Archiv pro štítek: měření rychlosti

Měření rychlosti radarem a Dopplerův jev

Nej­spí­še jste už ně­kdy vi­dě­li ně­ko­ho jet rych­los­tí ohro­žu­jí­cí bez­pe­čí na sil­ni­ci. Po­li­cie se sna­ží po­čet ta­ko­vých­to „bláznů“ re­du­ko­vat tím, že ra­da­ry mě­ří rych­lost aut, kte­ré po­slé­ze po­ku­tu­je. Ale jak ta­ko­vé mě­ře­ní pro­bí­há?

V člán­ku o Do­p­ple­ro­vě je­vu jste se do­čet­li, co je to Do­p­ple­rův jev[1]Dále už jen DJ.. Zkrá­ce­ně, co to je – ur­či­tě jste si všimli to­ho, že když ko­lem vás pro­jíž­dí vlak, tak při při­bli­žo­vá­ní se k vám se frek­ven­ce „je­ho zvu­ku“ zvy­šu­je (či­li jde stá­le o vyš­ší a vyš­ší tón, ja­ko když hra­je­te na kla­ví­ru na klá­ve­sy ví­ce a ví­ce vpra­vo) a hned jak se od vás za­čne vzda­lo­vat, frek­ven­ce ná­h­le po­kles­ne (či­li stá­le niž­ší a niž­ší tón, ja­ko když hra­je­te na kla­ví­ru na klá­ve­sy ví­ce a ví­ce vle­vo).

Ale jak ví­me, u aut ne­ní ten­to zvuk tak zna­tel­ný při niž­ších rych­los­tech a hlav­ně by se to tím­to způ­so­bem dost špat­ně měřilo.[2]Kvůli šu­mu z oko­lí a kvů­li vy­so­ké ne­přes­nos­ti mě­ře­ní frek­ven­ce zvu­ku na vět­ší dál­ku. Přes­to je po­li­cie schop­na rych­lost ra­da­rem změ­řit.

Ja­ké ji­né vl­ně­ní ješ­tě vy­dá­vá au­to? Vy­za­řu­je svět­lo v in­fra­čer­ve­né ob­las­ti (če­hož vy­u­ží­vá ter­mo­vi­ze, např. k vi­dě­ní ob­jek­tů ve tmě) a ve vi­di­tel­né ob­las­ti světla.[3]Jinak bychom to au­to ani ne­vi­dě­li. Ale my ni­kdy ne­ví­me, ja­kou bar­vu má au­to „do­o­prav­dy“ (v kli­du vů­či nám), tak­že ne­mů­že­me vy­po­čí­tat roz­díl frek­ven­cí, tu­díž ani rych­lost.

Ale co když my sa­mi bu­de­me vy­sí­lat pa­prsky k po­hy­bu­jí­cím se ob­jek­tům? Vyšleme-li sig­nál s ur­či­tou frek­ven­cí (a te­dy i vl­no­vou dél­kou pod­le vzor­ce  \(f = \frac{c}{\lambda}\) )[4]Ten­to vzo­rec nám v pod­sta­tě ří­ká, že se zvy­šu­jí­cí se rych­los­tí za kon­stant­ní vl­no­vé dél­ky se frek­ven­ce zvy­šu­je a při zvy­šu­jí­cí se vl­no­vé dél­ky za kon­stant­ní rych­los­ti se frek­ven­ce zmen­šu­je. k ob­jek­tu, kte­rý se vů­či nám po­hy­bu­je, frek­ven­ce sig­ná­lu se dí­ky po­hy­bu au­ta bu­de mě­nit.

Ta­to frek­ven­ce bu­de ale ten­to­krát dva­krát po­su­nu­ta. Jed­nak z to­ho dů­vo­du, že se změ­ni­la vzdá­le­nost bě­hem té do­by, než se sig­nál do­stal k ob­jek­tu (zmen­ši­la, či zvět­ši­la), a ta­ké
z to­ho dů­vo­du, že do­šlo k od­ra­zu a pa­prsek mu­sel ura­zit ješ­tě jed­nou tu sa­mou ces­tu zpát­ky k ra­da­ru.

Odvození pro rovnoměrný přímočarý pohyb

Te­dy vyšleme-li sig­nál s frek­ven­cí \(f\)  pro­ti ob­jek­tu (au­tu), kte­ré se k nám při­bli­žu­je po přím­ce,  tak se frek­ven­ce bu­de mě­nit tak­to:

$$ \ f_p = \frac {f_sc + f_sv_s}{c} $$

My chce­me ur­čit rych­lost da­né­ho ob­jek­tu, či­li vy­já­d­ří­me \(v_s\):

$$ \ v_s = \frac {f_pc  – f_sc}{f_s}$$

To­to ale ne­ní ta rych­lost, kte­rou nám na­mě­ří ra­dar. Takhle by to pla­ti­lo, kdy­bych vě­děl frek­ven­ci vy­sla­né­ho pa­prsku, v au­tě zjis­til zís­ka­nou frek­ven­ci a z to­ho tím­to vzor­cem vy­po­če­tl rych­lost.

Pa­prsek se ale ješ­tě mu­sí od­ra­zit a vrá­tit zpát­ky, tak­že mu­sí do­jít k dru­hé­mu po­su­nu. Pro­to­že jsme „obra­li“ pa­prsek o jed­nu ces­tu z po­hle­du ra­da­ru, tím­to vzor­cem nám  vy­šlo \(2v_s\). Vzo­rec jen upra­ví­me tak, že obě dvě stra­ny vy­dě­lí­me dvoj­kou a vy­jde nám:

$$ \ v_s = \frac {f_pc  – f_sc}{2f_s}$$

Ny­ní prak­tic­ký pří­klad. Po­li­cej­ní ra­da­ry vy­u­ží­va­jí vl­ně­ní s vel­mi krát­kou vl­no­vou dél­kou, te­dy ve­li­ce vy­so­kou frek­ven­cí. Rych­lost vl­ně­ní je \(c\) – rych­lost světla.[5]Obecně se do vzor­ce do­sa­zu­je rych­lost ja­ké­ho­ko­liv vl­ně­ní, zde se „ná­ho­dou“ \(c\) rov­ná rych­los­ti svět­la (kte­rá se ji­nak sa­ma o so­bě zna­čí \(c\) ).

Běž­ně se frek­ven­ce vy­sla­né­ho pa­prsku \(f_s = 10\ 600\ 000\ 000\ \mathrm {Hz}\). Uva­žuj­me,  že ra­dar vy­šle pa­prsek pro­ti blí­ží­cí­mu se au­tu a vrá­tí se k ně­mu frek­ven­ce \(f_p = 10\ 600\ 001\ 825.555555 \ \mathrm {Hz}\) (zde bo­hu­žel ne­mů­že­me moc za­o­krouh­lo­vat, pro­to­že po­tře­bu­je­me rych­lost co nej­přes­ně­ji). Do­sa­dí­me do vzor­ce:

$$ \ v_s = \frac {10\ 600\ 001\ 825.555555\cdot 3\cdot 10^8-10\ 600\ 000\ 000\cdot 3\cdot 10^8}{2\cdot10\ 600\ 000\ 000} $$

Když to­to na­pí­še­me do kal­ku­lač­ky, vy­jde nám, že \(v_p = 25.833 \ \mathrm {m/s} = 93 \ \mathrm {km/hod}\)

93 ki­lo­me­t­rů za ho­di­nu se ješ­tě to­le­ru­je (mi­mo obec) a po­li­cajt to ne­bu­de dá­le ře­šit.

V pří­pa­dě, že ob­jekt (au­to) se vzda­lu­je od ra­da­ru, frek­ven­ce se bu­de sni­žo­vat, tak­že v na­šem vzor­ci by nám vy­chá­ze­lo \(-v_s\), tak­že jen vy­dě­lí­me obě stra­ny mi­nus jed­nič­kou a vy­jde:

$$ \ v_s = \frac {f_sc  – f_pc}{2f_s}$$

Oba ty­to tak­to pla­tí jen teh­dy, když se ode mě au­to po­hy­bu­je pří­mo po přím­ce, příš­tě už se ko­neč­ně vrh­ne­me na již dří­ve sli­bo­va­ný vzo­rec, kdy se zdroj (ne­bo po­zo­ro­va­tel) po­hy­bu­je po růz­ných křiv­kách. Hez­ký den! 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Dále už jen DJ.
2. Kvůli šu­mu z oko­lí a kvů­li vy­so­ké ne­přes­nos­ti mě­ře­ní frek­ven­ce zvu­ku na vět­ší dál­ku.
3. Jinak bychom to au­to ani ne­vi­dě­li.
4. Ten­to vzo­rec nám v pod­sta­tě ří­ká, že se zvy­šu­jí­cí se rych­los­tí za kon­stant­ní vl­no­vé dél­ky se frek­ven­ce zvy­šu­je a při zvy­šu­jí­cí se vl­no­vé dél­ky za kon­stant­ní rych­los­ti se frek­ven­ce zmen­šu­je.
5. Obecně se do vzor­ce do­sa­zu­je rych­lost ja­ké­ho­ko­liv vl­ně­ní, zde se „ná­ho­dou“ \(c\) rov­ná rych­los­ti svět­la (kte­rá se ji­nak sa­ma o so­bě zna­čí \(c\) ).

Dopplerův jev

V tom­to krát­kém člán­ku od­vo­dí­me rov­ni­ci do­p­ple­ro­va je­vu, resp. te­dy bu­de­me zkou­mat změ­nu vl­no­vé dél­ky (a frek­ven­ce) zvu­ko­vé­ho či obec­né­ho sig­ná­lu v zá­vis­los­ti na po­hy­bu po­slu­cha­če a zdro­je sig­ná­lu.

Ur­či­tě jste s pro­je­vy Do­p­ple­ro­va jevu[1]dále jen DJ em­pi­ric­ky se­zná­me­ni; je­dou­cí vo­zi­dlo, vlak, sa­nit­ka, po­li­cis­té — po­kud se při­bli­žu­jí, je­jich zvu­ko­vý pro­jev „zní vý­še“, než po­kud je­dou smě­rem „od vás“. Pojď­me se ny­ní lehce po­dí­vat na zá­vis­los­ti těch­to je­vů, z če­ho ply­nou a ja­ké jsou vlast­no­si DJ.

Základní vzorečky, ze kterých vyjdeme:

Pev­ně vě­řím, že ná­sle­du­jí­cí vzta­hy jsou pou­hým opa­ko­vá­ním, nicmé­ně pro jis­to­tu je uve­du:

  • Zá­vis­lost dráhy \(s\), rych­los­ti \(v\) a ča­su \(t\):
    $$\begin{array}{}s & = & v\cdot t\\ v & = & \frac{s}{t}\\ t & = & \frac{s}{v}\end{array}$$
  • Zá­vis­lost frek­ven­ce \(f\), rych­los­ti \(v\) a vl­no­vé dél­ky \(\lambda\):
    $$\begin{array}{}\lambda & = & v\cdot \frac{1}{f} \\ f & = & v \cdot \frac{1}{\lambda}\end{array}$$
  • Zá­vis­lost frek­ven­ce \(f\) a do­by kmi­tu \(T\):
    $$f = \frac{1}{T}$$

Odvození pro lineární pohyb

Abychom od­vo­ze­ní správ­ně po­cho­pi­li, mu­sí­me jít „od nej­jed­no­duš­ší­ho“ pří­pa­du a po­stup­ně při­dá­vat dal­ší je­vy. Tak­to je po­stup­ně bu­de­me na­ba­lo­vat, až to­mu bu­de­me vlast­ně ro­zu­mět ce­lé­mu 🙂 Tak­že hu­rá do to­ho!

Stacionární posluchač, pohyblivý zdroj zvuku

Za­čně­me tím nej­jed­no­duš­ším. Eli­mi­nu­je­me všech­ny mož­né pří­pa­dy do je­di­né­ho — kdy se po ose \(x\) po­hy­bu­je ně­ja­ký zdroj sig­ná­lu rych­los­tí \(v_s\), my ja­ko po­slu­cha­či sto­jí­me na kon­stant­ním mís­tě \(x_p\). Bu­de­me zkou­mat vlast­nos­ti zvu­ko­vé­ho pro­je­vu, když se náš před­mět bu­de při­bli­žo­vat a po­slé­ze od­da­lo­vat.

Ja­kou rych­los­tí se ší­ří zvuk? Na­zvě­me tu­to rych­lost \(c\) — stej­ně, ja­ko rych­lost ší­ře­ní svět­la ve va­kuu. Ny­ní však ta­to kon­stan­ta zna­me­ná rych­lost ší­ře­ní zvu­ku ve vzdu­chu (či tam, kde jsme ja­ko po­slu­cha­či). Dá­le ví­me, že zvu­ko­vý zdroj vy­dá­vá zvuk o kon­stant­ní vl­no­vé dél­ce \(\lambda\). Co to vlast­ně \(\lambda\) je? Vl­no­vá dél­ka ne­ní oprav­du nic ji­né­ho než „div­ná dél­ka“ — dél­ka, kte­rá vy­ja­dřu­je vzdá­le­nost me­zi dvě­ma na se­be zob­ra­zi­tel­ný­mi bo­dy z da­né křiv­ky, kte­rá vlast­nost vl­no­vé dél­ky má. Např. u kla­sic­ké „si­nu­sov­ky“ mů­že­me po­čí­tat vl­no­vou dél­ku ja­ko vzdá­le­nost me­zi dvě­ma „ko­peč­ky“ (am­pli­tuda­mi).

Pro před­sta­vu — má­me např. zvuk o frek­ven­ci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a rych­lost ší­ře­ní zvu­ku ve vzdu­chu je zhru­ba \(340\ m\cdot s^{-1}\). Z to­ho snad­no vy­po­čí­tá­me vl­no­vou dél­ku:

$$\lambda = c \cdot \frac{1}{f} = 340 \cdot \frac{1}{1000} = 34\ \mathrm{cm}$$

Ny­ní si však uvě­do­m­me, co se sta­ne bě­hem „jed­né“ ta­ko­vé vl­no­vé dél­ky. Při po­hyb­li­vém zdro­ji zvu­ku se me­zi­tím zdroj po­su­ne o ur­či­tou vzdá­le­nost, na­zvě­me ji ny­ní tře­ba \(x_d\). Jak vel­ká bu­de ta­to vzdá­le­nost?

Ví­me, že jed­na vl­na tr­vá \(T = \frac{1}{f}\) a dá­le ví­me, že \(s = v \cdot t\), v na­šem pří­pa­dě te­dy \(s = v_s \cdot T\). Stej­ně tak mů­že­me psát „pro frek­ven­ce“, že po­kud \(f = \frac{c}{\lambda_s}\), tak že \(T=\frac{1}{T_s} = \frac{\lambda_s}{c}\).

Po­kud te­dy \(x_d = v_s \cdot T_s\), po­tom \(x_d = v_s \frac{\lambda_s}{c}\). In­dex „s“ zna­čí, že po­čí­tá­me s pro­měn­ný­mi, kte­ré po­pi­su­jí „zdroj sig­ná­lu“. Jen pro pře­hled­nost, aby byl po­řá­dek v pro­měn­ných.

Po­kud se te­dy zdroj sig­ná­lu při­bli­žu­je, vl­no­vá dél­ka se bu­de zkra­co­vat, kon­krét­ně:

$$\lambda_{p} = \lambda_s – x_d = \lambda_s – v_s\frac{\lambda_s}{c}$$

Mů­že­me te­dy vy­já­d­řit \(\lambda_p\):

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) $$

Pří­pad­ně pro frek­ven­ce:

$$ f_p = \frac{c}{\lambda_p} = \frac{c}{\lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c}\right)}$$

Ny­ní te­dy prak­tic­ký pří­klad: Před­stav­me si, že má­me vý­še zmí­ně­nou frek­ven­ci \(1000\ \mathrm{Hz}\) a zdroj se bu­de při­bli­žo­vat rych­los­tí \(10\ \mathrm{ms^{-1}}\), po­tom:

$$ \lambda_p = \lambda_s \left( 1 – \frac{v_s}{c} \right) = 0.34 \left( 1 – \frac{10}{340} \right) = 0.33\ \mathrm{m} = 33\ \mathrm{cm}$$

Vyjádříme-li to te­dy frek­venč­ně, frek­ven­ce při­bli­žu­jí­cí­ho se zvu­ku bu­de:

$$ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{340}{0.33} = 1030\ \mathrm{Hz}$$

Jak ta­ko­vé dva zvu­ky zní za se­bou si mů­že­te po­slech­nout zde:

Pří­pad­ně si mů­že­te stáh­nout zvuk zde: 1000Hzvs1030Hz

Kon­t­rol­ní vý­po­čet do­sta­ne­me tak, že po­kud do­sa­dí­me za \(v_s=c\), vi­dí­me, že zá­vor­ka se pak vy­nu­lu­je a vy­jde „nu­lo­vá vl­no­vá dél­ka“ (te­dy ne­ko­neč­ná frek­ven­ce). Sa­mo­zřej­mě v re­á­lu se nic ta­ko­vé­ho ne­sta­ne, ale vi­dí­me, že vzo­rec v ta­ko­vém pří­pa­dě ne­dá­vá smy­sl — a to je správ­ný stav.

Všech­ny ostat­ní pří­pa­dy, te­dy kdy se po­slu­chač po­hy­bu­je či kdy se po­hy­bu­jí sou­čas­ně po­slu­chač i zdroj, se da­jí pře­vést na ten­to mo­del. Ostat­ní zá­vis­los­ti si tak mů­že­te zku­sit od­vo­dit sa­mi.

V příš­tím člán­ku se po­dí­vá­me na od­vo­ze­ní těch­to frek­ven­cí pro obec­ný po­hyb, tzn. ta­ko­vý, kdy se zdroj sig­ná­lu ne­při­bli­žu­je pří­mo k vám, ale bu­de vás mí­jet. Vy­tvo­ří­me te­dy funk­ci frek­ven­ce či vl­no­vé dél­ky v zá­vis­los­ti na vzá­jem­né po­lo­ze. Ale to až za­se příš­tě, tak hez­ký den! 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. dále jen DJ