Motor — jak je to s výkonem a momentem?

Na zá­kla­dě dis­ku­se na Fa­ce­boo­ku, kde se ka­ma­rád po­kou­šel po­cho­pit z mých krát­kých pří­spěv­ků, jak sou­vi­sí vý­kon a krou­ti­vý mo­ment, jsem se ra­dě­ji roz­ho­dl se­psat myš­len­ky do pl­no­hod­not­né­ho (byť krát­ké­ho) člán­ku. Zce­la vě­řím, že totiž ten­to ka­ma­rád ne­bu­de je­di­ný, kdo má v uve­de­ných po­jmech ja­kousi „ml­hu“ a po­tře­bo­val by je osvětlit.

Výkon, kroutivý moment a jejich význam

Všech­ny mo­to­ry má­me na svě­tě pro­to, aby ko­na­ly ně­ja­kou prá­ci. Prá­ce, uvá­dě­ná v Jou­lech, je ve­li­či­na, kte­rá nám po­pi­su­je do­slo­va „ko­lik je to­ho tře­ba udě­lat“. Kupří­kla­du po­kud bu­de­me táh­nout 500kilový kla­vír do 4. pa­t­ra, te­dy zhru­ba do 20 me­t­rů výš­ky, bu­de­me po­tře­bo­vat při­bliž­ně (za­o­krouh­luj­me pro­sím) práci:

$$W=F s = m g s = 500 \cdot 10 \cdot 20 = 100\ \mathrm{kJ}$$

(ke stej­né­mu vý­sled­ku bychom do­šli, kdy­bychom po­čí­ta­li přes po­ten­ci­ál­ní ener­gii, kde \(W = mgh\), což je vlast­ně to­též v na­šem případě 😉 )

Abychom te­dy do­sta­li ta­ko­vý kla­vír do ta­ko­vé­ho 4. pa­t­ra, po­tře­bu­je­me ně­kde se­hnat prá­ci \(100\ \mathrm{kJ}\). Buď ji vy­vi­ne­me ruč­ně, klad­ka­mi či po­u­ži­je­me ně­ja­ký mo­tor. Jen­že sa­mo­zřej­mě in­tu­i­tiv­ně, po­kud bu­de­me mít mo­tor, kte­rý bu­de mít „vět­ší pá­ru“, vy­táh­ne nám tam kla­vír mno­hem rych­le­ji než ně­ja­ký sla­bouč­ký mo­tůrek. Množ­ství to­ho, ja­kou „to má pá­ru“ se te­dy ří­ká vý­kon a jed­ná se vel­mi jed­no­du­še po schop­nost pro­vést ně­ja­kou prá­ci za prů­měr­ný čas. Po­kud bychom te­dy chtě­li náš kla­vír vy­táh­nout za 10 vte­řin, bu­de­me po­tře­bo­vat výkon:

$$ P = \frac{W}{t} = \frac{m g s}{t} = \frac{500 \cdot 10 \cdot 20}{10} = 10\ \mathrm{kW}$$

Bu­de­me te­dy po­tře­bo­va mo­tor s vý­ko­nem ale­spoň \(10\ \mathrm{kW}\). Sa­mo­zřej­mě ne­bu­de­me uva­žo­vat, že mo­to­ry ne­ma­jí 100% účin­nost a tak po­dob­ně, spí­še jde o prin­cip ja­ko takový.

Nicmé­ně — je vám asi jas­né, že úpl­ně „ne­fun­gu­je“ jed­no­du­chá zkrat­ka, že po­kud vez­mu tře­ba mo­to­rek z ostři­ko­va­čů a bu­du s ním zve­dat ta­ko­vý kla­vír, bu­de mi to tr­vat tře­ba 2 ho­di­ny a zved­nu ho.  Sa­mo­zřej­mě by to moh­lo fun­go­vat, ale je po­tře­ba, aby — byť po­ma­lý — mo­tor uměl vy­ko­ná­vat ně­ja­kou sí­lu, kte­rá by by­la vět­ší, než sí­la pů­so­bí­cí gra­vi­ta­cí (te­dy aby kla­vír ne­kle­sal, ale stoupal).

Mu­sí být te­dy scho­pen vy­vi­nout ur­či­tý mo­ment, kte­rým by na da­né tě­le­so pů­so­bil (byť po­ma­lu). Jed­ná se o to­či­vý stroj (mo­tor se otá­čí a dě­lá po­řád do­ko­la to sa­mé — za­bí­rá), ve­li­či­na, kte­rá nám po­pi­su­je to­to si­lo­vé pů­so­be­ní se na­zý­vá krou­ti­vý moment.

Po­kud de­fi­nu­je­me dráhu, kte­rou mu­sí ob­vod to­či­vé­ho stro­je (je­ho ak­tiv­ní čás­ti) vy­ko­nat, aby udě­lal jed­nu otáč­ku, je to kla­sic­ký obvod:

$$o=\frac{2\pi o}{60}$$

Še­de­sá­ti dě­lí­me pro­to, že otáč­ky se uvá­dí v „rpm“, te­dy „otáč­kách za mi­nu­tu“. Po­kud má­te otáč­ky v otáč­kách za sekun­du, po­té sa­mo­zřej­mě ne­dě­lí­te 🙂 Prá­ce, jak ví­me, je si­lo­vé pů­so­be­ní po ně­ja­ké drá­ze, tedy:

$$ W = F s$$

No a po­kud ví­me, že drá­ha je rov­na obvodu:

$$ W = F s = F \frac{2 \pi r}{60}$$

Což je náš vztah pro vý­kon. Mů­že­me udě­lat zkrat­ku, že:

$$M = F r$$

A te­dy

$$ W = \frac{2 \pi M o}{60}$$

Da­ný vý­kon mo­to­ru te­dy pří­mo sou­vi­sí s krou­ti­vým mo­men­tem, kte­rým mo­tor na da­nou „pře­káž­ku“ působí.

Praktické otázky

Vi­dí­me, že vý­kon mo­to­ru je pří­mo zá­vis­lý na otáč­kách mo­to­ru. Zkus­me si pro­to za­ex­pe­ri­men­to­vat s růz­ný­mi prů­běhy krou­ti­vé­ho mo­men­tu a výkonu.

Příklad 1) Plochý „kroutivý moment“:

Prů­běh krou­ti­vé­ho mo­men­tu te­dy bu­de vy­pa­dat např. takto:

Vi­dí­me, že mo­tor, kte­rý by měl tak­to rov­ný prů­běh, by do­sa­ho­val nej­vět­ších vý­ko­nů při nej­vyš­ších otáč­kách, při­čemž by měl stá­le kon­stant­ní krou­ti­vý mo­ment, v na­šem pří­pa­dě \(100\ \mathrm{Nm}\). Osa vý­ko­nu je ve Wat­tech, te­dy vi­dí­me, že ko­lem 10 000 otá­ček by měl mo­tor vý­kon přes 100 kW, což od­po­ví­dá zhru­ba 135 koň­ským silám.

Žád­ný mo­tor však ne­má tak­to krás­ný prů­běh krou­ťá­ku, mož­ná tak v Tes­le se při­bli­žu­jí, ale ji­nak se jed­ná vět­ši­nou o ně­ja­kou křiv­ku. V tech­nic­kých spe­ci­fi­ka­cích mo­to­ru vět­ši­nou na­jde­te, že má­te „ma­xi­mál­ní krou­ťák“ tře­ba 110 Nm při 4500 otáč­kách. To zna­me­ná, že všu­de jin­de je to „mé­ně“. Zkus­me si tu­to si­tu­a­ci opět na­črt­nout grafem:

Příklad 2) Motor s reálným krouťákem

 

Zde vi­dí­me za­jí­ma­vý jev — za­tím­co krou­ti­vý mo­ment má svůj vr­chol zhru­ba v oněch 5000 otáč­kách, vý­kon má svůj vr­chol sko­ro až v 7000. Ty­to cha­rak­te­ris­ti­ky jsou prá­vě vel­mi dů­le­ži­té — čím má­te vyš­ší krou­ťák ve vyš­ších otáč­kách, tím má­te i vět­ší výkon.

Dou­fám, že je to vše jas­né, pří­pad­ně se ozvě­te do ko­men­tů 😉 A bu­du rád za sdílení! 😉