlo naprosto stejně 🙂

Definice matic pro výpočet

Stejně jako u polarizace, i zde můžeme využít hermitovských operátorů a dosazovat do rovnice. Polarizace a spin se budou chovat prakticky totožně[14]Až na pár velmi podstatných rozdílů, které si samozřejmě záhy ukážeme. (matematicky), budeme-li detekovat částice s nějakým spinem a do tohoto detektoru budeme posílat částice se spinem jiným či “pod nějakým úhlem”, výsledné výpočty budou téměř stejné[15]Tedy proporčně budou jako \(\cos^2(\phi)\), nicméně lehko odlišné..

Matice, které ve výpočtu používáme se jmenují Pauliho matice[16]Podle fyzika Pauliho, který za svůj vylučovací princip dostal Nobelovu cenu za fyziku. a mají tvar[17]Viz http://planetmath.org/PauliMatrices pro směry up/downright/leftin/out jako:

$$
\mathrm{\hat{H}}_{u/d}=\sigma_z=
\begin{pmatrix}
1  & 0\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}\\
\mathrm{\hat{H}}_{r/l}=\sigma_x=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}\\
\mathrm{\hat{H}}_{i/o}=\sigma_y=
\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0\\
\end{pmatrix}
$$

Vidíte, že jsem označil jednotlivé matice jako \(\sigma_z\) a podobně — jednoduše matice, která má osu \(z\) je označená jako \(\sigma_z\) atd. 🙂 První matice, up/down tedy má osu \(z\) a proto je označená \(\sigma_z\). Podívejme se však na tutu matici trošku podrobněji. Proč jsou zvolené zrovna tyto hodnoty?

Víme, že (chceme, aby…) bude platit:

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
=
1
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
$$

Z toho můžeme velmi snadno určit neznámou matici (byť to na první pohled nevypadá). Napišme si, co víme, že bude platit za vztahy podle toho, jak bychom matici roznásobovali. První vztah tedy bude:

$$a \cdot 1 + b \cdot 0 = 1 $$

Z toho je naprosto jasně vidět, že ať bude \(b\) cokoliv, \(a\) musí být \(1\), aby byl součet čehokoliv a nuly jednička. Tedy vidíme, že \(a=1\). Pro druhý řádek máme:

$$ c \cdot 1 + b \cdot 0 = 0$$

Tedy vidíme, že \(c=0\). Nojo, ale co teď? 🙂 Pořád nám chybí dva výrazy, tak si pomůžeme tím, že známe dva vlastní vektory pro ud spin, použijeme prostě jen “ten druhý” vlastní vektor (jestli jste první použili ten či onen je jedno, samozřejmě 🙂 ):

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix}
=
-1
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}
$$

A opět stejným způsobem:

$$ a \cdot 0 + b \cdot 1 = 0$$

Tedy vidíme, že \(b=0\). No a pro poslední možnost:

$$ c \cdot 0 + d \cdot 1 = -1$$

No a tady vidíme, že \(d=-1\). Celková matice je tedy:

$$
\sigma_z
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
$$

A taková matice je Hermitovská (viz předchozí článek).  Stejným způsobem dokážeme odvodit i ostatní matice, samozřejmě tam vždy použijeme trošku jiný trik, ale v principu je to pořád to samé, vyřešit nějak chytře rovnici o 4 neznámých:

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
-1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

Pro zjednodušení budu předpokládat, že rovnici s maticemi mohu vynásobit libovolným číslem na obou stranách a rovnost zůstane zachována (chci se prostě zbavit neustálého obludného psaní \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)). Mohu tedy říci, že:

$$
\begin{matrix}
a \cdot 1 &+& b \cdot 1 &= &1 \\
c \cdot 1 &+& d \cdot 1 &= &1 \\
a \cdot 1 &-& b \cdot 1 &= &-1 \\
c \cdot 1 &-& d \cdot 1 &= &1
\end{matrix}
$$

Nyní jen jednoduše sečtěme rovnice spolu, hned první a třetí rovnici, vznikne nám \(a+a = 0\), tedy je jasně vidět, že \(a=0\). Poté sečtěme 2. a 4. rovnici, tedy uvidíme \(b+b = 2\), tedy \(b=1\). Když toto vidíme, ve 4. rovnici rovnou vidíme, že \(1-d=1\), tedy \(d = 0\). No a stejně pokud vidíme z 2. rovnice \(c=1\). Tedy matice bude:

$$
\sigma_x
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}
$$

Nakonec se podívejme na výpočet \(\sigma_y\). Víme, že musí platit následující vztahy:

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
+1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
-1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

Udělejme to stejné, co jsme dělali výše:

$$
\begin{matrix}
a  &+& b i &= &1 \\
c  &+& d i &= &i \\
a &-& b i &= &-1 \\
c &-& d i &= &1
\end{matrix}
$$

Pokud sečteme 1. a 2. rovnici, vidíme, že \(2a = 0\), tedy že \(a=0\). Pokud je \(a=0\), poté musí platit, že \(bi=1\), a tedy \(b=\frac{1}{i}=-i\). Nyní sečtěme 2. a 4. rovnici, vyjde, že \(2c=2i\), tedy \(c=i\). A samozřejmě tím pádem vidíme, že \(d=0\).

Spin obecně v obecném úhlu

Těchto matic můžeme využít při určení obecných pravidel, jak se chová spin, pokud “nevíme, co měříme”, ale prostě “to měříme”. Máme-li však nějakou částici (obecně) a nastavíme-li naše měřící zařízení “do obecného úhlu” vůči spinu této částice (protže netušíme, jak to může dopadnout). Označíme-li tedy obecně nějaký náš vektor \(\mathrm{\mathbb{\vec{u}}}\) jako vektor, poté můžeme psát složkově:

$$
\vec{u}=u_x + u_y + u_z
$$

A protože vektor bude (chceme, aby byl…) jednotkový, poté bude platit pythagoras:

$$
u^2_x+u^2_y+u^2_z=1
$$

Zpět ale k rovnici výše, kde jsem rozepsal pro jednotlivé souřadné osy. Asi vidíte, kam tím mířím a proč jsem tak udělal; vektory prostě lze klasicky lineárně sčítat, no a protože operátory už máme odvozené, můžeme jich rovnou využít v obecném zápisu:

$$
u_x\hat{\sigma_x}+u_y\hat{\sigma_y}+u_z\hat{\sigma_z}=\hat{\sigma_u}
$$

Tuto lineární superpozici snadno vyřešíme, obecně to vypadá takto:

$$
A\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}+
B\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}+
C\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Aa+Ba+Ca & Ab+Bb+Cb \\ Ac+Bc+Cc & Ad+Bd+Cd
\end{pmatrix}
$$

Takže:

$$
\hat\sigma_u =
u_x
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}
+
u_y
\begin{pmatrix}
0 & -i \\ i & 0
\end{pmatrix}
+
u_z
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
u_z & u_x-iu_y \\
u_x+iu_y & -u_z
\end{pmatrix}
$$

Rovnou z této matice (doufám!) vidíme, že je hermitovská. Proto můžeme \(\hat{\sigma_u}\) použít jako operátor ve známém:

$$
\hat{\sigma_u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}$$

A samozřejmě můžeme psát:

$$
\hat{\sigma_u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=+1\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}$$

Nyní si budeme ještě muset lehce pohrát s normalizací vektoru \(\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\), protože jinak by nám opět vycházely divné hodtnoty pravděpodobností, typu 400 % a tak. Jak provést tedy normalizaci?

Abychom mohli takovou věc udělat obecně, musíme udělat opět takový malý trik. Není to nic nelegálního, ale hodně nám to zjednoduší práci. Pokud víme, že vlastní vektor bude vypadat tak, jak jsem psal v předchozí větě, stejně tak, pokud vím, že pokud chci, aby byl normalizovaný, bude jednotkový a tím pádem mohu předpokládat, že i nějaký jiný vektor, který místo něho použijeme (substitucí), bude-li jednotkový a bude mít stejné vlastnosti, bude použitelný stejně jako vektor původní. Tedy pokud prohlásíme, že:

$$
\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\alpha_0\end{pmatrix}
$$

a budeme-li dále pracovat s tímto vektorem, uvidíme, že si dost ulehčíme práci a zpětně se dostaneme tam, kde jsme začali, ale budeme mít vyřešenou normalizaci. Co je tedy tato hodnota \(\alpha_0\)? Pojďme se podívat, jak toto odvodit. Víme, že budeme-li předopkládat, že vektor \(\begin{pmatrix}1\\\alpha_0\end{pmatrix}\) bude normalizován, bude se chovat jako kterékoliv jiné vlastní vektory[18]to neznamená, že je to postačující podmínka takové funkce a bude platit:

$$
\begin{pmatrix}
u_z & u_x-iu_y \\
u_x + iu_y & -u_z
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
=
+1
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
$$

Zkusme vytvořit první rovnici:

$$
u_z + \alpha_0(u_x-iu_y) =1
$$

Z toho jasně dokážeme vyjádřit \({}\alpha_0{}\): 🙂

$$
\alpha_0(u_x-iu_y)=1-u_z
\alpha_0=\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
$$

A můžeme dosadit:

$$
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
\end{pmatrix}
$$

Nicméně tento vektor tedy nejspíše pořád nebude (s největší pravděpodobností) normalizován. A s tím si musíme poradit. Musí tedy současně platit dva následující vtazhy:

$$
|\phi\rangle=
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
\\
\phi\phi^*=1
$$

Musí tedy platit:

$$
\begin{pmatrix}
1 &\alpha_0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
=
1
$$

Budeme chvilku předpokládat, že stále “nejsme normalizováni”. Zvolme si za normalizační konstantu například \(\nu\). Potom bude platit, že normalizovaný vztah výše bude vypadat jako:

$$
|\phi\rangle=
\nu\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
$$

Můžeme tedy psát:

$$
\nu
\begin{pmatrix}
1 & \alpha_0
\end{pmatrix}
\nu
\begin{pmatrix}
1 \\ \alpha_0
\end{pmatrix}
=
1
$$

a to řešit jako

$$
\nu^2
\left(
1+\color{red}{\alpha_0^*}\color{green}{\alpha_0}
\right)
= 1
$$

To vyřešíme (dosadíme za \(\alpha_0\)):

$$
\nu^2
\left[
1+
\color{red}{
\left(
\frac{1-u_z}{u_x+iu_y}
\right)
}
\color{green}{
\left(
\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
\right)
}
\right]
=1
$$

A teď nastane opravdový “hustý trik” 🙂 Víme, nejprve roznásobíme (to trik ještě není):

$$
\nu^2
\left[
1+
\left(
\frac{\left(1-u_z\right)^2}{u_x^2+u_y^2}
\right)
\right]
=1
$$

A nyní nastane velký trik. Víme, že nahoře jsme pro připomenutí psali, že u jednotkového vektoru bude platit pythagorské:

$$
\color{pink}{u_x^2+u_y^2}+u_z^2=1
$$

Barevně máme označenou část, kterou však máme ve jmenovateli! Můžeme tedy místo jmenovatele psát:

$$
u_x^2+u_y^2=1-u_z^2
$$

A to nám (jak vidíte) hodně zjednoduší práci 🙂

$$
\nu^2
\left[
1+
\left(
\frac{\left(1-u_z\right)^2}{1-u_z^2}
\right)
\right]
=1
$$

Nyní můžeme rozložit jmenovatele a zkrátit:

$$
\nu^2
\left[
1+
\left(
\frac{\left(1-u_z\right)^2}{\left(1-u_z\right)\left(1+u_z\right)}
\right)
\right]
=1
$$

$$
\nu^2
\left[
1+
\frac{\left(1-u_z\right)}{\left(1+u_z\right)}
\right]
=1
$$

$$
\nu^2
\left[
\frac{\left(1+u_z\right)}{\left(1+u_z\right)}
+
\frac{\left(1-u_z\right)}{\left(1+u_z\right)}
\right]
=1
$$

$$
\nu^2
\left[
\frac{2}{\left(1+u_z\right)}
\right]
=1
$$

Z toho už snadno odvodíme \(\nu\) jako:

$$
\nu^2=
\frac{1+u_z}{2}
$$

a tedy:

$$
\nu = \sqrt{\frac{1+u_z}{2}}
$$

A tím máme normalizační faktor vyřešený. Jako zkoušku si klidně (můžete sami) dosaďte za \(u_x=1\) a ostatní prvky dejte nulové, vyjdou vám vlastní vektory, které už jsme používali. Pouze dosaďte do:

$$
|\phi\rangle=
\sqrt{\frac{1+u_z}{2}}
\begin{pmatrix}
1 \\
\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
\end{pmatrix}
$$

Uvidíte, že to bude vycházet 🙂

Tolik asi k normalizaci. Pokud bychom obecně připravili nějakou částici v obecném stavu a úhlu, měřili ji v jiném obecném úhlu, vyjde nám pravděpodobnost \(P=\cos^2\frac{\phi}{2}\) (využijeme při tom výpočtů, které už jsme si tady ukazovali, nic jiného). Tento článek už je poměrně dlouhý, proto ho zde nyní utněme (v nejlepším přestat, že 🙂 ) a příště se věnujme dalším věcem a zákonitostem, které s polarizacemi a spinem souvisejí.

 

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Pro další informace rozhodně doporučuji tento popis experimentu: ElektronovySpin.pdf.
2. Redukované planckovy konstanty, tedy \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\).
3. Opět — osu bude mít pouze v makroskopickém světě, v případě spinu hovořit o ose rotace je chybné.
4. Komplexně konjugované číslo, pro zopakování, je číslo, které má stejnou reálnou část, ale opačnou imaginární. Sami vidíme, že u reálných čísel se jedná opravdu o “umocnění na druhou”.
5. vše vztaženo k experimentu, kdy měříme “je to u?
6. Velmi podobné ortogonálním, jen mají jednotkovou velikost. Ortogonální vektory nám říkají, že pokud je jeden “něčím”, pak ten druhý je vším jen ne “něčím”, tedy např. pokud jeden vektor popisuje stav u, poté ortogonální popisuje stav přesně ne-u, tedy d 🙂 (Ano, tyto  vektory jsou tedy lineárně nezávislé a tvoří bázi prostoru, ale lineární algebru nechme na jindy.)
7. Protože 2. mocnina čehokoliv z $latex\mathbb{R}$ bude kladné číslo.
8. Viz https://www.eng.tau.ac.il/~shtaif/PolarizationClass.pdf.
9. Co to je, jsme řešili v minulém článku.
10. Viz http://www.informationphilosopher.com/solutions/experiments/dirac_3-polarizers/
11. Viz http://alienryderflex.com/polarizer/
12. Viz polarize.pdf
13. Polarizační filtry…
14. Až na pár velmi podstatných rozdílů, které si samozřejmě záhy ukážeme.
15. Tedy proporčně budou jako \(\cos^2(\phi)\), nicméně lehko odlišné.
16. Podle fyzika Pauliho, který za svůj vylučovací princip dostal Nobelovu cenu za fyziku.
17. Viz http://planetmath.org/PauliMatrices
18. to neznamená, že je to postačující podmínka takové funkce

Hudba ve 432 vs 440 Hz

Tento článek nedávám ani do doplňkových článků, protože s fyzikou má společného fakt jen minimálně. Rovnou ho tedy dávám do “zábavy”. Nicméně pokud vám tato čísla nic neříkají, nejspíše patříte k té šťastné množině lidí, které průnik s množinou lidí, kteří věří či propagují tento nesmysl, je množina prázdná[1]Prostě jste o tom neslyšeli 🙂 .

O co se tedy jedná? Zastánci této podivné hypotézy říkají, že hudba je při podladění o 8 Hz příznivější tělu a mysli, než pokud se hraje v klasickém ladění. Možná by to však chtělo trošku alespoň fyzikálně zmínit, jak je to vlastně s laděním (když už se tedy máme bavit o fyzice).

Tóny

Asi to každý znáte — tón, zvuk, hluk; tyto termíny se definují snad už na ZŠ, čili nebudu je dlouho rozebírat, jen stručně: tón je na rozdíl od hluku homogenní a periodický, zvuk je množina všeho, do čeho patří i tón, hluk atp.

Jak víte, zvuk je mechanické vlnění nějakého prostředí, v našem případě vzduchu, které tímto přenáší nějakou zvukovou informaci. Tu pak mozek přes periferie (ucho) zpracovává na hudební či zvukový vjem.

Během historie se chápání “hudby” jako soustavy tónů poměrně dost bouřlivě vyvíjelo, nicméně to, že dnes používáme klasické tóniny, na které jsme zvyklí, není jen tak náhodou. Historii přenechám historikům, popíšeme si všechno pěkně fyzikálně.

Základní tón, harmonická, intervaly

Pokud vás zajímá více z hudební teorie, přečtěte si články, kde tyto věci popisuji (či případně články o itervalech) z hudebního hlediska, nicméně nyní pouze fyzikálně:

Jak jsme již řekli, tón je generován nějakým vlněním, v našem případě se omezíme na harmonické vlnění:

$$ f(t) = y = \sin \left(\omega t + \phi \right) $$

Kde \(y\) je aktuální výchylka, \(\omega\) je úhlová frekvence, \(t\) je čas, který do rovnice vstupuje jako parametr a \(\phi\) je fázový posuv. Nicméně pokud bychom si vytvořili např. takovýto tón, který má frekvenci 440 Hz, zněl by poněkud fádně, nezajímavě, nudně:

Krom toho, že tón není ani tak hlasitý a přesto je dost nepříjemný. Aby tón zněl lépe, je zapotřebí smíchat více tónů, nicméně ne jen tak ledabyle a náhodně, je potřeba je smíchat podle nějakých pravidel. Nejjednodušším mícháním je stav, kdy míchám různé “harmonické” frekvence. Co to je harmonická? Zde uvedený tón si můžeme zakreslit např. takto:

Jak vidíte, křivka se neustále opakuje — což je přesně to, co slovo “harmonická” znamená, je totiž periodická (tzn. neustále se opakující). Abychom mohli přidat třeba “druhou harmonickou”, musíme přidat takovou “harmonickou”, která bude mít stejné místo opakování — tedy aby tam, kde se křivka v nule[2]či tam, kam nás fáze posune potkává s osou \(t\), aby se i tam potkávala křivka další harmonické frekvence. Pokud přidáme např. frekvenci 880 Hz, tedy:

Výsledná frekvence bude prostým součtem těchto dvou křivek, tedy:

Sice už to není “sinusovka”, ale vidíme, že je to funkce neustále periodická. Zní nějak takto:

Kontrolní otázka (o další Fidorku!), pokud si tuten souzvuk pustíte, jak vysvětlíte ono “vlnění” zvuku? Proč zvuk nezní stále stejně, ale jako by pulzoval?

Nicméně tímto způsobem můžete přidat hromadu křivek, přidám ještě 220 a 110 Hz:

Vidíme, že křivka začíná být opravdu složitá, ale pořád je periodická, pořád se opakuje. Zní takto:

Nicméně když tento tón slyšíme, pořád je to prostě “takové jalové”. Jak se dosáhne toho, že tóny zní tak nějak lépe?

Zatím jsme totiž míchali pouze násobky harmonické — dvojnásobnou frekvenci, poloviční, čtvrtinovou. Tomuto intervalu mezi tóny se říká oktáva a vyjadřuje přesně to, co jsme si ukázali — dvojnásobek (či půlnásobek) původní frekvence. Pokud tón o frekvenci 440 Hz označíme jako \(a_1\), potom ten o frekvenci 880 Hz bude \(a_2\), frekvence 220 Hz odpovídá \(a\) a 110 potom \(A\) (čteme jako “á malé” a “á velké”).

To je však pořád jen tón A, ale kdo někdy viděl kytaru nebo klavír dobře ví, že je tam poněkud více tónů. Takže jak vzniknou? Začněme s další pěknou matematickou závislostí — čistou kvintou. Že je to kvinta, na to lidé přišli až později, nicméně kvinta má trojkové násobky. Smíchejme proto Náš tón 440 Hz s frekvencí 660 Hz, tedy \(\frac{3}{2}\) z 440 Hz:

Pro další intervaly platí další zákonitosti, nicméně takovýmto různým dělením dostaneme hromadu tónů, které když uspořádáme do našich známých stupnic, dostaneme tzv. Pythagorejské ladění, které tedy vznikne tím, že postupně přidáváme různé kvinty a posouváme je různě o oktávy nahoru a dolů. Nicméně dnešní nástroje nejsou laděny v Pythagorejském ladění, ale tzv. temperovaném, případně koncertním ladění.

Rozdíl mezi těmito laděními je mírně nad rámec fyzikálního článku, každopádně ve stručnosti — lidé si všimli, že pokud mírně posunou některé tóny, klavír bude třeba neustále “trochu rozladěn”, ale zase budou všechny tóny (současně hluboké a vysoké) k sobě ladit lépe. A právě takovému ladění se říká temeprované.

V článku o Fourierově analýze se můžete případně dočíst, jak je to se skládáním prakticky nekonečně mnoha různých frekvencí.

Zpět však k zastáncům “432 hypotézy”. Ti tvrdí, že pokud jako výchozí tón (tzn. vše ostatní je stejné) nepoužiji tón o frekvenci 440 Hz, ale 432 Hz, bude hudba příjemnější (s tím se dá i nedá souhlasit, záleží na skladbě), ale především že bude mít “pozitivní účinky na zdraví jedince”[3]Spíše tedy že “nebude mít negativní” účinky….

S argumenty této čtyři sta třicet dvojkové skupiny se dá poměrně slušně nesouhlasit; už jsem četl různé — od toho, že Mozart či Beethoven používali jiné ladění[4]Aby ne, když to bylo před staletími a moderní ladění se normalizovalo až kolem roku 1940., případně postují různé “pestrobarevné” obrázky s jakožemeditativní tématikou a vzájemně se poplácávají po zádech, jak to všem “čtyři sta čtyřicátníkům” nandali.

Názor si udělejte sami, případně zagooglete, že je to hloupost zjistíte po několika pročtených příspěvcích a studiích, nicméně nyní jen pro srovnání — stejný kousek písničky ve 440Hz ladění (tzn. beze změny) a ten samý kousíček se sníženým laděním (bohužel kvůli autorskému zákonu nemůžu více než 30vteřinovou ukázku):

Původní 440Hz verze:

“Vylepšená” 432Hz verze:

Jak slyšíme, “nějaký” rozdíl tam je. Nicméně vliv těchto změn je podle mého dost sporný. Často též vidíme různé obrázky, které tato skupina lidí posílá:

Je to sice krásné, ale netuším, proč by měla změna frekvence či toho, kde se různé harmonické potkávají, nějak ovlivňovat zdraví. Každopádně k výše uvedenému obrázku ještě pár slov:

Musíme totiž “probrat” ještě jeden typ vlnění, tzv. stojaté vlnění. To je narozdíl od postupného vlnění uvedeno “na místě”. Např. pokud klepnete do struny, ta se rozezní a bude “se vlnit” — stojaté vlnění. Vlna nikam necestuje, vlnové délky odpovídají různým poměrům délky struny. Postupné vlnění je takové, které pozorovatel vnímá jako vlnění až s tím, jak se věc, která se vlní, pohybuje — např. takový zvuk ve vzduchu. Vlny postupně jako kola po hození kamínku do vody cestují směrem od zdroje zvuku a pokud “narazí” na posluchače, ten je uslyší.

Nicméně stojaté vlnění má pár docela zajímavých vlastností — hráči na kytaru třeba ví, že pokud drknou na strunu tzv. flažolet tak, že ji rozezní jen “na půlce”, poté se druhá polovina struny rozezní též, akorát v opačné fázi 😉 Výsledná frekvence tónu bude tedy dvojnásobná, bude tedy o oktávu výše. Ale pokud si zkusíte takto rozeznít strunu třeba jen “o centimetr” vedle, už se tón neozve a vlnění okamžitě ustane.

Pokud bychom nakreslili obrázek toho, jak moc dobře struna zní, pokud v nějakém místě stiskneme strunu, dostaneme diagram, který je velmi podobný právě výše uvedným obrázkům (akorát ty berou osy jak X tak Y, v mém uvedeném případě se strunou by se aplikovala pouze osa X). Obrázky totiž zohledňují vliv prostředí, které celé kmitá — např. pokud jste v malé místnosti bez koberců, určitě slyšíte, že se zvuk tak podivně “nese” a rezonuje. A to přesně souvisí právě se stojatým vlněním — v některých frekvencích se vlny prostě nevyruší a budou znít déle a intenzivněji než v jiných.

Nicméně tato frekvence je naprosto závislá na rozměrech a tvaru místnosti. A stejně tak i výše uvedené obrázky, které mají simulovat vlnění na hladině vody — záleží kromě vstupní frekvence i na rozměrech misky či předmětu, který se vlní a kde toto vlnění zkoumáme.

Kdyby měli lidé své hlavy všechny stejně velké (tedy všichni lidé kdyby měli stejně velkou hlavu), samozřejmě by něco takového mohlo být zajímavé zkoumat. Bohudík tomu tak však není a každý si tak můžeme užívat jiného “vlnění”, které je nám příjemné.

Ohledně vlivu zvuku a frekvencí na tělo v biologickém slova smyslu opět požádám kolegu Lukáše, který se k tématu doufám též někdy vyjádří! 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Prostě jste o tom neslyšeli 🙂
2. či tam, kam nás fáze posune
3. Spíše tedy že “nebude mít negativní” účinky…
4. Aby ne, když to bylo před staletími a moderní ladění se normalizovalo až kolem roku 1940.

Dopplerův jev

V tomto krátkém článku odvodíme rovnici dopplerova jevu, resp. tedy budeme zkoumat změnu vlnové délky (a frekvence) zvukového či obecného signálu v závislosti na pohybu posluchače a zdroje signálu.

Určitě jste s projevy Dopplerova jevu[1]dále jen DJ empiricky seznámeni; jedoucí vozidlo, vlak, sanitka, policisté — pokud se přibližují, jejich zvukový projev “zní výše”, než pokud jedou směrem “od vás”. Pojďme se nyní lehce podívat na závislosti těchto jevů, z čeho plynou a jaké jsou vlastnosi DJ.

Základní vzorečky, ze kterých vyjdeme:

Pevně věřím, že následující vztahy jsou pouhým opakováním, nicméně pro jistotu je uvedu:

  • Závislost dráhy \(s\), rychlosti \(v\) a času \(t\):
    $$\begin{array}{}s & = & v\cdot t\\ v & = & \frac{s}{t}\\ t & = & \frac{s}{v}\end{array}$$
  • Závislost frekvence \(f\), rychlosti \(v\) a vlnové délky \(\lambda\):
    $$\begin{array}{}\lambda & = & v\cdot \frac{1}{f} \\ f & = & v \cdot \frac{1}{\lambda}\end{array}$$
  • Závislost frekvence \(f\) a doby kmitu \(T\):
    $$f = \frac{1}{T}$$

Odvození pro lineární pohyb

Abychom odvození správně pochopili, musíme jít “od nejjednoduššího” případu a postupně přidávat další jevy. Takto je postupně budeme nabalovat, až tomu budeme vlastně rozumět celému 🙂 Takže hurá do toho!

Stacionární posluchač, pohyblivý zdroj zvuku

Začněme tím nejjednodušším. Eliminujeme všechny možné případy do jediného — kdy se po ose \(x\) pohybuje nějaký zdroj signálu rychlostí \(v_s\), my jako posluchači stojíme na konstantním místě \(x_p\). Budeme zkoumat vlastnosti zvukového projevu, když se náš předmět bude přibližovat a posléze oddalovat.

Jakou rychlostí se šíří zvuk? Nazvěme tuto rychlost \(c\) — stejně, jako rychlost šíření světla ve vakuu. Nyní však tato konstanta znamená rychlost šíření zvuku ve vzduchu (či tam, kde jsme jako posluchači). Dále víme, že zvukový zdroj vydává zvuk o konstantní vlnové délce \(\lambda\). Co to vlastně \(\lambda\) je? Vlnová délka není opravdu nic jiného než “divná délka” — délka, která vyjadřuje vzdálenost mezi dvěma na sebe zobrazitelnými body z dané křivky, která vlastnost vlnové délky má. Např. u klasické “sinusovky” můžeme počítat vlnovou délku jako vzdálenost mezi dvěma “kopečky” (amplitudami).

Pro představu — máme např. zvuk o frekvenci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a rychlost šíření zvuku ve vzduchu je zhruba \(340\ m\cdot s^{-1}\). Z toho snadno vypočítáme vlnovou délku:

$$\lambda = c \cdot \frac{1}{f} = 340 \cdot \frac{1}{1000} = 34\ \mathrm{cm}$$

Nyní si však uvědomme, co se stane během “jedné” takové vlnové délky. Při pohyblivém zdroji zvuku se mezitím zdroj posune o určitou vzdálenost, nazvěme ji nyní třeba \(x_d\). Jak velká bude tato vzdálenost?

Víme, že jedna vlna trvá \(T = \frac{1}{f}\) a dále víme, že \(s = v \cdot t\), v našem případě tedy \(s = v_s \cdot T\). Stejně tak můžeme psát “pro frekvence”, že pokud \(f = \frac{c}{\lambda_s}\), tak že \(T=\frac{1}{T_s} = \frac{\lambda_s}{c}\).

Pokud tedy \(x_d = v_s \cdot T_s\), potom \(x_d = v_s \frac{\lambda_s}{c}\). Index “s” značí, že počítáme s proměnnými, které popisují “zdroj signálu”. Jen pro přehlednost, aby byl pořádek v proměnných.

Pokud se tedy zdroj signálu přibližuje, vlnová délka se bude zkracovat, konkrétně:

$$\lambda_{p} = \lambda_s – x_d = \lambda_s – v_s\frac{\lambda_s}{c}$$

Můžeme tedy vyjádřit \(\lambda_p\):

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) $$

Případně pro frekvence:

$$ f_p = \frac{c}{\lambda_p} = \frac{c}{\lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c}\right)}$$

Nyní tedy praktický příklad: Představme si, že máme výše zmíněnou frekvenci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a zdroj se bude přibližovat rychlostí \(10\ \mathrm{ms^{-1}}\), potom:

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) = 0.34 \left( 1 – \frac{10}{340} \right) = 0.33\ \mathrm{m} = 33\ \mathrm{cm}$$

Vyjádříme-li to tedy frekvenčně, frekvence přibližujícího se zvuku bude:

$$ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{340}{0.33} = 1030\ \mathrm{Hz}$$

Jak takové dva zvuky zní za sebou si můžete poslechnout zde:

Případně si můžete stáhnout zvuk zde: 1000Hzvs1030Hz

Kontrolní výpočet dostaneme tak, že pokud dosadíme za \(v_s=c\), vidíme, že závorka se pak vynuluje a vyjde “nulová vlnová délka” (tedy nekonečná frekvence). Samozřejmě v reálu se nic takového nestane, ale vidíme, že vzorec v takovém případě nedává smysl — a to je správný stav.

Všechny ostatní případy, tedy kdy se posluchač pohybuje či kdy se pohybují současně posluchač i zdroj, se dají převést na tento model. Ostatní závislosti si tak můžete zkusit odvodit sami.

V příštím článku se podíváme na odvození těchto frekvencí pro obecný pohyb, tzn. takový, kdy se zdroj signálu nepřibližuje přímo k vám, ale bude vás míjet. Vytvoříme tedy funkci frekvence či vlnové délky v závislosti na vzájemné poloze. Ale to až zase příště, tak hezký den! 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. dále jen DJ