Nekonečná rychlost pohybu světla při použití rotačního laseru

Kamarád (Pavel Kachlíř) se mě zeptal, jestli je možné, že zobrazení laseru na kruhové podložce může být rychlejší, než \(c\), pokud budu laserem dostatečně rychle hýbat. Použil k tomu následujícího situačního obrázku:

Rychlá odpověď — ano, průmět laseru se může pohybovat rychlostí \(> c\). Nicméně nyní proč:

Uvažujme samzořejmě (pro zjednodušení), že rychlost šíření laseru je právě \(c\), tedy rychlost světla. Samozřejmě si dokážeme představit, že z dotyčného situačního obrázku se intuitivně dokážeme dostat do stavu, kdy aniž by se laser pohyboval rychlostí větší než \(c\), jeho obrázek se takovou rychlostí pohybovat může.

Celý problém tkví v tom, co nám říká relativita[1]STR — speciální teorie relativity — stručně řečeno, že žádná informace, částice či předmět obecně se nemůže pohybovat rychlostí, která by dosáhla rychlosti \(c\), tedy že jakákoliv rychlost pohybu v prostoru musí být \(v < c\). Rychlost \(c\) je tedy nedosažitelná.

Překresleme si trošku sitauční plánek, využijme úhlové rychlosti a rychlosti pohybu:

Začněme tedy jednoduše — mějme takovouto situaci, kdy ve středu kruhu máme laser, který se otáčí nějakou rychlostí \(\omega\):

laser výchozí stav

Další důležitou informací pro nás bude poloměr kruhu, v našem případě tedy \(r\):laser poloměr

A nyní se ptáme: Jak závisí doba přenosu laseru ze středu soustavy na okraj? Odpověď přece známe — víme, že:

$$s = v t$$

čili

$$t_{\phi} = \frac{s}{v} = \frac{r}{c}$$

Protože se jedná o kruh, tato doba bude stále konstantní, ať už bude laser natočený kamkoliv.

Nyní si napišme rovnici:

$$\phi =  A \sin \left(\omega t + \phi_0\right)$$

Kde \(\omega t\) je úhlová rychlost pohybu, \(A\) je amplituda, tedy \(r\) a \(\phi_0\) je nějaký fázový posuv, který v našem případě bude záviset na \(t_{\phi}\), které jsme si vyjádřili výše.

Jak ale závisí? Víme, že doba, kterou signál (paprsek) potřebuje na uražení vzdálenosti laser–obvod bude \(t_\phi\), čili než tam signál doletí, laser se otočí o \(\omega t_\phi\). Čímž máme jasně daný fázový posuv a můžeme psát:

$$ \phi = r \sin \left(\omega t + \omega \frac{r}{c}\right)$$

Musíme však uvažovat, že signál se bude zpožďovat a ne předbíhat, musíme tedy psát:

$$ \phi = r \sin \left(\omega t – \omega \frac{r}{c}\right) $$

Pokud si za \(\omega\) nyní dosadíme takovou frekvenci, kdy by se změna \(\frac{\phi}{t}\) měla odehrávat rychleji, než \(c\), nic se nestane 😉 Bude docházet samozřejmě k fázovému zpoždění, ale samotné zobrazení (projekce) světla laseru se může zdánlivě pohybovat \(v>c\).

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. STR — speciální teorie relativity