Ne­ko­neč­ná rych­lost po­hy­bu svět­la při po­u­ži­tí ro­tač­ní­ho la­se­ru

Ka­ma­rád (Pa­vel Kach­líř) se mě ze­ptal, jest­li je mož­né, že zob­ra­ze­ní la­se­ru na kru­ho­vé pod­lož­ce mů­že být rych­lej­ší, než \(c\), po­kud bu­du la­se­rem do­sta­teč­ně rych­le hý­bat. Po­u­žil k to­mu ná­sle­du­jí­cí­ho si­tu­ač­ní­ho ob­ráz­ku:

Rych­lá od­po­věď – ano, prů­mět la­se­ru se mů­že po­hy­bo­vat rych­los­tí \(> c\). Nicmé­ně ny­ní proč:

Uva­žuj­me sam­zo­řejmě (pro zjed­no­du­še­ní), že rych­lost ší­ře­ní la­se­ru je prá­vě \(c\), te­dy rych­lost svět­la. Sa­mo­zřej­mě si do­ká­že­me před­sta­vit, že z do­tyč­né­ho si­tu­ač­ní­ho ob­ráz­ku se in­tu­i­tiv­ně do­ká­že­me do­stat do sta­vu, kdy aniž by se la­ser po­hy­bo­val rych­los­tí vět­ší než \(c\), je­ho ob­rá­zek se ta­ko­vou rych­los­tí po­hy­bo­vat mů­že.

Ce­lý pro­blém tkví v tom, co nám ří­ká relativita[1]STR – spe­ci­ál­ní te­o­rie re­la­ti­vi­ty – struč­ně ře­če­no, že žád­ná in­for­ma­ce, čás­ti­ce či před­mět obec­ně se ne­mů­že po­hy­bo­vat rych­los­tí, kte­rá by do­sáh­la rych­los­ti \(c\), te­dy že ja­ká­ko­liv rych­lost po­hy­bu v pro­sto­ru mu­sí být \(v < c\). Rych­lost \(c\) je te­dy ne­do­sa­ži­tel­ná.

Pře­kres­le­me si troš­ku si­ta­uč­ní plá­nek, vy­u­žijme úh­lo­vé rych­los­ti a rych­los­ti po­hy­bu:

Za­čně­me te­dy jed­no­du­še – měj­me ta­ko­vou­to si­tu­a­ci, kdy ve stře­du kru­hu má­me la­ser, kte­rý se otá­čí ně­ja­kou rych­los­tí \(\ome­ga\):

laser výchozí stav

Dal­ší dů­le­ži­tou in­for­ma­cí pro nás bu­de po­lo­měr kru­hu, v na­šem pří­pa­dě te­dy \(r\):laser poloměr

A ny­ní se ptá­me: Jak zá­vi­sí do­ba pře­no­su la­se­ru ze stře­du sou­sta­vy na okraj? Od­po­věď pře­ce zná­me – ví­me, že:

$$s = v t$$

či­li

$$t_{\phi} = \frac{s}{v} = \frac{r}{c}$$

Pro­to­že se jed­ná o kruh, ta­to do­ba bu­de stá­le kon­stant­ní, ať už bu­de la­ser na­to­če­ný kam­ko­liv.

Ny­ní si na­piš­me rov­ni­ci:

$$\phi =  A \sin \left(\omega t + \phi_0\right)$$

Kde \(\ome­ga t\) je úh­lo­vá rych­lost po­hy­bu, \(A\) je am­pli­tuda, te­dy \(r\) a \(\phi_0\) je ně­ja­ký fá­zo­vý po­suv, kte­rý v na­šem pří­pa­dě bu­de zá­vi­set na \(t_{\phi}\), kte­ré jsme si vy­já­d­ři­li vý­še.

Jak ale zá­vi­sí? Ví­me, že do­ba, kte­rou sig­nál (pa­prsek) po­tře­bu­je na ura­že­ní vzdá­le­nos­ti laser–obvod bu­de \(t_\phi\), či­li než tam sig­nál do­le­tí, la­ser se oto­čí o \(\ome­ga t_\phi\). Čímž má­me jas­ně da­ný fá­zo­vý po­suv a mů­že­me psát:

$$ \phi = r \sin \left(\omega t + \ome­ga \frac{r}{c}\right)$$

Mu­sí­me však uva­žo­vat, že sig­nál se bu­de zpož­ďo­vat a ne před­bí­hat, mu­sí­me te­dy psát:

$$ \phi = r \sin \left(\omega t – \ome­ga \frac{r}{c}\right) $$

Po­kud si za \(\ome­ga\) ny­ní do­sa­dí­me ta­ko­vou frek­ven­ci, kdy by se změ­na \(\frac{\phi}{t}\) mě­la ode­hrá­vat rych­le­ji, než \(c\), nic se ne­sta­ne 😉 Bu­de do­chá­zet sa­mo­zřej­mě k fá­zo­vé­mu zpož­dě­ní, ale sa­mot­né zob­ra­ze­ní (pro­jek­ce) svět­la la­se­ru se mů­že zdán­li­vě po­hy­bo­vat \(v>c\).

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. STR – spe­ci­ál­ní te­o­rie re­la­ti­vi­ty