Archiv pro rubriku: Nezařazené

Měření rychlosti radarem a Dopplerův jev

Nej­spí­še jste už ně­kdy vi­dě­li ně­ko­ho jet rych­los­tí ohro­žu­jí­cí bez­pe­čí na sil­ni­ci. Po­li­cie se sna­ží po­čet ta­ko­vých­to „bláznů“ re­du­ko­vat tím, že ra­da­ry mě­ří rych­lost aut, kte­ré po­slé­ze po­ku­tu­je. Ale jak ta­ko­vé mě­ře­ní pro­bí­há?

V člán­ku o Do­p­ple­ro­vě je­vu jste se do­čet­li, co je to Do­p­ple­rův jev[1]Dále už jen DJ.. Zkrá­ce­ně, co to je – ur­či­tě jste si všimli to­ho, že když ko­lem vás pro­jíž­dí vlak, tak při při­bli­žo­vá­ní se k vám se frek­ven­ce „je­ho zvu­ku“ zvy­šu­je (či­li jde stá­le o vyš­ší a vyš­ší tón, ja­ko když hra­je­te na kla­ví­ru na klá­ve­sy ví­ce a ví­ce vpra­vo) a hned jak se od vás za­čne vzda­lo­vat, frek­ven­ce ná­h­le po­kles­ne (či­li stá­le niž­ší a niž­ší tón, ja­ko když hra­je­te na kla­ví­ru na klá­ve­sy ví­ce a ví­ce vle­vo).

Ale jak ví­me, u aut ne­ní ten­to zvuk tak zna­tel­ný při niž­ších rych­los­tech a hlav­ně by se to tím­to způ­so­bem dost špat­ně měřilo.[2]Kvůli šu­mu z oko­lí a kvů­li vy­so­ké ne­přes­nos­ti mě­ře­ní frek­ven­ce zvu­ku na vět­ší dál­ku. Přes­to je po­li­cie schop­na rych­lost ra­da­rem změ­řit.

Ja­ké ji­né vl­ně­ní ješ­tě vy­dá­vá au­to? Vy­za­řu­je svět­lo v in­fra­čer­ve­né ob­las­ti (če­hož vy­u­ží­vá ter­mo­vi­ze, např. k vi­dě­ní ob­jek­tů ve tmě) a ve vi­di­tel­né ob­las­ti světla.[3]Jinak bychom to au­to ani ne­vi­dě­li. Ale my ni­kdy ne­ví­me, ja­kou bar­vu má au­to „do­o­prav­dy“ (v kli­du vů­či nám), tak­že ne­mů­že­me vy­po­čí­tat roz­díl frek­ven­cí, tu­díž ani rych­lost.

Ale co když my sa­mi bu­de­me vy­sí­lat pa­prsky k po­hy­bu­jí­cím se ob­jek­tům? Vyšleme-li sig­nál s ur­či­tou frek­ven­cí (a te­dy i vl­no­vou dél­kou pod­le vzor­ce  \(f = \frac{c}{\lambda}\) )[4]Ten­to vzo­rec nám v pod­sta­tě ří­ká, že se zvy­šu­jí­cí se rych­los­tí za kon­stant­ní vl­no­vé dél­ky se frek­ven­ce zvy­šu­je a při zvy­šu­jí­cí se vl­no­vé dél­ky za kon­stant­ní rych­los­ti se frek­ven­ce zmen­šu­je. k ob­jek­tu, kte­rý se vů­či nám po­hy­bu­je, frek­ven­ce sig­ná­lu se dí­ky po­hy­bu au­ta bu­de mě­nit.

Ta­to frek­ven­ce bu­de ale ten­to­krát dva­krát po­su­nu­ta. Jed­nak z to­ho dů­vo­du, že se změ­ni­la vzdá­le­nost bě­hem té do­by, než se sig­nál do­stal k ob­jek­tu (zmen­ši­la, či zvět­ši­la), a ta­ké
z to­ho dů­vo­du, že do­šlo k od­ra­zu a pa­prsek mu­sel ura­zit ješ­tě jed­nou tu sa­mou ces­tu zpát­ky k ra­da­ru.

Odvození pro rovnoměrný přímočarý pohyb

Te­dy vyšleme-li sig­nál s frek­ven­cí \(f\)  pro­ti ob­jek­tu (au­tu), kte­ré se k nám při­bli­žu­je po přím­ce,  tak se frek­ven­ce bu­de mě­nit tak­to:

$$ \ f_p = \frac {f_sc + f_sv_s}{c} $$

My chce­me ur­čit rych­lost da­né­ho ob­jek­tu, či­li vy­já­d­ří­me \(v_s\):

$$ \ v_s = \frac {f_pc  – f_sc}{f_s}$$

To­to ale ne­ní ta rych­lost, kte­rou nám na­mě­ří ra­dar. Takhle by to pla­ti­lo, kdy­bych vě­děl frek­ven­ci vy­sla­né­ho pa­prsku, v au­tě zjis­til zís­ka­nou frek­ven­ci a z to­ho tím­to vzor­cem vy­po­če­tl rych­lost.

Pa­prsek se ale ješ­tě mu­sí od­ra­zit a vrá­tit zpát­ky, tak­že mu­sí do­jít k dru­hé­mu po­su­nu. Pro­to­že jsme „obra­li“ pa­prsek o jed­nu ces­tu z po­hle­du ra­da­ru, tím­to vzor­cem nám  vy­šlo \(2v_s\). Vzo­rec jen upra­ví­me tak, že obě dvě stra­ny vy­dě­lí­me dvoj­kou a vy­jde nám:

$$ \ v_s = \frac {f_pc  – f_sc}{2f_s}$$

Ny­ní prak­tic­ký pří­klad. Po­li­cej­ní ra­da­ry vy­u­ží­va­jí vl­ně­ní s vel­mi krát­kou vl­no­vou dél­kou, te­dy ve­li­ce vy­so­kou frek­ven­cí. Rych­lost vl­ně­ní je \(c\) – rych­lost světla.[5]Obecně se do vzor­ce do­sa­zu­je rych­lost ja­ké­ho­ko­liv vl­ně­ní, zde se „ná­ho­dou“ \(c\) rov­ná rych­los­ti svět­la (kte­rá se ji­nak sa­ma o so­bě zna­čí \(c\) ).

Běž­ně se frek­ven­ce vy­sla­né­ho pa­prsku \(f_s = 10\ 600\ 000\ 000\ \mathrm {Hz}\). Uva­žuj­me,  že ra­dar vy­šle pa­prsek pro­ti blí­ží­cí­mu se au­tu a vrá­tí se k ně­mu frek­ven­ce \(f_p = 10\ 600\ 001\ 825.555555 \ \mathrm {Hz}\) (zde bo­hu­žel ne­mů­že­me moc za­o­krouh­lo­vat, pro­to­že po­tře­bu­je­me rych­lost co nej­přes­ně­ji). Do­sa­dí­me do vzor­ce:

$$ \ v_s = \frac {10\ 600\ 001\ 825.555555\cdot 3\cdot 10^8-10\ 600\ 000\ 000\cdot 3\cdot 10^8}{2\cdot10\ 600\ 000\ 000} $$

Když to­to na­pí­še­me do kal­ku­lač­ky, vy­jde nám, že \(v_p = 25.833 \ \mathrm {m/s} = 93 \ \mathrm {km/hod}\)

93 ki­lo­me­t­rů za ho­di­nu se ješ­tě to­le­ru­je (mi­mo obec) a po­li­cajt to ne­bu­de dá­le ře­šit.

V pří­pa­dě, že ob­jekt (au­to) se vzda­lu­je od ra­da­ru, frek­ven­ce se bu­de sni­žo­vat, tak­že v na­šem vzor­ci by nám vy­chá­ze­lo \(-v_s\), tak­že jen vy­dě­lí­me obě stra­ny mi­nus jed­nič­kou a vy­jde:

$$ \ v_s = \frac {f_sc  – f_pc}{2f_s}$$

Oba ty­to tak­to pla­tí jen teh­dy, když se ode mě au­to po­hy­bu­je pří­mo po přím­ce, příš­tě už se ko­neč­ně vrh­ne­me na již dří­ve sli­bo­va­ný vzo­rec, kdy se zdroj (ne­bo po­zo­ro­va­tel) po­hy­bu­je po růz­ných křiv­kách. Hez­ký den! 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Dále už jen DJ.
2. Kvůli šu­mu z oko­lí a kvů­li vy­so­ké ne­přes­nos­ti mě­ře­ní frek­ven­ce zvu­ku na vět­ší dál­ku.
3. Jinak bychom to au­to ani ne­vi­dě­li.
4. Ten­to vzo­rec nám v pod­sta­tě ří­ká, že se zvy­šu­jí­cí se rych­los­tí za kon­stant­ní vl­no­vé dél­ky se frek­ven­ce zvy­šu­je a při zvy­šu­jí­cí se vl­no­vé dél­ky za kon­stant­ní rych­los­ti se frek­ven­ce zmen­šu­je.
5. Obecně se do vzor­ce do­sa­zu­je rych­lost ja­ké­ho­ko­liv vl­ně­ní, zde se „ná­ho­dou“ \(c\) rov­ná rych­los­ti svět­la (kte­rá se ji­nak sa­ma o so­bě zna­čí \(c\) ).

Příklad pro Jarmilu

Pří­klad s go­ni­o­me­t­ric­ký­mi funk­ce­mi pro Jar­mi­lu 🙂 Ane­bo jak do­stat ze \(\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) ono \(x\)? 🙂

Co nám tu­to za­dá­ní vlast­ně ří­ká? K ře­še­ní má­me už veš­ke­ré pod­kla­dy; ví­me, jak vy­pa­dá graf funk­ce \(\sin x\), jak však vy­pa­dá graf funk­ce \(\sin 2x\)?

Vý­cho­zí funk­ce \(y(x)=\sin x\) te­dy vy­pa­dá tak­to:

sinus_x

Funk­ce \(y(x) = \sin 2x\) vy­pa­dá úpl­ně stej­ně, ako­rát má dva­krát vět­ší frek­ven­ci, což zna­me­ná to­též, ja­ko když řek­nu, že má dva­krát men­ší pe­ri­o­du. Křiv­ka tak ne­ces­tu­je od \(0\) do \(2\pi\), ale jen do \(\pi\).

Vy­pa­dá to te­dy ně­jak ná­sle­dov­ně:

sinus_2x

V ob­ráz­ku jsem rov­nou fi­a­lo­vě na­zna­čil čá­ru od­po­ví­da­jí­cí hod­no­tě \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). A po­kud na­pí­še­me rov­ni­ci ve tva­ru, kte­rý uvá­dím vý­še, te­dy \(\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), na co se ta­ko­vou rov­ni­cí vlast­ně ptá­me?

Cí­lem je ur­čit ta­ko­vá \(x\), kte­rá ma­jí spo­leč­né \(\sin 2x\) a ono čís­lo na pra­vé stra­ně rov­nít­ka. Co o ta­ko­vých \(x\) mů­že­me ří­ci?

  • Na na­šem roz­sa­hu \(\lt 0 ; \pi \gt\) bu­dou dvě (viz ob­rá­zek)
  • Ví­me, že bu­dou v dru­hé po­lo­vi­ně křiv­ky (te­dy me­zi \(\frac{\pi}{2}\) a \(\pi\)), či­li „stup­ňo­vě“ me­zi 90 a 180 (ni­ko­liv 180 a 360, pro­to­že se jed­ná o dva­krát „rych­lej­ší“ křiv­ku)

Správ­ně si na­sta­ví­me kal­ku­lač­ku (na vý­po­čty ve stup­ních tře­ba) a za­dá­me „ar­kus si­nus“ pro hod­no­tu \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Ale po­zor! Kal­ku­lač­ka umí vy­ho­dit pou­ze jed­nu hod­no­tu, či­li mu­sí­me správ­ně uva­žo­vat! V mém pří­pa­dě vy­ho­di­la \(-60\). Vez­mě­me te­dy těch \(180\) stup­ňů, kte­ré jsou na kon­ci a odčtě­me \(60\). Vy­jde te­dy \(120\). A co ta dru­há hod­no­ta?

Jed­no­du­še — v na­šem pří­pa­dě vi­dí­me, že se jed­ná o sy­me­t­ric­ké ře­še­ní pod­le nej­hlub­ší­ho bo­du si­nu­sov­ky. A jak da­le­ko je 120 od 90? Stej­nou vzdá­le­nost na­jde­me i od 180 a má­me vy­hrá­no 😉

V ma­šem pří­pa­dě je to te­dy \(30\) stup­ňů, či­li \(180-30=150\) — a to je na­še dru­hé ře­še­ní.

Ale tam roz­hod­ně ne­kon­čí­me! Proč? Jak ví­me, křiv­ka jde „do ne­ko­neč­na“ — pros­tě dál a dál. Ne­e­xis­tu­je tak pou­ze jed­no či dvě ře­še­ní, exis­tu­je jich ne­ko­neč­ně mno­ho. Ta­to ře­še­ní jsou si však po­dob­ná — stej­ně ja­ko všech­ny si­nu­sov­ky vy­pa­da­jí „stej­ně“. Mu­sí­me te­dy na­psat ře­še­ní „vel­mi obec­ně“, ale aby by­lo jed­no­znač­ně de­fi­no­vá­no.

Ví­me, že křiv­ka se opa­ku­je kaž­dé \(\pi\), či­li bychom moh­li na­psat, že stej­ně, ja­ko exis­tu­je ře­še­ní „120“, tak exis­tu­je i \(120+\pi\). No­jo, jen­že ono pla­tí i ře­še­ní \(120+2\pi\) a dal­ší. Pro­to udě­lá­me trik — ře­še­ní na­pí­še­me ve tva­ru:

$$x_1 = 120 + k\pi; k\in \lt 1..\mathbb{N}\gt$$

$$x_2 = 150 + k\pi; k\in \lt 1..\mathbb{N}\gt$$

A to je ce­lé, tá­dy­dá­dy­dá 😉