Archiv pro rubriku: Teoretické články

Temná energie

Abychom se moh­li po­dí­vat na tem­nou ener­gii, mu­sí­me uvést ale­spoň pár vě­cí na pra­vou mí­ru. Nej­pr­ve — co to vů­bec ta­ko­vá tem­ná ener­gie je a ja­kým způ­so­bem vů­bec ví­me, že ně­co ta­ko­vé­ho s nej­vyš­ší prav­dě­po­dob­nos­tí bu­de exis­to­vat.

Když E. Hubble v ro­ce 1923 roz­ší­řil hra­ni­ce nám zná­mé­ho vesmí­ru a po­tvr­dil (po­zo­ro­vá­ním a mě­ře­ním vzdá­le­nos­tí), že ml­ho­vi­na v An­dro­me­dě ne­ní jen ně­ja­ká dal­ší ml­ho­vi­na, ale ce­lá ga­la­xie, kte­rá je na­víc ně­ko­li­krát vět­ší než na­še Ga­la­xie, nut­ně na­ra­zil na pár po­znat­ků, kte­ré do­slo­va otřásly do­sa­vad­ní vě­dec­kou ko­mu­ni­tou a při­da­ly dal­ší pi­lí­ře po­zná­ní vesmí­ru a te­dy i svě­ta ko­lem nás.

Jed­ním z těch­to pi­lí­řů by­lo i ob­je­ve­ní fak­tu, že vesmír se rozpí­ná. Vši­ml si totiž, že vzdá­le­něj­ší ga­la­xie se od té na­ší vzda­lu­jí rych­le­ji než ty bliž­ší a usou­dil z to­ho, že pro­stor do­slo­va „vzni­ká“ me­zi tě­mi­to ga­la­xi­e­mi .

Z to­ho­to po­zná­ní ply­ne ješ­tě jed­na za­jí­ma­vost — po­kud se vesmír rozpí­ná a budeme-li před­po­klá­dat, že to­mu tak vždy by­lo, zce­la lo­gic­ky mu­sel exis­to­vat bod v ča­so­prosto­ru, kdy vesmír byl ne­ko­neč­ně ma­lý.  K to­mu­to bo­du po­zná­ní se dneš­ní věd­ci a te­o­re­tič­tí fy­zi­ko­vé ne­u­stá­le blí­ží, na zá­kla­dě růz­ných po­zo­ro­vá­ní a mě­ře­ní jsou schop­ni ne­u­stá­le blí­že se při­blí­žit bo­du, kdy byl vesmír pou­ze tzv. sin­gu­la­ri­tou (ane­bo byl do­o­prav­dy? Ně­kte­ří totiž tvr­dí, že se ne­jed­na­lo o pra­vou sin­gu­la­ri­tu, ale pou­ze o vel­mi zhuš­tě­ný vesmír).

Ny­ní se již však vrh­ně­me na sa­mot­né od­vo­ze­ní.

Hubble­o­va kon­stan­ta

Vel­mi čas­to bu­de­me ope­ro­vat s tzv. Hubble­o­vo kon­stan­tou, mu­sí­me te­dy vě­dět, co to je 🙂 Před­stav­me si, že má­me tře­ba ba­ló­nek, na kte­rém má­me na­kres­le­ny tečky[1]jedná se o kla­sic­ký pří­klad s po­pu­lár­ně na­uč­nou me­to­dou, jak uká­zat rozpí­ná­ní vesmí­ru, ale po­u­ži­je­me ji ja­ko zá­klad i ta­dy. Když se ten­to ba­ló­nek bu­de roz­ta­ho­vat (te­dy na­fu­ko­vat) a budeme-li před­po­klá­dat, že ba­ló­nek je z do­ko­na­le elas­tic­ky ho­mo­gen­ní­ho materiálu[2]tedy ta­ko­vé­ho, kte­rý se rozpí­ná všu­de stej­ně, po­tom se všech­ny teč­ky bu­dou od­da­lo­vat na­pros­to stej­ně. Udě­lej­me si „gra­fic­ký“ pří­klad na ně­ko­li­ka ta­ko­vých teč­kách, pro zjed­no­du­še­ní bu­de­me uva­žo­vat pou­ze jed­nu sou­řad­nou osu, ja­ko kdy­bychom teč­ky na­kres­li­li tře­ba na gu­mič­ku, kte­rou bychom roz­ta­ho­va­li (vý­sle­dek by byl sa­mo­zřej­mě stej­ný):

Grafická reprezentace roztahující se gumičky
Gra­fic­ká re­pre­zen­ta­ce roz­ta­hu­jí­cí se gu­mič­ky

Po­kud bychom po­psa­li tak­to gu­mič­ku čís­ly a za­ča­li ji roz­ta­ho­vat, sa­mo­zřej­mě se jed­not­li­vá čís­la a prouž­ky od se­be za­čnou vzda­lo­vat:

Roztahující se gumička
Roz­ta­hu­jí­cí se gu­mič­ka

Ja­kým způ­so­bem mů­že­me ně­co ta­ko­vé­ho vy­já­d­řit ma­te­ma­tic­ky? Jed­no­du­še. Označ­me si, že vzdá­le­nost \(D\) bu­de zá­vis­lá na sou­či­nu sou­řad­nic \(\Delta x\) a vzdá­le­nos­ti me­zi tě­mi­to sou­řad­ni­ce­mi \(a(t)\) [3]ča­so­vá zá­vis­lost vzdá­le­nost me­zi šou­řad­ni­ce­mi je nut­ná, pro­to­že bu­de­me ře­šit rozpí­ná­ní v ča­se:

$$\begin{equation}\label{\eqref}D = \Delta x \cdot a(t)\end{equation}$$

Zderivujeme-li ten­to vý­raz pod­le ča­su:

$$\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} = \Delta x \frac{\mathrm{d}a(t)}{\mathrm{d}t}$$

A uděláme-li ma­lý ma­te­ma­tic­ký „trik“, te­dy že vy­ná­so­bí­me ce­lou rov­ni­ci jed­nič­kou (te­dy rov­ni­ce se ne­změ­ní), kde však jed­nič­ka bu­de \(\frac{a}{a}\), do­sta­ne­me:

$$\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} = \Delta x \frac{\mathrm{d}a(t)}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{a}{a}$$

A vi­dí­me, že ně­kte­ré vě­ci už zná­me — te­dy uvnitř se nám zno­vu uká­za­la vzdá­le­nost \(D = \Delta x \cdot a(t)\), kte­rou si mů­že­me vy­já­d­řit:

$$\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} = D \frac{\mathrm{d}a(t)}{a \cdot \mathrm{d}t}$$

Ny­ní troš­ku od­boč­me — abychom se v tom lé­pe vy­zna­li, za­veď­me fy­zi­kál­ní zá­pis de­ri­va­ce teč­kou, te­dy že:

$$\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} = \dot X$$

Vý­še uve­de­ný vzo­rec tak mů­že­me zjed­no­du­šit na:

$$\dot D = D \frac{\dot a}{a}$$

A sa­mo­zřej­mě si mu­sí­me uvě­do­mit, že \(\dot D = v\) — rych­lost, po­tom:

$$v = D \frac{\dot a}{a}$$

Dů­le­ži­tý je po­sled­ní zlo­mek, te­dy \(\frac{\dot a}{a}\) — ten si označ­me ja­ko \(H\) a je to prá­vě Hubble­o­va kon­stan­ta, te­dy:

$$v = D \frac{\dot a}{a}= D H$$

Z to­ho jas­ně mů­že­me vi­dět vztah: Po­kud totiž ví­me, ja­kou rych­los­tí se od se­be vzda­lu­jí ga­la­xie ve vesmí­ru (te­dy \(v\)), mů­že­me jas­ně ří­ci, jak jsou od se­be vzdá­le­ny, \(D\) 🙂 A sa­mo­zřej­mě i opač­ně, te­dy čím vzdá­le­něj­ší od se­be ob­jek­ty jsou, tím rych­le­ji se bu­dou po­hy­bo­vat. Nut­no ješ­tě ří­ci, že Hubble­o­va kon­stan­ta \(H\) je ta­ko­vou kon­stan­tou „na­půl“ — je totiž kon­stant­ní všu­de ve vesmí­ru v pro­sto­ru, ale ni­ko­liv v ča­se, pros­tě s ča­sem se mě­ní. Je te­dy fix­ní pou­ze v pro­sto­ru, ni­ko­liv v ča­se.

Před­stav­me si te­dy ně­ja­ký vý­sek vesmí­ru, kde vi­dí­me jed­not­li­vé galaxie[4]ponechme teď stra­nou, že bychom je nej­spí­še sa­mot­ným okem ne­vi­dě­li tak, jak jsou na ob­ráz­ku re­pre­zen­to­vá­ny teč­ka­mi:

Galaxie jako tečky
Ga­la­xie ja­ko teč­ky

Zvol­me si jed­nu teč­ku ja­ko „na­ši Ga­la­xii“ a označ­me ji tře­ba ně­ja­kou bar­vou:

Naše Galaxie označena červěně
Na­še Ga­la­xie ozna­če­na čer­vě­ně

Teč­ku s Galaxií[5]Možná by by­lo vhod­né dát na pra­vou mí­ru ozna­čo­vá­ní vesmír­ných ob­jek­tů, je v tom, mys­lím si, dost vel­ký ne­po­řá­dek. Po­kud na­pí­ši „Ga­la­xie“ s vel­kým „G“, mys­lím tím na­ši ga­la­xii, ve kte­ré se na­chá­zí Slu­neč­ní sou­sta­va. Po­kud se řek­ne „Mléč­ná drá­ha“, jed­ná se o pruh ví­ce vi­di­tel­ných hvězd na noč­ní ob­lo­ze, ty­to ter­mí­ny se po­měr­ně zhus­ta za­mě­ňu­jí, ce­lý ná­zev je Ga­la­xie v Mléč­né drá­ze, zkrá­ce­ně Ga­la­xie. Po­kud pí­ši „ga­la­xie“, te­dy s ma­lým „g“, mys­lím tím ja­ká­ko­liv ji­ná ga­la­xie než Ga­la­xie 🙂 Dou­fám, že už v tom ne­bu­de zma­tek. rov­nou pro­hlá­sím za střed vztaž­né sou­sta­vy, te­dy teč­ka se ni­kam ne­bu­de hý­bat a bu­du ji po­va­žo­vat za ta­ko­vý „nu­lo­vý bod“ se sou­řad­ni­ce­mi [0, 0, 0, 0, …] (pod­le to­ho, ko­lik roz­mě­rů bu­du po­tře­bo­vat). Vybereme-li si teď li­bo­vol­nou ji­nou ga­la­xii a budeme-li mě­řit vzdá­le­nost od Ga­la­xie, na­mě­ří­me vzdá­le­nost \(D\).

Vzdálenost a vektor rychlosti
Vzdá­le­nost a vek­tor rych­los­ti

Na ob­ráz­ku vi­dí­me ze­le­ně zob­ra­ze­nou vzdá­le­nost a fi­a­lo­vě vek­tor rych­los­ti. New­to­nův teorém[6]Newton, Isa­ac (1687). Phi­lo­so­phi­ae Na­tu­ra­lis Prin­ci­pia Mathe­ma­ti­ca. Lon­don. pp. The­o­rem XXXI. nám ří­ká, že na li­bo­vol­ný ob­jekt, kte­rý se na­chá­zí na po­vrchu kou­le, je­jímž stře­dem bu­de na­še Ga­la­xie, bu­de pů­so­bit gra­vi­ta­ce ce­lé hmo­ty v kou­li ob­sa­že­né a že bo­dy a hmo­ta mi­mo tu­to kou­li se „anu­lu­je“ (gra­vi­tač­ně sa­mo­zřej­mě):

Hmoty, Newtonovy zákony
Hmo­ty, New­to­no­vy zá­ko­ny

Po­kud je množ­ství hmo­ta uvnitř kou­le rov­no \(M\), ga­la­xie, kte­rou mě­ří­me má hmo­tu \(m\), mů­že­me psát sta­ré zná­mé:

$$F = \kappa \frac{M m}{D^2}$$

A sa­mo­zřej­mě mů­že­me po­té vy­já­d­řit po­ten­ci­ál­ní ener­gii ta­ko­vé ga­la­xie, pro­to­že ví­me, že:

$$E_p = \int_{\infty}^{D} F \mathrm{d}D$$

a te­dy mů­že­me do­sa­dit:

$$E_p = \int_{\infty}^{D} F \mathrm{d}D = \int_{\infty}^{D} \kappa\frac{Mm}{D^2} \mathrm{d}D = -\kappa\frac{Mm}{D}$$

Sa­mo­zřej­mě cel­ko­vá ener­gie \(E\) ta­ko­vé ga­la­xie bu­de souč­tem ki­ne­tic­ké a po­ten­ci­ál­ní ener­gie:

$$ E = E_k + E_p$$

či­li

$$ E = \frac{1}{2}mv^2 -\kappa\frac{Mm}{D}$$

Ener­gie mu­sí zů­stat kon­stant­ní, pro­to­že pla­tí zá­kon o za­cho­vá­ní ener­gie, te­dy:

$$ E = \frac{1}{2}mv^2 – \kappa\frac{Mm}{D} = k$$

Troš­ku si po­hra­je­me s tím­to vzor­cem, vy­ná­so­bí­me nejdří­ve obě stra­ny dvoj­kou, abychom se zba­vi­li té dvoj­ky vle­vo:

$$ E = mv^2 – 2\kappa\frac{Mm}{D} = 2k$$

a po­dě­lí­me ce­lou rov­ni­ci \(m\):

$$ E = v^2 – 2\kappa\frac{M}{D} = \frac{2k}{m} = k$$

a vi­dí­me, že vpra­vo má­me po­řád kon­stan­tu 🙂 Si­ce bu­de ji­ná, než \(k\) před tím, ale po­řád bu­de kon­stant­ní, te­dy bu­de­me psát stá­le \(k\) 😉 Zkus­me ny­ní do­sa­dit dří­ve uká­za­né hod­no­ty, te­dy \(D = \Delta x \cdot a(t)\) a \(v = \Delta x \cdot \dot a(t)\) do to­ho­to vzor­ce:

$$ \Delta x^2 \cdot \dot a(t)^2 – 2\kappa\frac{M}{\Delta x \cdot a(t)} = k $$

Po­kud si uvě­do­mí­me, že hus­to­ta tě­le­sa či sou­sta­vy tě­les se snad­no spoč­te ja­ko:

$$ \rho  = \frac{M}{V}$$

kde \(\rho\) od­po­ví­dá hus­to­tě, \(M\) od­po­ví­dá hmo­tě sys­té­mu a \(V\) od­po­ví­dá ob­je­mu. Ob­jem kou­le (viz dří­ve, kdy jsem psal o New­to­no­vě gra­vi­tač­ním zá­ko­nu) se spo­čí­tá sa­mo­zřej­mě ja­ko:

$$V = \frac{4}{3}\pi D^3$$

Mů­že­me te­dy upra­vit vzo­rec pro hus­to­tu a vy­já­d­řit \(M\) ja­ko:

$$M = \frac{4}{3} \pi D^3 \rho(t)$$

Pro­to­že se \(\rho(t)\) mě­ní v ča­se (jak se vesmír rozpí­ná), mu­sí­me s ním tak i po­čí­tat a uvést ho ja­ko pro­měn­ný v ča­se. To­to \(M\) do­sa­dit do vzor­ce s kon­stan­tou, kte­rý jsme od­vo­di­li vý­še, pro při­po­me­nu­tí:

 $$ \Delta x^2 \cdot \dot a(t)^2 – 2\kappa\frac{M}{\Delta x \cdot a(t)} = k $$

Dosadíme-li te­dy \(M\) do to­ho­to vzor­ce, po­té:

 $$ \Delta x^2 \cdot \dot a(t)^2 – 2\kappa\frac{\frac{4}{3}\pi D^3 \rho(t)}{\Delta x \cdot a(t)} = k $$

Rozepíšeme-li zmí­ně­né \(D\) na to, co jsme psa­li vý­še, te­dy \(D = \Delta x a(t)\), po­tom do­sta­ne­me:

$$ \Delta x^2 \dot a(t)^2 – 2\kappa\frac{\frac{4}{3}\pi {\color{red}{\Delta x^3a(t)^3}} \rho(t)}{\color{red}{\Delta x a(t)}} = k $$

Čer­ve­ně jsem zvý­raz­nil to, co mů­že­me zkrá­tit, pro­to to zkrať­me:

$$ \Delta x^2 \dot a(t)^2 – 2\kappa \frac{4}{3}\pi \Delta x^\color{red}{2} a(t)^\color{red}{2} \rho(t) = k $$

Teď se ne­le­kej­te, na­sta­ne vel­ký trik. Bu­de­me totiž zjed­no­du­šo­vat. Aby nám di­men­zi­o­nál­ně se­dě­ly pro­měn­né, mu­se­lo by pla­tit, že má­me \(\Delta x^2\) vle­vo i vpra­vo, ale vpra­vo vi­dí­me pou­ze kon­stan­tu. Nicmé­ně pro­to­že ví­me, že to mu­sí di­men­zi­o­nál­ně sedět[7]Aby nám rov­ni­ce di­men­zi­o­nál­ně se­dě­la, mu­sí­me mít pros­tě srov­na­né di­men­ze jed­not­li­vých čle­nů. Pro­to­že před­po­klá­dá­me, že to po­čí­tá­me správ­ně, bu­de­me se muset dr­žet i to­ho­to zá­ko­na. V uve­de­né rov­ni­ci vi­dí­me, že má­me srov­na­né di­men­zi­o­nál­ně pou­ze dva čle­ny, te­dy ten s de­ri­va­cí a ten dru­hý bez de­ri­va­ce. V kon­stan­tě tu­díž mu­sí­me před­po­klá­dat, že se ně­ja­ký pr­vek ze stej­né di­men­ze tak­též bu­de na­chá­zet a tím pá­dem mů­že­me po­krá­tit., ví­me i, že v té kon­stan­tě mu­sí být ně­ja­kým způ­so­bem \(\Delta x^2\) ob­sa­že­no a mů­že­me pro­to \(\Delta x\) po­krá­tit, te­dy:

$$ \color{red}{\Delta x^2} \dot a(t)^2 – \color{green}{2}\kappa \frac{\color{green}{4}}{3}\pi \color{red}{\Delta x^{2}} a(t)^{2} \rho(t) = k $$

$$ \dot a(t)^2 – \kappa \frac{\color{green}{8}}{3}\pi a(t)^{2} \rho(t) = k $$

Zde se \(k\) sa­mo­zřej­mě bu­de li­šit od \(k\) před krá­ce­ním, ale je to po­řád ně­ja­ká kon­stan­ta, i když je ji­ná. Co v ní je nás vlast­ně ani moc v ten­to mo­ment ne­za­jí­má. Ze­le­ně jsem ješ­tě zvý­raz­nil ma­lé zjed­no­du­še­ní.

Ny­ní mů­že­me ce­lou rov­ni­ci po­dě­lit \(a(t)^2\) a do­stat te­dy:

$$ \frac{\dot a(t)^2}{\color{red}{a(t)^2}} – \kappa \frac{8}{3}\pi\frac{a(t)^{2} \rho(t)}{\color{red}{a(t)^2}} = \frac{k}{\color{red}{a(t)^2}} $$

a do­sta­ne­me tak (po pře­há­ze­ní čle­nů):

$$ \color{green}{\frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2}} = \color{red}{\frac{8}{3}\pi\kappa \rho(t)} – \color{blue}{\frac{k}{a(t)^2}}$$

To­to je zjed­no­du­še­ná va­ri­an­ta Friedman-Walker-Robertsonovy rovnice[8]Na wi­ki např.:
https://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann%E2%80%93Lema%C3%AEtre%E2%80%93Robertson%E2%80%93Walker_metric
[9]od­kaz na PDF s dal­ší­mi hrát­ka­mi s rov­ni­ce­mi:
http://www.ita.uni-heidelberg.de/~dullemond/lectures/cosmology_2011/Chapter_4.pdf
[10]Dá­le už jen FWRr., na kte­ré si ny­ní ukaž­me dal­ší za­jí­ma­vé sou­vis­los­ti.

Roz­děl­me ny­ní rov­ni­ci na 3 čás­ti, kte­ré jsem zvý­raz­nil v tex­tu ba­rev­ně. Za­čně­me čer­ve­ným prv­kem \(\frac{8}{3}\pi\kappa\rho(t)\). Co o něm mů­že­me z hle­dis­ka „klad­nos­ti a zá­por­nos­ti“ pro­hlá­sit? Všech­ny čle­ny uvnitř jsou vždy klad­né (buď jsou to kon­stan­ty, čís­la ane­bo \(\rho(t)\), kte­ré je vždy klad­né, pro­to­že hus­to­ta je vždy klad­ná) — a te­dy ce­lý ten­to čer­ve­ný pr­vek je vždy klad­ný.

Ny­ní se po­dí­vej­me na mod­rý člen \(-\frac{k}{a(t)^2}\), kde už to za­čí­ná bý­ti troš­ku za­jí­ma­vé. Po­kud bychom řek­li, že kon­stan­ta \(-k\)[11]Jinými slo­vy se tou­to kon­stan­tou ozna­ču­je tzv. kři­vost vesmí­ru bu­de vždy klad­ná (ano, i s tím mi­nus), po­té to zna­me­ná, že sou­čet dvou čle­nů v pra­vé čás­ti rov­ni­ce bu­de vždy klad­ný a to by zna­me­na­lo, že vesmír se bu­de ne­u­stá­le rozpí­nat. V le­vé čás­ti rov­ni­ce má­me totiž Hubble­o­vu kon­stan­tu (na dru­hou), kte­rá nám ří­ká, jak moc se vesmír rozpí­ná. Pro­to­že by to­to čís­lo v ča­se by­lo vždy klad­né, zna­me­na­lo by to lo­gic­ky, že by se tak vesmír ne­u­stá­le rozpí­nal „do ne­ko­neč­na“. Ten­to stav ozna­ču­je­me ja­ko tzv. ote­vře­ný vesmír. Bude-li na­o­pak kon­stan­ta \(-k\) zá­por­ná (te­dy sa­mot­né \(k\) bu­de klad­né), po­té by to moh­lo zna­me­nat (po­kud by by­la ab­so­lut­ní hod­no­ta čle­nu vět­ší než to­ho čer­ve­né­ho), že se vesmír v ča­se smrš­ťu­je, te­dy tzv. uza­vře­ný vesmír. No a na­ko­nec va­ri­an­ta, kdy se kon­stan­ta bu­de rov­nat nu­le, to zna­me­ná, že se si­ce vesmír rozpí­ná, ale kon­ver­gu­je asympto­tic­ky k ur­či­té­mu bo­du, kdy už se ví­ce rozpí­nat ne­bu­de (ten­to bod se na­chá­zí ča­so­vě v ne­ko­neč­nu). Té­to va­ri­an­tě ří­ká­me plo­chý vesmír.

Pojď­me se těm­to va­ri­an­tám vě­no­vat troš­ku de­tail­ně­ji. Vez­mě­me si ně­ja­ký úsek vesmí­ru a pro zjed­no­du­še­ní po­u­žijme krych­lo­vou vý­seč (šlo by to i s ku­lo­vou a ja­kou­ko­liv ji­nou, ale chci mi­ni­ma­li­zo­vat množ­ství pís­me­nek). Krych­le má roz­měr stra­ny \(a\) a hmo­ta v ní ob­sa­že­ná je opět \(M\), pros­tě:

Klasická krychle
Kla­sic­ká krych­le

Ví­me, že ob­jem krych­le \(V = a^3\) a te­dy snad­no od­vo­dí­me, že hus­to­ta \(\rho = \frac{M}{a^3}\). Té­to zna­los­ti mů­že­me vy­u­žit a mů­že­me do­sa­dit do FWRr a do­sta­ne­me:

$$ \frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \color{red}{\frac{M}{a(t)^3}} – \frac{k}{a(t)^2}$$

Na zá­kla­dě po­zo­ro­vá­ní a mě­ře­ní je zjiš­tě­no, že vesmír se s nej­vět­ší prav­dě­po­dob­nos­tí cho­vá ja­ko plo­chý, te­dy mů­že­me vý­raz zjed­no­du­šit na:

$$\frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \color{red}{\frac{M}{a(t)^3}}$$

Ny­ní bychom te­dy chtě­li vy­ře­šit ta­ko­vou rov­ni­ci pro \(a(t)\), což je dost ne­tri­vi­ál­ní zá­le­ži­tost. Nej­jed­no­duš­ší me­to­dou te­dy je uči­nit od­had, kte­rý se po­ku­sí­me na­pa­so­vat do na­še­ho vý­ra­zu.

Řek­ně­me te­dy, že obec­ně se bu­de \(a(t)\) rov­nat po­ly­no­mu \(Ct^p\), kde \(C\) je ně­ja­ká kon­stan­ta, \(t\) ozna­ču­je čas a \(p\) je obec­ná moc­ni­na:

$$a(t) = C t^p$$

Ješ­tě si sa­mo­zřej­mě mu­sí­me spo­čí­tat hod­no­tu prv­ní de­ri­va­ce \(\dot a(t)\), te­dy:

$$\dot a(t) = p C t^{p-1}$$

(po­u­žil jsem kla­sic­ká pra­vi­dla pro de­ri­vo­vá­ní po­ly­no­mu). Če­mu je te­dy rov­na Hubble­o­va kon­stan­ta?

$$H = \frac{\dot a(t)}{a(t)} = \frac{p\color{red}{C}t^{p-1}}{\color{red}{C}t^p} = \frac{p\color{brown}{t^{p-1}}}{\color{brown}{t^p}}=\frac{p}{\color{brown}{t}}$$

Čer­ve­ně a po­té hně­dě jsem zvý­raz­nil krá­ce­ní ve vý­ra­zu. Ny­ní již mů­že­me do­sa­dit do FWRr:

$$ \frac{p^2}{t^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{M}{\color{red}{a(t)^3}}$$

Ješ­tě mů­že­me do­sa­dit za čer­ve­ně ozna­če­né \(a(t) = Ct^p\):

$$ \frac{p^2}{t^{\color{blue}2}} = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{M}{C^3t^{\color{blue}{3p}}}$$

Ny­ní je opět čas oprášit na­še zná­mé di­men­ze — aby nám rov­ni­ce se­dě­la, mu­sí nám hlav­ně se­dět di­men­ze. A co vi­dí­me? Zvý­raz­ně­né mod­ré ex­po­nen­ty nám mu­sí se­dět, te­dy po­kud má­me na le­vé stra­ně rov­ni­ce \(t^2\), mu­sí­me ho mít i na stra­ně pra­vé. Je te­dy jas­né, že \(p=\frac{2}{3}\). Mů­že­me te­dy na­psat, že \(a(t)=Ct^{\frac{2}{3}}\).

Ta­ko­vá funk­ce má prů­běh:

Závislost a na t
Zá­vis­lost a na t

Jak vi­dí­me z to­ho­to ex­ce­lo­vé­ho gra­fu, prů­běh funk­ce je krás­ně za­ob­len a ne­u­stá­le se zpo­ma­lu­je růst. Ten­to graf nám uka­zu­je rozpí­ná­ní vesmí­ru, po­kud ho uva­žu­je­me ja­ko hmo­to­vý. Te­dy ta­ko­vý, kde pře­va­žu­je množ­ství hmo­ty  (pro­to jsme po­čí­ta­li s \(M\)). Nicmé­ně ne vždy to­mu tak by­lo, v pr­vo­po­čát­cích vesmí­ru vznik­lo vel­ké množ­ství hmo­ty a anti­hmo­ty. Po­kud dá­me k so­bě dvě vzá­jem­né an­ti­čás­ti­ce, do­ko­na­le ani­hi­lu­jí a vznik­ne fo­ton — te­dy se vy­zá­ří „čis­tá“ ener­gie.  Veš­ke­rá hmo­ta a anti­hmo­ta te­dy ani­hi­lo­va­la a vy­zá­ři­lo se tak ob­rov­ské množ­ství prav­dě­po­dob­ně vy­so­ce­e­ner­ge­tic­kých fo­to­nů — a zby­lo ta­ké ma­lé množ­ství hmo­ty — hmo­ty, kte­rá je vším, co v dneš­ním vesmí­ru po­zo­ru­je­me. Do dů­sled­ku by tak šlo ří­ci, že vše, co jsme a vše co vi­dí­me je jen dů­sled­kem ne­pa­tr­né asy­me­t­rie v pr­vo­po­čát­cích vesmí­ru 🙂

Před­stav­me si te­dy zno­vu náš „krych­lo­vý vý­sek“ vesmí­ru se stra­nou \(a\), ale ten­to­krát v něm ne­bu­de hmo­ta \(M\), ale fo­to­ny. Pro zo­pa­ko­vá­ní uve­du, že ener­gii fo­to­nu mů­že­me vy­já­d­řit ja­ko \(E = h f\), resp. \(E = \frac{hc}{\lambda}\)[12]Viz člá­nek Ma­lý ne­ná­sil­ný úvod do fy­zi­ky čer­ných děr na mém hlav­ním blo­gu. Po­kud se vesmír rozpí­ná a bu­de se rozpí­nat i náš krych­lo­vý vý­sek, bu­de se i zvět­šo­vat vl­no­vá dél­ka \(\lambda\) ta­ko­vých fo­to­nů, te­dy sa­mo­zřej­mě ener­gie ta­ko­vých fo­to­nů bu­de kle­sat. Po­zo­ro­vá­ním tzv. kos­mic­ké­ho zá­ře­ní (cos­mic microwa­ve bac­kground ra­di­ati­on) v pás­mu mi­k­ro­vln (což je o dost jin­de, než by­ly asi pů­vod­ní ga­ma­pa­prsky) se pře­svěd­ču­je­me, že ta­to „ra­di­ač­ní“ fá­ze vesmí­ru nej­spí­še pro­běh­la. Po­zo­ro­vá­ním těch­to vesmír­ných pa­prs­ků tak vlast­ně kou­ká­me na „vesmír­nou ar­che­o­lo­gii“, vi­dí­me, co se udá­lo před spous­tou mi­li­ard let ja­ko po­zůsta­tek kdy­si ohrom­né zá­ři­vé ener­gie.

Jak jsme si řek­li, ener­gie fo­to­nu \(E\) pro­porč­ně od­po­ví­dá te­dy pře­vrá­ce­né hod­no­tě vl­no­vé dél­ky, te­dy \(\frac{1}{\lambda}\), což sou­čas­ně od­po­ví­dá zvět­šu­jí­cím se roz­mě­rům, te­dy \(\frac{1}{a}\). Mů­že­me te­dy tvr­dit, že:

$$ E = \frac{N}{a}$$

te­dy že ener­gie fo­to­nů pro­porč­ně (přes kon­stan­tu \(N\)) od­po­ví­dá tak­to ro­mě­ru \(a\). Ener­ge­tic­ká hus­to­ta „zá­ří­cí­ho vesmí­ru“ (po­všim­ně­te si, že se opět sna­ží­me vy­já­d­řit hus­to­tu) tak bu­de od­po­ví­dat:

$$ \rho_E = \frac{N}{a} \frac{1}{V} = \frac{N}{a} \frac{1}{a^3} = \frac{N}{a^4}$$

Pro při­po­me­nu­tí, hus­to­ta hmot­né­ho vesmí­ru by­la \(E = \frac{M}{a^3}\). Zkus­me si da­né dva prů­běhy gra­fic­ky na­črt­nout:

Průběhy funkcí M/a^3 a N/a^4
Prů­běhy funk­cí M/a^3 a N/a^4

Ener­ge­tic­kou hus­to­tu mů­že­me do­sa­dit do FWRr, ako­rát mís­to hmo­to­vé hus­to­ty dá­me prá­vě tu­to ener­ge­tic­kou:

$$ \frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{N}{a(t)^4}$$

Po­kud pro­ve­de­me stej­ný od­had ja­ko mi­nu­le, do­sta­ne­me:

$$ \frac{p^2}{t^\color{blue}2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{N}{C^4 t^{\color{blue}{4p}}}$$

a aby nám opět se­dě­ly di­men­ze, vi­dí­me, že \(p=\frac{1}{2}\).

Vrať­me se ny­ní ke gra­fům; na­črt­ně­me si, jak by vy­pa­da­ly prů­běhy ve­li­kos­tí vesmí­ru v zá­vis­los­ti na ča­se. Budeme-li uva­žo­vat čis­tě ra­di­ač­ní vesmír, ten se zpo­čát­ku vel­mi rych­le rozpí­nal (jed­ná se o 4. moc­ni­nu), ale pak už dá­le „moc ne­ros­te“, te­dy asi ja­ko tak­to žlu­tě obar­ve­ný prů­běh:

Radiační vesmír
Ra­di­ač­ní vesmír

Nicmé­ně po­kud se po­dí­vá­te vý­še na graf \(\rho\) vs \(a\), uvi­dí­te bod, ve kte­rém se dva prů­běhy pro­tnou. V tom­to mo­men­tě za­čal na­mís­to „ra­di­ač­ní­ho vesmíru“[13]tuty po­jmy ne­mám úpl­ně rád, pros­tě ra­di­ati­on do­mi­nant uni­ver­semat­ter do­mi­nant uni­ver­se, te­dy vesmír s pře­va­hou zá­ře­ní a vesmír s pře­va­hou hmo­ty pře­va­žo­vat prá­vě ten hmo­to­vý. Mě­ře­ním by­lo zjiš­tě­no, že ten­to stav se stal re­la­tiv­ně vel­mi br­zy po vzni­ku vesmí­ru, vě­ří se, že ně­kdy ko­lem 10 000 let po tzv. Vel­kém třes­ku.

V tom­to mo­men­tě te­dy za­čne pře­va­žo­vat hmo­to­vý vesmír, kte­rý stou­pá mno­hem rych­le­ji, ale­spoň zpo­čát­ku:

Radiační a hmotový vesmír
Ra­di­ač­ní a hmo­to­vý vesmír

Tak­to bychom se po ze­le­né křiv­ce po­stup­ně do­stá­va­li do sta­vu, kdy by se rozpí­ná­ní vesmí­ru po­stup­ně zpo­ma­lo­va­lo, nicmé­ně po­zo­ru­je­me, že to­mu tak ne­ní, po­zo­ro­va­ný stav je na­zna­čen rů­žo­vým prů­bě­hem:

Rozpínání vesmíru -- co doopravdy pozorujeme
Rozpí­ná­ní vesmí­ru — co do­o­prav­dy po­zo­ru­je­me

A mu­sí te­dy nut­ně exis­to­vat ně­ja­ká dal­ší sí­la či ener­gie, kte­rá to­to způ­so­bu­je. Pojď­me si shr­nout zá­klad­ní zna­los­ti, kte­ré jsme si od­vo­di­li:

  • Pro vesmír s pře­vlá­da­jí­cí hmo­tou
    • Hus­to­ta: \(\rho = \frac{M}{a^3}\)
    • Vesmír se rozpí­ná v ča­se pod­le: \(a \sim t^{\frac{2}{3}}\)
  • Pro vesmír s pře­vlá­dá­jí­cím zá­ře­ním
    • Hus­to­ta zá­ře­ní: \(\rho = \frac{N}{a^4}\)
    • Vesmír se rozpí­ná v ča­se pod­le: \(a \sim t^{\frac{1}{2}}\)

Po­dí­vej­me se na tu­to pro­ble­ma­ti­ku ješ­tě z hle­dis­ka ter­mo­dy­na­mi­ky. Vrh­ně­me se nejdří­ve na vesmír s pře­vlá­da­jí­cí hmo­tou. Po­kud si opět udě­lá­me ně­ja­kou krych­lo­vou vý­seč, ve kte­ré si před­sta­ví­me ga­la­xie, pro při­po­me­nu­tí ob­rá­zek:

Klasická krychle
Kla­sic­ká krych­le

Pak se ptá­me, ja­kým tla­kem bu­de hmo­ta a ga­la­xie pů­so­bit na des­ky krych­le? Tlak bu­de nu­lo­vý, pro­to­že ga­la­xie se pros­tě ne­cho­va­jí ja­ko čás­ti­ce, kte­ré ská­čí tam a zpět, pros­tě „tam jsou“ a v kli­du „nic nedělají“[14]samozřejmě pro zjed­no­du­še­ní. Mů­že­me te­dy psát, že:

$$P = 0$$

Troš­ku slo­ži­těj­ší to bu­de ve vesmí­ru s pře­vlá­da­jí­cí ra­di­a­cí. Pro zjed­no­du­še­ní si před­stav­me jed­no­di­men­zi­o­nál­ní po­hyb čás­ti­ce (fo­to­nu), kte­rý ces­tu­je rych­los­tí \(c\) me­zi kraj­ní­mi bo­dy, je­jichž vzdá­le­nost je \(L\).

Foton cestuje mezi krajními body.
Fo­ton ces­tu­je me­zi kraj­ní­mi bo­dy.

Ja­ký je tlak \(P\) na jed­nu či dru­hou kraj­ní po­zi­ci? Ví­me, že tlak se dá vy­já­d­řit ja­ko:

$$ P = \frac{F}{A}$$

kde \(F\) je sí­la a \(A\) je plo­cha, na kte­rou sí­la pů­so­bí. Sí­la na kon­ci dráhy, bu­de vy­já­d­ře­na ja­ko změ­na mo­men­tu hyb­nos­ti, te­dy:

$$ F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$$

Jak je vel­ké \(\mathrm{d}p\)? Mu­sí­me si uvě­do­mit, že se ne­jed­ná o po­hyb čás­ti­ce, kte­rý u hra­ni­ce za­sta­ví, ale stej­nou rych­los­tí se bu­de po­hy­bo­vat na dru­hou stra­nu. Změ­na hyb­no­si čás­ti­ce tak bu­de dvoj­ná­sob­ná, te­dy \(\mathrm{d}p = 2p\). Jak bu­de vel­ké \(\mathrm{d}t\)? Čas do­sta­ne­me po­dě­le­ním vzdá­le­nos­ti rych­los­tí po­hy­bu, te­dy \(t=\frac{2L}{c}\) — opět, dvoj­ná­sob­ná vzdá­le­nost, páč čás­ti­ce ces­tu­je tam i zpět. To­to mů­že­me do­sa­dit do vzor­ce pro sí­lu a zís­ká­me:

$$ F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = {\color{red}{2}p} \frac{c}{\color{red}{2}L} = \frac{pc}{L}$$

Ale po­zor, vý­raz \(pc\) už je nám po­vě­do­mý, jed­ná se totiž o ener­gii čás­ti­ce \(E = pc\). Mů­že­me te­dy psát:

$$F = \frac{E}{L}$$

Což by krás­ně fun­go­va­lo v jed­nom roz­mě­ru, ale mu­sí­me si uvě­do­mit, že má­me v na­šem pří­pa­dě (po­u­ži­li jsme krych­li) roz­mě­ry 3. Fo­ton te­dy mů­že ces­to­vat jak tam a zpět po ose \(x\), \(y\) a ne­bo i \(z\). Po­kud do na­ší kdychle za­kres­lím po­hyb jed­no­ho ně­ja­ké­ho „tes­to­va­cí­ho“ fo­to­nu po ose x, bu­de to vy­pa­dat ná­sle­dov­ně:

Foton a pohyb v jedné ose
Fo­ton a po­hyb v jed­né ose

Vy­zna­čil jsem plo­chu \(\mathrm{d}A\), na kte­rou bu­de ta­ko­vý fo­ton pů­so­bit. Ví­me, že tlak je:

$$ P = \frac{F}{A}$$

a te­dy v na­šem pří­pa­dě:

$$ P = \frac{F}{L\mathrm{d}A}$$

a co je dél­ka krát plo­cha? To je ob­jem 🙂 Te­dy:

$$ P = \frac{E}{V} = \rho$$

Sou­čas­ně je to i hus­to­ta ener­gie \(\rho\), i když ne zce­la přes­ně. Mu­sí­me si totiž uvě­do­mit, že fo­ton se po­hy­bu­je po kom­po­nen­tech všech os, bu­de­me na­víc uva­žo­vat, že zce­la ná­hod­ně a te­dy do všech stej­ně, bu­de te­dy tlak pou­ze tře­ti­no­vý:

$$P = \frac{\rho}{3}$$

Mů­že­me tak zo­bec­nit, že tlak se bu­de rov­nat:

$$ P = w\rho$$

kde \(w\) je prá­vě ně­ja­ká kon­stan­ta — pro hmo­to­vý vesmír bu­de nu­lo­vá, pro ra­di­ač­ní bu­de prá­vě ta­to jed­na tře­ti­na.

Ny­ní si před­stav­me, že má­me píst (hra­na­tý krych­lo­vý tře­ba) s ně­ja­kým ply­nem a umož­ní­me mu, aby se tro­chu zvět­šil ob­jem — pros­tě tak, jak píst nor­mál­ně fun­gu­je. Te­dy ví­me, že prá­ce ta­ko­vé­ho dě­je bu­de:

$$ W = F \mathrm{d}d$$

kde \(d\) je ně­ja­ká vzdá­le­nost po­hy­bu pís­tu. Ví­me též, že \( F = P A\), te­dy mů­že­me psát, že:

$$ W = P A \mathrm{d}d$$

No a opět — co je sou­čet plo­chy a dráhy — ob­jem, te­dy v na­šem pří­pa­dě te­dy:

$$ W = P \mathrm{d}V$$

No a jak tu­tu prá­ci čás­ti­ce ko­na­jí? Tím, že mu­sí ně­ja­kou svo­ji ener­gii obě­to­vat. Ener­gie pří­mo sou­vi­sí s tep­lo­tou, te­dy mů­že­me psát, že změ­na ener­gie vy­vo­lá­vá změ­nu ob­je­mu:

$$ \mathrm{d}E = -P\mathrm{d}V$$

Ta­ké ví­me, že cel­ko­vá ener­gie od­po­ví­dá sou­či­nu ener­ge­tic­ké hus­to­ty s ob­je­mem:

$$ E = \rho V$$

a te­dy že

$$ \mathrm{d}E = \rho \mathrm{d}V + V\mathrm{d}\rho$$

Vý­še jsme si uká­za­li, že

$$ \mathrm{d}E = -P\mathrm{d}V$$

a te­dy mů­že­me psát:

$$ \rho \mathrm{d}V + V\mathrm{d}\rho = -P\mathrm{d}V$$

Vy­já­d­ří­me:

$$ V \mathrm{d}\rho = -(P+\rho)\mathrm{d}V$$

a pro­to­že jsme si řek­li, že \(P = w\rho\), mů­že­me do­sa­dit:

$$ V \mathrm{d}\rho = -(w\rho +\rho)\mathrm{d}V$$

$$ V \mathrm{d}\rho = -(w + 1)\rho\mathrm{d}V$$

a te­dy mů­že­me po­pře­ha­zo­vat:

$$ \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} = -(w+1)\frac{\mathrm{d}V}{V}$$

Vy­ře­ší­me ja­ko lo­ga­rit­mic­kou rov­ni­ci:

$$ \mathrm{d}\log\rho = -(w+1)\mathrm{d}\log V$$

di­fe­ren­ci­á­lů se zba­ví­me:

$$ \log\rho = -(w+1)\log V$$

$$ \log \rho = \log V^{-(w+1)}$$

a te­dy mů­že­me zpět­ně od­lo­ga­rit­mo­vat:

$$ \rho = \frac{C}{V^{(w+1)}}$$

Sa­mo­zřej­mě ví­me, že \(V = a^3\) a mů­že­me do­sa­dit:

$$ \rho = \frac{C}{a^{3(w+1)}}$$

 Po­kud ví­me, že pro hmo­to­vě pře­va­žu­jí­cí vesmír pla­tí, že \(w=0\), po­tom snad­no ově­ří­me, že:

$$ \rho = \frac{C}{a^3}$$

Což je po­tvr­ze­ním to­ho, co jsme již na­psa­li vý­še 😉 A sa­mo­zřej­mě i fun­gu­je, po­kud do­sa­dí­me za \(w=\frac{1}{3}\) pro vesmír s pře­va­žu­jí­cím zá­ře­ním:

$$ \rho = \frac{C}{a^4}$$

Mů­že­me do­sa­dit zno­vu do FWRr (ano, ví­tej zpět!), te­dy:

$$ \frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \rho = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{C}{a^{3(w+1)}}$$

Tak­že jsme se do­sta­li zno­vu ter­mo­dy­na­mic­kou okli­kou tam, kde už jsme by­li před tím — ale ten­to­krát to má­me krás­ně zo­bec­ně­no a na­víc má­me mož­nost hrá­tek s \(w\). Co by se sta­lo, po­kud bychom \(w=-1\)? 🙂

V jme­no­va­te­li bychom na pra­vé stra­ně bychom do­sta­li dě­le­ní „jed­nič­kou“ (co­ko­liv na nul­tou je jed­na) a te­dy bychom do­sta­li kon­stant­ní vý­raz!

$$ \frac{\dot a(t)^2}{a(t)^2} = \frac{8}{3}\pi\kappa \frac{C}{a^0} = \frac{8}{3}\pi\kappa \rho_0 $$

Ta­ko­vou kon­stan­tu ozna­ču­je­me \(\rho_0\). Ta­ko­vé­to pra­vé stra­ně rov­ni­ce ří­ká­me kos­mo­lo­gic­ká kon­stan­ta a mů­že­me te­dy psát:

$$ \frac{\dot a(t)}{a(t)} = H = \sqrt{\frac{8}{3}\pi\kappa\rho_0} $$

obě stra­ny roz­ná­so­bí­me \(a(t)\) a do­sta­ne­me:

$$ \dot a(t) = a(t)\sqrt{\frac{8}{3}\pi\kappa\rho_0} $$

A ře­še­ním ta­ko­vé rov­ni­ce (di­fe­ren­ci­ál­ní) je ex­po­nen­ci­ál­ní funk­ce:

$$ a = Ce^{\sqrt{\frac{8}{3}\pi\kappa\rho_0}t}$$

A pro­to­že je to kla­sic­ká ex­po­nen­ci­ál­ní rov­ni­ce, kte­rá je vel­mi prud­ce a ne­u­stá­le ro­sou­cí, i vesmír se rozpí­ná stá­le rych­le­ji — což je přes­ně to, co se do­o­prav­dy po­zo­ru­je a jak se vesmír je­ví, že se cho­vá. Co způ­so­bu­je tu­to ak­ce­le­ra­ci? Prá­vě tem­ná ener­gie, což je hy­po­te­tic­ká ener­gie va­kua a ener­gie, kte­rou sdí­lí veš­ke­rá hmo­ta.

Vzpomínátel-li na ten­to ob­rá­zek, kde jsme ře­ši­li zá­vis­lost ener­ge­tic­ké hus­to­ty na roz­mě­rech:

Průběhy funkcí M/a^3 a N/a^4
Prů­běhy funk­cí M/a^3 a N/a^4

Mů­že­me graf obo­ho­a­tit ješ­tě o na­ši kos­mo­lo­gic­kou kon­stan­tu:

Průběhy hustot energií, včetně kosmologické konstanty
Prů­běhy hus­tot ener­gií, včet­ně kos­mo­lo­gic­ké kon­stan­ty

A tam vi­dí­me jas­ně, že nej­pr­ve se před­běh­ly gra­fy ra­di­ač­ní­ho vesmí­ru a hmo­to­vé­ho, ale pak i vesmí­ru, kte­rý se rozpí­ná po­mo­cí tem­né ener­gie. A to je přes­ně to, co jsme v ob­ráz­ku s roz­mě­ry vesmí­ru v zá­vis­los­ti na ča­se kres­li­li:

Rozpínání vesmíru -- co doopravdy pozorujeme
Rozpí­ná­ní vesmí­ru — co do­o­prav­dy po­zo­ru­je­me

Co je ta­to tem­ná enr­gie? To vlast­ně ne­ví­me. Ví­me jen, jak se pro­je­vu­je a ja­ké má vlast­nos­ti. Je­jí pů­vod je nám ale za­tím skry­tý. Po­kud se vesmír tak­to „urych­lu­je“ s rozpí­ná­ním, jed­nou sa­mo­zřej­mě se do­sta­ne­me do bo­du, kdy se z rych­los­ti:

$$ v = H D$$

sta­ne jed­no­du­še

$$ c= H D$$

a te­dy všech­ny ga­la­xie a ob­jek­ty, kte­ré bu­dou vzdá­le­něj­ší než \(D\) se pro nás sta­nou ne­vi­di­tel­né, ne­e­xis­tu­jí­cí. V sou­čas­nos­ti se uvá­dí, že ve­li­kost po­zo­ro­va­tel­né­ho vesmí­ru je 10 – 12 mi­li­ard svě­tel­ných let. Te­dy už vel­kou část vesmí­ru ne­vi­dí­me. A BUDE HŮŘ! 😀

Uží­vej­te dne a vě­řím, že vás ten­to člá­nek obo­ha­til 😉

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. jedná se o kla­sic­ký pří­klad s po­pu­lár­ně na­uč­nou me­to­dou, jak uká­zat rozpí­ná­ní vesmí­ru, ale po­u­ži­je­me ji ja­ko zá­klad i ta­dy
2. tedy ta­ko­vé­ho, kte­rý se rozpí­ná všu­de stej­ně
3. ča­so­vá zá­vis­lost vzdá­le­nost me­zi šou­řad­ni­ce­mi je nut­ná, pro­to­že bu­de­me ře­šit rozpí­ná­ní v ča­se
4. ponechme teď stra­nou, že bychom je nej­spí­še sa­mot­ným okem ne­vi­dě­li
5. Možná by by­lo vhod­né dát na pra­vou mí­ru ozna­čo­vá­ní vesmír­ných ob­jek­tů, je v tom, mys­lím si, dost vel­ký ne­po­řá­dek. Po­kud na­pí­ši „Ga­la­xie“ s vel­kým „G“, mys­lím tím na­ši ga­la­xii, ve kte­ré se na­chá­zí Slu­neč­ní sou­sta­va. Po­kud se řek­ne „Mléč­ná drá­ha“, jed­ná se o pruh ví­ce vi­di­tel­ných hvězd na noč­ní ob­lo­ze, ty­to ter­mí­ny se po­měr­ně zhus­ta za­mě­ňu­jí, ce­lý ná­zev je Ga­la­xie v Mléč­né drá­ze, zkrá­ce­ně Ga­la­xie. Po­kud pí­ši „ga­la­xie“, te­dy s ma­lým „g“, mys­lím tím ja­ká­ko­liv ji­ná ga­la­xie než Ga­la­xie 🙂 Dou­fám, že už v tom ne­bu­de zma­tek.
6. Newton, Isa­ac (1687). Phi­lo­so­phi­ae Na­tu­ra­lis Prin­ci­pia Mathe­ma­ti­ca. Lon­don. pp. The­o­rem XXXI.
7. Aby nám rov­ni­ce di­men­zi­o­nál­ně se­dě­la, mu­sí­me mít pros­tě srov­na­né di­men­ze jed­not­li­vých čle­nů. Pro­to­že před­po­klá­dá­me, že to po­čí­tá­me správ­ně, bu­de­me se muset dr­žet i to­ho­to zá­ko­na. V uve­de­né rov­ni­ci vi­dí­me, že má­me srov­na­né di­men­zi­o­nál­ně pou­ze dva čle­ny, te­dy ten s de­ri­va­cí a ten dru­hý bez de­ri­va­ce. V kon­stan­tě tu­díž mu­sí­me před­po­klá­dat, že se ně­ja­ký pr­vek ze stej­né di­men­ze tak­též bu­de na­chá­zet a tím pá­dem mů­že­me po­krá­tit.
8. Na wi­ki např.:
https://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann%E2%80%93Lema%C3%AEtre%E2%80%93Robertson%E2%80%93Walker_metric
9. od­kaz na PDF s dal­ší­mi hrát­ka­mi s rov­ni­ce­mi:
http://www.ita.uni-heidelberg.de/~dullemond/lectures/cosmology_2011/Chapter_4.pdf
10. Dá­le už jen FWRr.
11. Jinými slo­vy se tou­to kon­stan­tou ozna­ču­je tzv. kři­vost vesmí­ru
12. Viz člá­nek Ma­lý ne­ná­sil­ný úvod do fy­zi­ky čer­ných děr na mém hlav­ním blo­gu.
13. tuty po­jmy ne­mám úpl­ně rád, pros­tě ra­di­ati­on do­mi­nant uni­ver­semat­ter do­mi­nant uni­ver­se, te­dy vesmír s pře­va­hou zá­ře­ní a vesmír s pře­va­hou hmo­ty
14. samozřejmě pro zjed­no­du­še­ní

Entropie a termodynamické zákony

V člán­kuod­vo­ze­ní rov­ni­ce ide­ál­ní­ho ply­nu jsme na­kous­li ně­ko­lik ter­mo­dy­na­mic­kých zá­ko­ni­tos­tí, nicmé­ně by­lo by dob­ré, abychom se na ter­mo­dy­na­mi­ku po­dí­va­li i tro­chu obec­ně­ji a do hloub­ky.

Rov­ni­ci idál­ní­ho ply­nu jsme si již od­vo­di­li, ny­ní však pro při­po­me­nu­tí:

$$PV=nRT$$

kde \(P\) od­po­ví­dá tla­ku ply­nu, \(V\) je­ho ob­je­mu, \(n\) mo­lár­ní­mu množ­ství ply­nu, \(R\) je ply­no­vá kon­stan­ta a \(T\) od­po­ví­dá tep­lo­tě ply­nu.

Dá­le vy­u­ži­je­me 1. ter­mo­dy­na­mic­ké­ho zá­ko­na, kte­rý nám struč­ně ří­ká, že změ­na vnitř­ní ener­gie ně­ja­ké sou­sta­vy od­po­ví­dá souč­tu změn prá­ce a při­ja­té­ho tep­la, tedy[1]Další in­for­ma­ce kupří­kla­du na http://​fy​zi​ka​.jre​ichl​.com/​m​a​i​n​.​a​r​t​i​c​l​e​/​v​i​e​w​/​5​8​1​-​p​r​v​n​i​-​t​e​r​m​o​d​y​n​a​m​i​c​k​y​-​z​a​kon :

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}w + \mathrm{d}q$$

 Vy­u­žijme těch­to zna­los­tí při pro­hlíd­ce oby­čej­né­ho pís­tu a vál­ce:

píst bez popisků

 Ze­le­ně je zob­ra­zen ně­ja­ký (ide­ál­ní) plyn, še­di­vě po­tom píst, čer­né jsou kon­tu­ry. Před­stav­me si ny­ní si­tu­a­ci, kdy plyn troš­ku „při­máčk­ne­me“:

píst síla a vzdálenost

Po­kud bu­de­me pů­so­bit ně­ja­kou si­lou \(F\) na da­nou plo­chu \(A\), ví­me, že tvo­ří­me ně­ja­ký tlak, kon­krét­ně te­dy \(P = \frac{F}{A}\). Tak­též ví­me, že prá­ce \(w\) od­po­ví­dá sí­le \(F\) po ně­ja­ké drá­ze \(l\), te­dy \(W = F \cdot l\).

Budeme-li se za­jí­mat pou­ze o drob­nou změ­nu prá­ce, te­dy \(\mathrm{d}w\), po­té mů­že­me psát:

$$\mathrm{d}w = F \cdot \mathrm{d}l$$

 Vý­še jsme si řek­li, že \(P = \frac{F}{A}\), te­dy \(F = P A\), mů­že­me te­dy do­sa­dit:

$$\mathrm{d}w = P A \cdot \mathrm{d}l$$

Nu a do jsme se uči­li už na zá­klad­ní ško­le o plo­še a výš­ce? Vynásobíme-li je, do­sta­ne­me ob­jem! Tak­že vzhů­ru do to­ho:

$$\mathrm{d}w = P \cdot \mathrm{d}V$$

Správ­ně­ji te­dy \(\mathrm{d}w = {- P} \cdot \mathrm{d}V\), pro­to­že \(\mathrm{d}l\) zde ob­jem sni­žu­je a ne zvy­šu­je (te­dy správ­ně bychom od za­čát­ku mě­li psát \({-\mathrm{d}l}\), ale je dou­fám jas­né, kde se vza­lo. Ta­ké vi­dí­me dů­le­ži­tý zá­věr: Po­kud se ne­změ­ní ob­jem, ne­ní práce[2]Zde by to chtě­lo po­dotknout, že mlu­ví­me sa­mo­zřej­mě o fy­zi­kál­ní prá­ci. Tak­že po­kud jste ne­za­měst­na­ní a zhub­ne­te, prá­ci ne­do­sta­ne­te 🙂 .

 Prv­ní ter­mo­dy­na­mic­ký zá­kon te­dy mů­že­me pře­psat ja­ko:

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}q – P \mathrm{d}V$$

Mů­že­me te­dy tvr­dit, že ener­gie je funk­cí tep­lo­ty a objemu[3]Proč ne tla­ku? Tlak je totiž de­fi­no­ván po­mo­cí těch­to dvou ve­li­čin (ne­ní to ne­zá­vis­lá ve­li­či­na). Pro­to te­dy­pou­ze tep­lo­ta a ob­jem.:

$$u = f(T, V)$$

 kon­krét­ně­ji te­dy:

$$\mathrm{d}u = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V} \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_{T} \mathrm{d}V $$

To zna­me­ná, že změ­na ener­gie se dá po­psat ja­ko par­ci­ál­ní de­ri­va­ce ener­gie vzhle­dem k tep­lo­tě, po­kud za­cho­vá­me kon­stant­ní ob­jem, krát změ­na tep­lo­ty, plus par­ci­ál­ní de­ri­va­ce ener­gie vzhle­dem k ob­je­mu, po­kud za­cho­vá­me kon­stant­ní tep­lo­tu, krát změ­na ob­je­mu.

Nicmé­ně — po­dí­vej­me se ny­ní na dru­hou část zlom­ku. Po­kud je ob­jem kon­stant­ní, po­té \(\mathrm{d}V\) je nu­lo­vé (změ­na \(V\) je nu­lo­vá), pro­to nám te­dy ce­lá dru­há část zlom­ku vy­pad­ne a mů­že­me psát:

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}q + \mathrm{d}w = \mathrm{d}q + 0 = \mathrm{d}q = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V} \mathrm{d}T$$

Po­sled­ní čás­ti „před“ \(\mathrm{d}T\), te­dy \(\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V} = C_V\) ří­ká­me te­pel­ná ka­pa­ci­ta při kon­stant­ním ob­je­mu. Te­dy:

$$\mathrm{d}u = \mathrm{d}q = C_V \mathrm{d}T$$

To vše jsme si de­fi­no­va­li, abychom si moh­li de­fi­no­vat ná­sle­du­jí­cí ter­mín:

Entropie

Než tak však uči­ní­me, de­fi­nuj­me si ješ­tě tzv. en­tal­pii. Ozna­čí­me ji vel­kým pís­me­nem \(H\) a bu­de pro ni platit[4]Více in­for­ma­cí: http://​scienceworld​.wolfram​.com/​p​h​y​s​i​c​s​/​E​n​t​h​a​l​p​y​.​h​tml:

$$ H = u + P V $$

En­tal­pie je te­dy funk­cí tep­lo­ty a tla­ku, te­dy \(H = f(T, P)\). Pod­le prv­ní­ho ter­mo­dy­na­mic­ké­ho zákona[5]dále jen TZ1 jsme si uká­za­li:

$$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}q + \mathrm{d}w = \mathrm{d}q – P \mathrm{d}V$$

Mů­že­me te­dy troš­ku po­pře­há­zet pís­men­ka, aby:

$$ \mathrm{d}u + P \mathrm{d}V = \mathrm{d}q$$

a te­dy

$$ \mathrm{d} (u+PV) = \mathrm{d}q $$

či­li

$$ \mathrm{d}H = \mathrm{d}q $$

Vi­dí­me, že te­dy en­tal­pie je funk­cí tep­lo­ty a tla­ku, te­dy \(H(T,P)\). A mů­že­me sa­mo­zřej­mě opět vy­tvo­řit par­ci­ál­ní de­ri­va­ce:

$$ \mathrm{d}H = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_T \mathrm{d}P = \mathrm{d}q$$

Nu a opět, po­kud uva­žu­je­me kon­stant­ní tlak, ce­lé \(\mathrm{d}P\) bu­de nu­lo­vé, či­li:

$$ \mathrm{d}H = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P \mathrm{d}T = \mathrm{d}q$$

Čás­ti \(\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P\) ří­ká­me te­pel­ná ka­pa­ci­ta při kon­stant­ním tla­ku. A mů­že­me si (po pře­há­ze­ní pís­me­nek) uká­zat, že:

$$ \mathrm{d}q = C_p \mathrm{d}T$$

Shrň­me si ny­ní, co ví­me: Ví­me \(C_p\), \(C_V\), zná­me vzo­rec pro en­tal­pii. Zkus­me si s ním ny­ní troš­ku po­hrát:

$$ H = u + PV $$

$$ \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p + \left(\frac{\partial PV}{\partial T}\right)_p $$

Vi­dí­me, že po­kud bychom de­ri­vo­va­li (par­ci­ál­ně) při kon­stant­ním tla­ku, po­sled­ní část, kde bychom de­ri­vo­va­li i tlak sa­mot­ný, by se pře­ved­la na \(\left(\frac{P \mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_p\), te­dy:

$$ \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p + \left(\frac{P \mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_p $$

Vrátíme-li se na chvil­ku zpět k rov­ni­ci ide­ál­ní­ho ply­nu, te­dy \(PV = nRT\), po­kud troš­ku pře­há­zí­me pís­men­ka a vy­já­d­ří­me ja­ko di­fe­ren­ci­á­ly:

$$ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} = \frac{nR}{P} $$

Pro zjed­no­du­še­ní před­po­klá­dej­me, že \(n=1\), či­li:

$$ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} = \frac{R}{P} $$

a te­dy

$$ \frac{P \mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} = R $$

Vi­dí­me, že to je to, co nám vy­šlo vý­še ja­ko je­den z čle­nů souč­tu — mů­že­me te­dy do­sa­dit do vzor­ce vý­še to, co už zná­me:

$$ C_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p + R $$

Nicmé­ně abychom „mi­ni­ma­li­zo­va­li“ i ten­to vzo­rec, mu­se­li bychom mít kon­stant­ní ji­nou ve­li­či­nu. Po­kud má­me kon­stant­ní tlak, tak změ­na ob­je­mu pod­le tep­lo­ty ne­ní to, co  by se nám zrov­na ho­di­lo. Ale už jsme „sko­ro“ tam, mu­sí­me ako­rát udě­lat ma­lý trik. Vy­u­ži­je­me „ře­tě­zo­vé­ho zákona“[6]Nevím, jak to lé­pe pře­lo­žit, kaž­do­pád­ně dal­ší in­for­ma­ce o tom zde: http://​en​.wi​ki​pe​dia​.org/​w​i​k​i​/​T​r​i​p​l​e​_​p​r​o​d​u​c​t​_​r​ule.. A ten nám ne­ří­ká nic ji­né­ho, že na­ši par­ci­ál­ní de­ri­va­ci při kon­stant­ním tla­ku mů­že­me ro­ze­psat ná­sle­dov­ně:

$$ \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V + \left[\left(\frac{\partial u}{\partial V}\right)_T\right] \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p $$

Po­dí­vej­me se ny­ní na tře­tí zá­vor­ku, resp. dru­hou, jdeme-li od rov­nít­ka vpra­vo (zvý­raz­nil jsem ji hra­na­tý­mi zá­vor­ka­mi). Ta ope­ru­je se změ­nou ener­gie při kon­stant­ní tep­lo­tě. Nicmé­ně vý­še jsme si řek­li, že po­kud je kon­stant­ní tep­lo­ta, nejde žád­ná ener­gie dovnitř ani ven[7]Tzn. jed­ná se o do­ko­na­lý stroj, kte­rý pře­vá­dí te­pel­nou ener­gii na ener­gii po­hy­bu pís­tu tře­ba — si­ce je to ide­ál­ní za­ří­ze­ní, ale nám se to teď dost ho­dí.. Změ­na ener­gie je te­dy nu­lo­vá — čímž i sou­čin je nu­lo­vý a ce­lá po­sled­ní část vzor­ce „vy­pad­ne“.

Po­lo­ží­me pro­to rov­nost:

$$ \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_V $$

čímž si znač­ně zjed­no­du­ší­me prá­ci s vý­ra­zem vý­še. Mů­že­me totiž po­sled­ní část na­zvat \(C_V\), či­li te­pel­nou ka­pa­ci­tu při kon­stant­ním ob­je­mu. A te­dy sa­mo­zřej­mě pak pla­tí, že:

$$ C_p = C_V + R $$


Po­dí­vej­me se ny­ní, co te­dy již ví­me:

$$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}q + \mathrm{d}w = \mathrm{d}q + p\mathrm{d}V = C_V \mathrm{d}T $$

Na tom dá­le vystavíme[8]a již br­zy se do­sta­ne­me ke slí­be­né en­t­ro­pii, sli­bu­ji 🙂 , nicmé­ně mu­sí­me se po­dí­vat na dal­ší „kus“ in­for­ma­cí ze svě­ta ter­mo­dy­na­mi­ky — růz­né pro­ce­sy. Ur­či­tě jste o nich už ně­kdy sly­še­li, ale pro zo­pa­ko­vá­ní si na­pí­še­me ma­lý se­znam:

  • iso­ter­mic­ký děj je ta­ko­vý, bě­hem kte­ré­ho zů­stá­vá stej­ná tep­lo­ta
  • iso­ba­ric­ký děj je ta­ko­vý děj, bě­hem ně­hož zů­stá­vá kon­stant­ní tlak
  • iso­cho­dir­ký děj ta­ko­vý, kdy zů­stá­vá kon­stant­ní ob­jem
  • isen­tal­pic­ký děj — zů­stá­vá za­cho­vá­na en­tal­pie

Kro­mě těch­to tří exis­tu­jí ješ­tě isen­t­ro­pic­ký  děj, kde zů­stá­vá za­cho­vá­na en­t­ro­pie. Za­tím však ne­ví­me, co to je, ne­bu­du ho tam uvádět[9]A sa­mo­zřej­mě až bu­de­te vě­dět, co to je a jak je de­fi­no­vá­no, mů­že­te si to tam vir­tu­ál­ně při­řa­dit. Zbý­vá však je­den, na kte­rý se ješ­tě mu­sí­me po­dí­vat — děj adi­a­ba­tic­ký.

Adiabatický děj

Adi­a­ba­tic­ký děj je ta­ko­vý, bě­hem ně­hož zů­stá­vá cel­ko­vé tep­lo[10]po­zor, no­ko­liv tep­lo­ta!! dě­je kon­stant­ní. Sa­mo­zřej­mě se mů­že mě­nit lec­cos ostat­ní­ho, včet­ně tep­lo­ty, ale tep­lo sys­té­mu je kon­stant­ní. Jak je to mož­né?

Mů­že­me náš tes­to­va­cí sys­tém tře­ba do­ko­na­le (či co nej­do­ko­na­le­ji) odi­zo­lo­vat od okol­ní­ho svě­ta. Dů­le­ži­té je, že žád­né tep­lo nejde ani dovnitř, ani ven. Mů­že­me te­dy tvr­dit, že \(\mathrm{d}q = 0\). Po­dí­vej­me se ješ­tě jed­nou na vztah:

$$\mathrm{d}u=\mathrm{d}q-p\mathrm{d}V=C_V\mathrm{d}T$$

Řek­li jsme si, že \(\mathrm{d}q=0\), či­li mů­že­me ten­to člen s klid­ným svě­do­mím vy­pus­tit:

$$\mathrm{d}u={-p}\mathrm{d}V=C_V\mathrm{d}T$$

Tlak \(p\) si mů­že­me vy­já­d­řit z nám již zná­mé­ho $pV=nRT$:

$$ p=\frac{nRT}{V} $$

A mů­že­me te­dy do­sa­dit:

$$\mathrm{d}u = {-\frac{nRT}{V}}\mathrm{d}V = C_V \mathrm{d}T$$

a po troš­ku úpravách[11]Jen pře­há­zí­me „sem a tam“ přes rov­nít­ko růz­né pro­měn­né tak, aby nám na jed­né stra­ně u se­be zby­ly di­fe­ren­ci­á­ly a pro­měn­né tep­lo­ty, na dru­hé ob­je­mu. zís­ká­me:

$$ {-nR}\frac{\mathrm{d}V}{V}=\frac{C_V\mathrm{d}T}{T} $$

Sa­mo­zřej­mě bu­de­me po­va­žo­vat opět \(n=1\)[12]molární množ­ství lát­ky, tak­že se to ce­lé zjed­no­du­ší na:

$$ {-R}\frac{\mathrm{d}V}{V}=\frac{C_V\mathrm{d}T}{T} $$

Men­ší už to snad ani ne­mů­že být, má­me při­pra­ve­no na in­te­gro­vá­ní. In­te­gro­vá­ní je ma­te­ma­tic­ká ope­ra­ce in­verz­ní k de­ri­vo­vá­ní (a par­ci­ál­ní­mu de­ri­vo­vá­ní), po­kud bu­de zá­jem, o těch­to me­to­dách zvlášť na­píšu člá­nek. Na­pí­še­me te­dy:

$$ {-R}\int_{V_1}^{V_2}\frac{\mathrm{d}V}{V} = {C_V}\int_{T_1}^{T_2}\frac{\mathrm{d}T}{T}$$

a zin­te­gru­je­me. Funk­ce \(\frac{1}{x}\) se zin­te­gru­je na \(ln(x) +C\), te­dy ro­zin­te­gro­va­né bu­de:

$$ {-R}\left[\ln(V)\right]_{V_1}^{V_2} = C_V \left[\ln(T)\right]_{T_1}^{T_2}$$

Po dosazení[13]Jak na to se do­zví­te v tom sli­bo­va­ném člán­ku o in­te­grá­lech, ale když se na to za­kou­ká­te, vy­mys­lí­te to 🙂 bu­de:

$$ {-R}\left(\ln(V_2)-\ln(V_1)\right) = C_V \left( \ln(T_2)-\ln(T_1)\right) $$

Pod­le pra­vi­del o lo­ga­rit­mo­vá­ní te­dy:

$$ {-R}\ln\frac{V_2}{V_1} = C_V \ln \frac{T_2}{T_1}$$

A abychom se zba­vi­li „mí­nus“ před \(R\), sta­čí si před­sta­vit, jak by to vy­pa­da­lo, po­kud bych se ho zba­vil již vý­še, než jsem po­u­žil pra­vi­dla o lo­ga­rit­mo­vá­ní — oto­či­lo by se pou­ze po­řa­dí, te­dy:

$$ {R}\ln\frac{V_1}{V_2} = C_V \ln \frac{T_2}{T_1}$$

Dá­le po­u­ži­ji pra­vi­dla o lo­ga­rit­mo­vá­ní sou­či­nu, kte­rý se v lo­ga­rit­mu pře­ve­de na moc­ni­nu. Tak­že vzhů­ru do to­ho:

$$ \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{R} = \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^{C_V}$$

Po­kud se po­dí­vá­me, je jas­né, že aby to­to pla­ti­lo, mu­sí se „vnitř­ky zá­vo­rek“ me­zi se­bou rov­nat (zá­vor­ka vpra­vo a zá­vor­ka vle­vo). Mů­že­me te­dy na­psat:

$$ \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{R}{C_V}} = \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$$

A te­dy i:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\frac{R}{C_V}} =  \frac{T_2}{T_1}$$

Vzpo­meň­me si ny­ní na vztah:

$$C_P = C_V + R$$

Ne­ní vám to po­vě­do­mé? 🙂 Z to­ho pře­ce mů­že­me snad­no vy­já­d­řit \(R\):

$$R = C_P – C_V$$

a te­dy (ce­lý vztah po­dě­lí­me \(C_V\))

$$ \frac{R}{C_V} = \frac{C_P}{C_V} – \frac{C_V}{C_V}$$

A to sa­mo­zřej­mě mů­že­me po­krá­tit na

$$ \frac{R}{C_V} = \frac{C_P}{C_V} – 1$$

Abychom si troš­ku zjed­no­du­ši­li prá­ci (dob­ře, abych si ji zjed­no­du­šil já, ne­ba­ví mě psát v \(\LaTeX\)u zlom­ky 😀 ), na­zvu pro teď vý­raz \(\frac{C_V}{C_P}=\xi\)[14]Tuten pa­znak se čte ja­ko „ksí“. Pak sa­mo­zřej­mě pla­tí, že:

$$ \frac{R}{C_V} =\xi-1$$

Sa­mo­zřej­mě te­dy mů­že­me pů­vod­ní vztah pře­psat ja­ko:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{T_2}{T_1} $$

Vrať­me se ny­ní zpět k rov­ni­ci ide­ál­ní­ho ply­nu:

$$ PV = nRT$$

a vy­já­d­ře­me si \(T\), po­lož­mě \(n=1\) ja­ko před tím:

$$ T = \frac{PV}{R}$$

Do­sa­ď­me ny­ní do no­vě vznik­nuvší­ho vzta­hu:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{\frac{P_2V_2}{R}}{\frac{P_1V_1}{R}} $$

Sa­mo­zřej­mě mů­že­me s klid­ným svě­do­mím po­krá­tit \(R\):

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{{P_2V_2}}{{P_1V_1}} $$

Ny­ní se mů­že­me snad­no zba­vit \(V_1\) a \(V_2\) — přen­dá­me je na dru­hou stra­nu, či­li:

$$\frac{V_1}{V_2} \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1} =\frac{P_2}{P_1} $$

což sa­mo­zřej­mě pře­pí­še­me na:

$$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi}=\frac{P_2}{P_1} $$

Z to­ho snad­no vy­já­d­ří­me:

$$P_1V_1^{\xi}=P_2V_2^{\xi} $$

Vi­dí­me, že po­kud se mu­sí rov­nat le­vá a pra­vá stra­na rov­ni­ce, mu­sí být kon­stant­ní obec­ný vý­raz \(\left(PV\right)^\xi\).

Zpátky však k entropii!

Ny­ní, když už ro­zu­mí­me adi­a­ba­tic­ké­mu dě­ji, má­me téměř všech­ny dů­le­ži­té in­for­ma­ce k to­mu, abychom moh­li vy­já­d­řit a po­cho­pit i ter­mín en­t­ro­pie. Za­čně­me se te­dy vě­no­vat te­pel­ným pro­ce­sům, kon­krét­ně tzv. Car­no­to­vu [15]In­for­ma­ce např. zde: http://​www​-his​to​ry​.mcs​.st​-an​drews​.ac​.uk/​B​i​o​g​r​a​p​h​i​e​s​/​C​a​r​n​o​t​_​S​a​d​i​.​h​tml cyklu[16]Moc hez­ké in­for­ma­ce a in­ter­ak­tiv­ní aple­ty ma­jí tře­ba zde: http://​hy​per​phy​s​ics​.phy​-as​tr​.gsu​.edu/​h​b​a​s​e​/​t​h​e​r​m​o​/​c​a​r​n​o​t​.​h​tml.

Car­not si po­lo­žil jed­no­du­chou otáz­ku: Existuje-li ně­ja­ký te­pel­ný zdroj, tak máme-li ně­ja­kou mož­nost vzít ně­ja­ký pří­stroj (obec­ně te­pel­ný stroj), kte­rý je scho­pen tep­lo to­ho­to zdro­je pře­vá­dět na prá­ci, po­kud mož­no 100% efek­tiv­ně. A uká­za­lo se, že nikoliv[17]Dnes nám to už mů­že při­jít ja­ko sa­mo­zřej­most, ale stej­ně po svě­tě běhá spous­tu li­dí, co si mys­lí, že vy­na­lezlo per­pe­tum mo­bi­le, což je­ho exis­ten­ci pří­mo ja­ko dů­sle­dek to­ho­to zjiš­tě­ní vy­vra­cí.

Vezmeme-li te­dy ně­ja­ký te­pel­ný zdroj:

Carnotuv cyklus -- tepelný zdroj

Při­dá­me stroj, kte­rý má to­to tep­lo zpra­co­vá­vat:

Carnotuv cyklus -- tepelný stroj

Tak se ptá­me, jest­li exis­tu­je ta­ko­vý stroj, kte­rý je scho­pen 100% pře­nést veš­ke­ré tep­lo na prá­ci, te­dy že pra­cu­je se 100% účin­nos­tí:

Carnotuv cyklus -- existuje takovy stroj

Uká­za­lo se však, že ta­ko­vý stroj mů­že exis­to­vat pou­ze v ide­ál­ních pod­mín­kách, nicmé­ně ty nejsou do­sa­ži­tel­né. Kaž­dý ta­ko­vý stroj totiž ope­ru­je i se zbyt­ko­vým tep­lem, kte­ré je pře­dá­vá­no dál oko­lí:

Carnotuv cyklus -- zbytkové teplo

Ny­ní si vše ukaž­me troš­ku exakt­ně­ji:

Ze „si­tu­ač­ní­ho plán­ku“ vi­dí­me, že vý­stup­ní prá­ce \(W\) bu­de rov­na roz­dí­lu \(W=Q_1 – Q2\). Ví­me tak­též, že efek­ti­vi­ta ně­ja­ké sou­sta­vy se dá vel­mi obec­ně vy­já­d­řit ja­ko \(\frac{ven}{dovnitř}\). Te­dy:

$$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 – Q_2}{Q_1} = 1-\frac{Q_2}{Q_1}$$

A ny­ní si po­lož­mě otáz­ku, kdy mů­že být \(\eta\) rov­no jed­né — či­li 100% účin­nost. Buď bychom mu­se­li mít ne­ko­neč­ně vel­ké tep­lo \(Q_1\), abychom mi­ni­ma­li­zo­va­li zlo­mek jme­no­va­te­lem, ane­bo bychom mu­se­li mít ab­so­lut­ní nu­lu \(Q_2\), čímž bychom mi­ni­ma­li­zo­va­li zlo­mek či­ta­te­lem. Dru­hé­ho jme­no­va­né­ho jsme pře­ce jen blí­že do­sáh­nout, ale přes­to to­ho nejsme schop­ni do­sáh­nout ab­so­lut­ně.

Abychom si však po­psa­li ta­ko­vý pro­ces cyk­lic­ky, je po­tře­ba po­u­žít tzv. Car­no­to­va cyk­lu, což je tep­le­ný cyk­lus, kde ně­kdy mě­ní­me sta­vy adi­a­ba­tic­ky a ně­kdy iso­ter­mic­ky. To opa­ku­je­me po­řád do­ko­la a sle­du­je­me vstu­py a vý­stu­py, čímž jsme schop­ni opět spo­čí­tat efek­ti­vi­tu ta­ko­vé sou­sta­vy.

Před­stav­me si te­dy zno­vu náš ze­le­ný píst ze za­čát­ku člán­ku, kde se bu­de­me sna­žit vy­vo­lat adi­a­ba­tic­ké a iso­ter­mic­ké změ­ny. Abychom to však vza­li troš­ku „pro­fe­si­o­nál­ně“, ex­pe­ri­men­ty si ne­chá­me tře­ba do la­bo­ra­to­ře, my si vše po­pí­še­me krás­ně gra­fem, kon­krét­ně tzv. PV gra­fem. Jak pís­men­ka na­po­ví­da­jí, \(P\) od­po­ví­dá tla­ku a \(V\) od­po­ví­dá ob­je­mu:

pv graf

Vy­ne­s­me si ny­ní na ně ně­ko­lik bo­dů (sa­mo­zřej­mě po­stup­ně): Nejdří­ve za­čně­me ně­ja­kým vý­cho­zím sta­vem, na­zvě­me si ho tře­ba \(A\):

pv graf -- A

Od to­ho­to bo­du se iso­ter­mic­ky bu­de­me po­hy­bo­vat k bo­du B:

pv graf -- AB

Bě­hem to­ho­to pro­ce­su vi­dí­me, že se zvy­šu­je ob­jem, avšak pro­to­že se jed­ná o iso­ter­mic­ký děj, zů­stá­vá kon­stant­ní tep­lo­ta, na­zvě­me ji \(T_1\). Mu­sí­me te­dy do sys­té­mu do­dá­vat ně­ja­ké tep­lo, aby by­la sou­sta­va vy­rov­ná­na, což ta­ké dě­lá­me. Dá­le pře­jdě­me k bo­du \(C\), ke kte­ré­mu se do­sta­ne­me adi­a­ba­tic­kou ces­tou (žád­né tep­lo dovnitř ani ven):

 pv graf -- BC2

Pro­to­že se po­hy­bu­je­me po adi­a­ba­tě, žád­né tep­lo ne­do­dá­vá­me ani ne­be­re­me, ob­jem se pří­liš ne­mě­ní, ale sni­žu­je se tlak — ko­ná­me prá­ci. V dal­ší ite­ra­ci se do­stá­vá­me do bo­du \(D\) — opět ja­ko iso­ter­mic­ký děj:

pv graf -- CD

No a pro­to­že pla­tí to­též, co pro \(AB\) po­sun, te­dy že se mě­ní ob­jem, ale tep­lo­ta zů­stá­vá kon­stant­ní, mu­sí­me ně­ja­ké tep­lo ode­vzdá­vat, či­li zde vi­dí­me „vznik“ \(Q_2\).  Na­ko­nec nám zbý­vá po­sled­ní adi­a­ba­tic­ký děj, totiž \(DA\)[18]A ne, ne­ní to Dra­gon Age! 🙂 :

pv graf -- DA

Jsme te­dy opět „na za­čát­ku“ na­še­ho cyk­lu a ten se po­řád do­ko­la opa­ku­je. Vyjádříme-li si ny­ní z nám již vel­mi dob­ře zná­mé rov­ni­ce ide­ál­ní­ho ply­nu tlak, do­sta­ne­me:

$$ PV = nRT $$

$$ P = \frac{nRT}{V}$$

Dá­le ví­me, že \(\mathrm{d}u = \mathrm{d}q – P\mathrm{d}V\), jen­že co vy­ja­dřu­je \(\mathrm{d}u\)? Vy­ja­dřu­je „změ­nu množ­ství tep­la“ (či vnitř­ní ener­gie sys­té­mu). Když se však na cyk­lus po­dí­vá­te, za­ča­li jsme v bo­dě \(A\), a ve stej­ném jsme vlast­ně i skon­či­li. Ne­do­da­li jsme pro­to žád­nou ener­gii na­víc, všech­na by­la vy­zá­ře­na v po­do­bě ztrát či tak po­dob­ně — mů­že­me te­dy s klid­ným srd­cem po­lo­žit \(\mathrm{d}u = 0\) a po­tom už je snad­né psát:

$$ 0 = \mathrm{d}q – P\mathrm{d}V$$

$$\mathrm{d}q = P\mathrm{d}V$$

Mů­že­me in­te­gro­vat, pro kaž­dou tep­lo­tu mu­sí­me zvlášť:

$$ Q_1 = \int_{V_A}^{V_B} nRT_1 \frac{\mathrm{d}V}{V}=nRT_1\ln\frac{V_B}{V_A}$$

$$ Q_2 = – \int_{V_C}^{V_D} nRT_2 \frac{\mathrm{d}V}{V}=- nRT_2\ln\frac{V_D}{V_C}$$

Mi­nus u \(Q_2\) zna­čí, že tep­lo „dá­vá­me ven“, tzn. ubý­vá (a pro­to mí­nus). Dří­ve jsme si vy­já­d­ři­li, že \(\eta\), te­dy účin­nost sys­té­mu, se dá za­psat ja­ko:

$$ \eta = 1-\frac{Q2}{Q1}$$

A ne­zbý­vá, než do­sa­dit no­vě zjiš­tě­ná „kvé“:

$$ \eta = 1-\frac{nRT_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{nRT_1\ln\frac{V_B}{V_A}} = 1 – \frac{T_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{T_1\ln\frac{V_B}{V_A}}$$

Jak to zjed­no­du­šit? Do­kaž­me, že část zlom­ku, kde po­rov­ná­vá­me lo­ga­ritmy, je kon­stant­ní, kon­krét­ně je rov­na jed­né.

Ví­me už, že:

$$ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\xi-1}$$

A po pře­há­ze­ní pro­měn­ných te­dy:

$$T_2V_2^{\xi-1} = T_1V_1^{\xi-1}$$

Z gra­fu Car­no­to­va cyk­lu mů­že­me dá­le ur­čit, že pro da­né ob­je­my a te­dy i kraj­ní bo­dy vpra­vo a vle­vo mů­že­me dát do rov­nos­ti (to­hle je troš­ku těž­ší krok na před­sta­vi­vost, ale po­dí­vej­te se po­řád­ně na graf, vy­ply­ne to z to­ho 🙂 ):

Pro bo­dy „vpra­vo“:

$$T_1V_B^{\xi-1} = T_2V_C^{\xi-1}$$

Pro bo­dy „vle­vo“:

$$ T_1V_A^{\xi-1} = T_2V_D^{\xi-1}$$

Tu­to sou­sta­vu te­dy mů­že­me pře­psat ja­ko:

$$\frac{T_1V_B^{\xi-1}}{T_1V_A^{\xi-1}} = \frac{T_2V_C^{\xi-1}}{T_2V_D^{\xi-1}}$$

Mů­že­me po­krá­tit tep­lo­ty a zís­ká­me:

$$\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\xi-1} = \left(\frac{V_C}{V_D}\right)^{\xi-1}$$

A te­dy vi­dí­me, že ob­sa­hy zá­vo­rek mu­sí být stej­né, aby rov­nost pla­ti­la. Vrátíme-li se pro­to k pů­vod­ní­mu vzor­ci pro \(\eta\):

$$ \eta = 1-\frac{nRT_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{nRT_1\ln\frac{V_B}{V_A}} = 1 – \frac{T_2\ln\frac{V_C}{V_D}}{T_1\ln\frac{V_B}{V_A}}$$

Vi­dí­me, že mů­že­me s kli­dem po­měr lo­ga­rit­mů po­krá­tit, pro­to­že se pros­tě jed­ná jed­né. Zby­de nám te­dy:

$$\eta = 1-\frac{Q_2}{Q_1} = 1-\frac{T_2}{T_1}$$

A z to­ho jas­ně ply­ne, že:

$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}$$

Troš­ku po­pře­ha­zu­je­me pís­men­ka, a zís­ká­me:

$$\frac{Q_2}{T_2} = \frac{Q_1}{T_1}$$

kde po­měr \(\frac{Q}{T}\) je kon­stant­ní a na­zve­me ho (hu­rá po­tlesk) en­t­ro­pie. Tu dá­le bu­de­me ozna­čo­vat ja­ko \(S\).

Neklesavost entropie

Ur­či­tě jste ně­kde (ne­di­vil bych se, kdy­by v ně­ja­kém sci-fi) sly­še­li, že en­t­ro­pie vesmí­ru stá­le stou­pá. Co si pod tím před­sta­vit? Proč? Jak? Do­kaž­me si ny­ní na na­šem ma­lém ex­pe­ri­men­tu s Car­no­to­vým cyk­lem a te­pel­ným stro­jem, co to zna­me­ná a kde se ně­co ta­ko­vé­ho vza­lo.

Vý­še jsme si vy­já­d­ři­li dva vzta­hy:

$$ \eta_{max} = 1-\frac{T_2}{T_1}$$

a

$$ \eta_{max} = \frac{W}{Q_1}$$

Ne­ní nic leh­čí­ho, než je spo­jit přes \(\eta\) do­hro­ma­dy:

$$\frac{W}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}$$

a te­dy:

$$ W \leq Q_1 \left(1-\frac{T_2}{T_1}\right)$$

Proč jsem při­dal „ne­rov­ná se“? Přes­ně ze stej­né­ho dů­vo­du, proč jsem k \(\eta\) při­dal in­dex „max“ — jed­ná se totiž o vý­po­čty s ma­xi­mál­ní účin­nos­tí, ni­ko­liv ab­so­lut­ní. Pro­to prá­ce bu­de vždy ma­xi­mál­ně ta­ko­vá, ja­ká je — pří­pad­ně mů­že být jen niž­ší.

Dá­le ví­me, že \(W = Q_1 – Q_2\). Mů­že­me te­dy psát:

$$ Q_1 – Q_2 \leq Q_1 \left(1-\frac{T_2}{T_1}\right)$$

Roz­ná­so­bí­me:

$$ Q_1 – Q_2 \leq Q_1-\frac{Q_1 T_2}{T_1}$$

a vi­dí­me, že \(Q_1\) mů­že­me z rov­ni­ce s klid­nou du­ší vy­ho­dit:

$$- Q_2 \leq -\frac{Q_1 T_2}{T_1}$$

Oto­čí­me:

$$ Q_2 \geq \frac{Q_1 T_2}{T_1}$$

Pře­há­zí­me pís­men­ka:

$$ \frac{Q_2}{T_2} \geq \frac{Q_1}{T_1}$$

A to je vše 🙂 Vi­dí­me, že po skon­če­ní pro­ce­su bu­de en­t­ro­pie vždy ne men­ší, te­dy stej­ná či vět­ší, než před za­čát­kem ta­ko­vé­ho pro­ce­su. A to je dů­vod, proč en­t­ro­pie ne­u­stá­le ros­te — pro­to­že pros­tě ne­mů­že být men­ší.

To by pro za­čá­tek s ter­mo­dy­na­mi­kou sta­či­lo, příš­tě se za­se po­dí­vá­me na ně­ja­ké čás­ti­ce, tak se těš­te 😉 Zde si též mů­že­te stáh­nout mé po­znám­ky k člán­ku, ze kte­rých jsem vy­chá­zel (po­kud to po mně pře­čte­te) 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Další in­for­ma­ce kupří­kla­du na http://​fy​zi​ka​.jre​ichl​.com/​m​a​i​n​.​a​r​t​i​c​l​e​/​v​i​e​w​/​5​8​1​-​p​r​v​n​i​-​t​e​r​m​o​d​y​n​a​m​i​c​k​y​-​z​a​kon
2. Zde by to chtě­lo po­dotknout, že mlu­ví­me sa­mo­zřej­mě o fy­zi­kál­ní prá­ci. Tak­že po­kud jste ne­za­měst­na­ní a zhub­ne­te, prá­ci ne­do­sta­ne­te 🙂
3. Proč ne tla­ku? Tlak je totiž de­fi­no­ván po­mo­cí těch­to dvou ve­li­čin (ne­ní to ne­zá­vis­lá ve­li­či­na). Pro­to te­dy­pou­ze tep­lo­ta a ob­jem.
4. Více in­for­ma­cí: http://​scienceworld​.wolfram​.com/​p​h​y​s​i​c​s​/​E​n​t​h​a​l​p​y​.​h​tml
5. dále jen TZ1
6. Nevím, jak to lé­pe pře­lo­žit, kaž­do­pád­ně dal­ší in­for­ma­ce o tom zde: http://​en​.wi​ki​pe​dia​.org/​w​i​k​i​/​T​r​i​p​l​e​_​p​r​o​d​u​c​t​_​r​ule.
7. Tzn. jed­ná se o do­ko­na­lý stroj, kte­rý pře­vá­dí te­pel­nou ener­gii na ener­gii po­hy­bu pís­tu tře­ba — si­ce je to ide­ál­ní za­ří­ze­ní, ale nám se to teď dost ho­dí.
8. a již br­zy se do­sta­ne­me ke slí­be­né en­t­ro­pii, sli­bu­ji 🙂
9. A sa­mo­zřej­mě až bu­de­te vě­dět, co to je a jak je de­fi­no­vá­no, mů­že­te si to tam vir­tu­ál­ně při­řa­dit
10. po­zor, no­ko­liv tep­lo­ta!!
11. Jen pře­há­zí­me „sem a tam“ přes rov­nít­ko růz­né pro­měn­né tak, aby nám na jed­né stra­ně u se­be zby­ly di­fe­ren­ci­á­ly a pro­měn­né tep­lo­ty, na dru­hé ob­je­mu.
12. molární množ­ství lát­ky
13. Jak na to se do­zví­te v tom sli­bo­va­ném člán­ku o in­te­grá­lech, ale když se na to za­kou­ká­te, vy­mys­lí­te to 🙂
14. Tuten pa­znak se čte ja­ko „ksí“
15. In­for­ma­ce např. zde: http://​www​-his​to​ry​.mcs​.st​-an​drews​.ac​.uk/​B​i​o​g​r​a​p​h​i​e​s​/​C​a​r​n​o​t​_​S​a​d​i​.​h​tml
16. Moc hez­ké in­for­ma­ce a in­ter­ak­tiv­ní aple­ty ma­jí tře­ba zde: http://​hy​per​phy​s​ics​.phy​-as​tr​.gsu​.edu/​h​b​a​s​e​/​t​h​e​r​m​o​/​c​a​r​n​o​t​.​h​tml
17. Dnes nám to už mů­že při­jít ja­ko sa­mo­zřej­most, ale stej­ně po svě­tě běhá spous­tu li­dí, co si mys­lí, že vy­na­lezlo per­pe­tum mo­bi­le, což je­ho exis­ten­ci pří­mo ja­ko dů­sle­dek to­ho­to zjiš­tě­ní vy­vra­cí.
18. A ne, ne­ní to Dra­gon Age! 🙂