Archiv pro štítek: three polariser paradox

Polarizace a spin částice (2. část)

Ví­tám vás u po­kra­čo­vá­ní té­ma­tu o po­la­ri­za­ci a spi­nu čás­tic. V prv­ním dí­le jsme zleh­ka na­zna­či­li ma­te­ma­tic­ký apa­rát a obec­né prin­ci­py, v tom­to člán­ku jich dá­le bu­de­me vy­u­ží­vat, pro­to po­kud bu­de­te po­tře­bo­vat, vel­mi do­po­ru­ču­ji otevřít si prv­ní člá­nek a v pří­pa­dě ma­te­ma­tic­kých ne­jas­nos­tí zde se na ně­ho od­ka­zo­vat, mě­lo by tam být vy­svět­le­no vše důležité.

Co je to spin?

Bo­hu­žel, u fy­zi­ky ma­lých čás­tic, jak jsme řek­li dří­ve, po­měr­ně sluš­ně se­lhá­va­jí makro­sko­pic­ké před­sta­vy o prin­ci­pech, stej­ně tak i ja­ká­ko­liv sna­ha vy­svět­lit, k če­mu spin čás­ti­ce při­po­dob­nit. Vel­mi blíz­ce by se dal spin při­po­dob­nit ja­ko mo­ment hyb­nos­ti čás­ti­ce, ale ne v tom vý­zna­mu, že s ním mů­že­me za­chá­zet li­bo­vol­ně jak chce­me, ve své pod­sta­tě se jed­ná o ex­pe­ri­men­tál­ně ově­ře­nou hod­no­tu, kte­rá by­la „tak ně­jak“ po­tře­ba při­dat do co nej­cel­ko­věj­ší­ho mo­de­lu cho­vá­ní částic.[1]Pro dal­ší in­for­ma­ce roz­hod­ně do­po­ru­ču­ji ten­to po­pis ex­pe­ri­men­tu: ElektronovySpin.pdf. Ří­ká nám zjed­no­du­še, ko­li­krát mu­sí­me da­nou čás­ti­ci oto­čit, aby se nám je­vi­la opět stej­ně. Po­kud má­me spin 1, po­té mu­sí­me čás­ti­ci oto­čit o ce­lých 360 stup­ňů, po­kud 2, sta­čí 180 stup­ňů. Spin da­né čás­ti­ce je (je­ho ve­li­kost) přes­ně dá­na a nelze tu­to hod­no­tu změ­nit. Na­víc ty­to hod­no­ty mo­hou na­bý­vat pou­ze ce­lo­čí­sel­ných a ne­bo po­lo­vič­ních ná­sob­ků \(\hbar\)[2]Redukované planc­ko­vy kon­stan­ty, te­dy \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\)., te­dy spi­ny mů­že­me mít \(\left(1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1,\frac{3}{2},\ldots\right)\) a tak podobně.

Směr spi­nu čás­ti­ce (ni­ko­liv je­ho hod­no­tu) mů­že­me mě­nit např. mag­ne­tic­kým po­lem, kte­rým čás­ti­ce pro­chá­zí. Budeme-li se po­hy­bo­vat v běž­ných třech osách po­hy­bu (pra­vo­le­vá, hor­no­dol­ní a pře­do­zad­ní), mů­že­me jed­no­du­še spin ozna­čit ja­ko hor­ní, dol­ní, pra­vý, le­vý atd. Pro ta­to ozna­čo­vá­ní je za­běh­nu­té po­u­ží­vá­ní pís­me­nek z an­g­lic­kých slov to­to po­pi­su­jí­cí, to­ho se bu­de­me dr­žet i zde — te­dy u ja­ko upd ja­ko down atd. Po­kud si ny­ní před­sta­ví­me spin ja­ko ro­ta­ci, ta­to ro­ta­ce bu­de mít ně­ja­kou osu[3]Opět — osu bu­de mít pou­ze v makro­sko­pic­kém svě­tě, v pří­pa­dě spi­nu ho­vo­řit o ose ro­ta­ce je chyb­né.. Sta­čí nám te­dy pro po­pis spi­nu ja­ko ta­ko­vé­ho pou­ze zná­zor­ně­ní smě­ru té­to osy, a to je prá­vě vý­še zmí­ně­né u ne­bo d.

Tak ně­jak asi tu­ší­me, že se spi­nem to bu­de vel­mi po­dob­né ja­ko s po­la­ri­za­cí čás­ti­ce. Budeme-li mít např. ně­ja­ký ex­pe­ri­ment, kte­rý nám ří­ká, jest­li mě­ře­ná čás­ti­ce má spin u ne­bo d, po­kud do to­ho­to ex­pe­ri­men­tu po­šle­me u čás­ti­ci, řek­ne nám, že má­me spin u a na­o­pak. Stej­ně ja­ko u po­la­ri­za­ce, po­kud po­šle­me do ex­pe­ri­men­tu čás­ti­ci, kte­rá má spin na­to­če­ný pod ně­ja­kým úhlem, do­sáh­ne­me ur­či­té­ho po­mě­ru ud v tom­to ex­pe­ri­men­tu (při vět­ším po­čtu čás­tic, tře­ba 100 čás­tic, te­dy zís­ká­me tře­ba 60 % čás­tic s u a 40 % s d.)

Bra-ketovým zá­pi­sem (pro oži­ve­ní do­po­ru­ču­ji 1. díl se­ri­á­lu) te­dy mů­že­me da­ný spin čás­ti­ce za­psat jako:

$$|p_s\rangle=\alpha|\mathrm{u}\rangle+\beta|\mathrm{d}\rangle$$

Te­dy že da­ný spin \(p_s\) bu­de souč­tem am­pli­tud prav­dě­po­dob­nos­tí pro ud. Abychom z am­pli­tu­dy prav­dě­po­dob­nos­ti do­sta­li pří­mo prav­dě­po­dob­nost, mu­sí­me „umoc­nit na dru­hou“ — jen­že po­zor, to­to pla­tí pou­ze pro \(\mathbb{R}\). Pro \(\mathbb{C}\) bu­de­me muset po­u­žít sou­čin dvou kom­plex­ně kon­ju­go­va­ných čí­sel, te­dy \(\alpha\alpha^*\)[4]Komplexně kon­ju­go­va­né čís­lo, pro zo­pa­ko­vá­ní, je čís­lo, kte­ré má stej­nou re­ál­nou část, ale opač­nou ima­gi­nár­ní. Sa­mi vi­dí­me, že u re­ál­ných čí­sel se jed­ná oprav­du o „umoc­ně­ní na dru­hou“. Sa­mo­zřej­mě rov­nou vi­dí­me, že prav­dě­po­dob­nos­ti bu­dou muset být:

$$\alpha\alpha^*+\beta\beta^*=1$$

Ta­ké rov­nou vi­dí­me ná­sle­du­jí­cí možnosti[5]vše vzta­že­no k ex­pe­ri­men­tu, kdy mě­ří­me „je to u?:

$$
p_{u}=1|\mathrm{u}\rangle+0|\mathrm{d}\rangle\\
p_{d}=0|\mathrm{u}\rangle+1|\mathrm{d}\rangle\\
p_{r}=\frac{1}{\sqrt{2}}|\mathrm{u}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\mathrm{d}\rangle
$$

Co však zna­čí pří­mo \(\mathrm{u}\) a \(\mathrm{d}\)? Jed­ná se o dva or­to­nor­mál­ní vektory[6]Velmi po­dob­né or­to­go­nál­ním, jen ma­jí jed­not­ko­vou ve­li­kost. Or­to­go­nál­ní vek­to­ry nám ří­ka­jí, že po­kud je je­den „ně­čím“, pak ten dru­hý je vším jen ne „ně­čím“, te­dy např. po­kud je­den vek­tor po­pi­su­je stav u, po­té or­to­go­nál­ní po­pi­su­je stav přes­ně ne-u, te­dy d 🙂 (Ano, ty­to  vek­to­ry jsou te­dy li­ne­ár­ně ne­zá­vis­lé a tvo­ří bá­zi pro­sto­ru, ale li­ne­ár­ní al­ge­b­ru nech­me na jin­dy.) , vel­mi po­dob­ně ja­ko v pří­pa­dě po­la­ri­za­ce. Mu­sí­me se ješ­tě po­dí­vat na je­den „zvlášt­ní typ“ po­la­ri­za­ce, te­dy kru­ho­vou po­la­ri­za­ci.

Kruhová polarizace

Jak asi ví­me, svět­lo je ozna­čo­vá­no ja­ko elek­tro­mag­ne­tic­ké vl­ně­ní, což zna­čí přes­ně to, co to je — ob­sa­hu­je jak „elek­tric­kou“ tak „mag­ne­tic­kou“ část. Představíme-li si svě­tel­ný pa­prsek, kte­rý pu­tu­je pro­sto­rem ně­ja­kým přímým směrem:

Světelný paprsek
Svě­tel­ný paprsek

Ten­to svě­tel­ný pa­prsek je tvo­řen dvě­ma kol­mý­mi vl­ně­ní­mi — elek­tric­kým a mag­ne­tic­kým. Ty se mo­hou vy­sky­to­vat pou­ze ja­ko „kol­mé“ ve­li­či­ny na směr ší­ře­ní pa­prsku, bu­dou se te­dy po­hy­bo­vat v rovině:

Elektromagnateické vlnění se může rozkmitat pouze v této rovině, která je kolmá na směr šíření vlny.
Elek­tro­mag­ne­tic­ké vl­ně­ní se mů­že roz­kmi­tat pou­ze v té­to ro­vi­ně, kte­rá je kol­má na směr ší­ře­ní vlny.

Vl­ně­ní se te­dy mů­že roz­kmi­tá­vat pou­ze po té­to ploš­ce. Vl­ně­ní elek­tric­ké a mag­ne­tic­ké je na se­be vzá­jem­ně kol­mé, tedy:

Kruhova polarizace -- vlnění E & B
Kru­ho­va po­la­ri­za­ce — vl­ně­ní E & B

Nut­no po­dotknou­ti, že ob­rá­zek je vel­mi sil­ně mi­mo pro­por­ce, elek­tric­ká část vl­ně­ní je totiž mno­hem sil­něj­ší než mag­ne­tic­ká, ale teď nám jde spí­še o zob­ra­ze­ní prin­ci­pu než o správ­né pro­por­ce grafu 🙂

Nicmé­ně k vý­po­čtům sa­mot­ným. Po­kud bu­de­me před­po­klá­dat, že \(E\) a \(B\) jsou kol­mé a jsou to kla­sic­ké vl­ny (si­nu­sov­ky), označíme-li sou­řad­né osy takto:

Označení os
Ozna­če­ní os

Te­dy že vl­na se po­hy­bu­je po ose \(z\), po­té mů­že­me psát pro intenzity:

$$
E_x=E_{E_{max}}\sin(k\mathbb{\mathrm{z}}+\omega t)\\
E_y=E_{B_{max}}\cos(k\mathbb{\mathrm{z}}+\omega t)
$$

Budeme-li na­ší ro­vi­nou po­sou­vat po ose \(z\), uvi­dí­me, že se nám bu­dou prak­tic­ky stří­dat dvě zá­klad­ní po­la­ri­za­ce — tam, kde bu­de hod­no­ta \(E_E\) ma­xi­mál­ní, tam bu­de hod­no­ta \(E_B\) mi­ni­mál­ní a na­o­pak. Bu­dou se prak­tic­ky ne­u­stá­le do­há­nět, bu­de to prá­vě vy­pa­dat, ja­ko kdy­by se vek­tor po­la­ri­za­ce ne­u­stá­le otá­čel; pro­to kru­ho­vá po­la­ri­za­ce.

Zkus­me se ny­ní po­dí­vat na bra-ketový zá­pis ta­ko­vé­ho je­vu a jak vů­bec na to. Bu­de­me před­po­klá­dat, že pro na­ši po­la­ri­za­ci bu­de pla­tit ně­co ja­ko (před­po­klá­dej­me, že \(p_{kr}\) bu­de zna­me­nat „Po­la­ri­za­ce kru­ho­vá do­pra­va“, te­dy ve smě­ru ho­di­no­vých ru­či­ček, ale pro za­čá­tek je to vlast­ně jedno):

$$|p_{kr}>=\alpha|\mathrm{x}\rangle+\beta|\mathrm{y}\rangle$$

Což by zna­či­lo, že mu­sí exis­to­vat ta­ko­vá prav­dě­po­dob­nost, kdy \(\alpha^2+\beta^2=1\). V čem je ta­dy pro­blém? Vi­dí­me, že obě čís­la bu­dou klad­ná, po­kud je zvo­lí­me z \(\mathbb{R}\)[7]Protože 2. moc­ni­na če­ho­ko­liv z $latex\mathbb{R}$ bu­de klad­né čís­lo.. Pro­to mu­sí­me za­čít po­ku­ko­vat po ob­las­ti $latex\mathbb{C}$, te­dy kom­plex­ních čís­lech. Po­kud bychom zvolili:

$$1|x\rangle+i|y\rangle$$

Moh­li bychom na­mí­tat, že to pře­ce ne­fun­gu­je, pro­to­že \(1^2+i^2=1-1=0\neq1\). Jen­že! V prv­ním člán­ku jsme si řek­li, že abychom se do­sta­li z prav­dě­po­dob­nost­ních am­pli­tud do pří­mé prav­dě­po­dob­nos­ti, mu­sí­me ni­ko­liv pou­ze umoc­nit, ale vy­ná­so­bit kom­plex­ně kon­ju­go­va­ným čís­lem, te­dy vý­po­čet bude:

$$\alpha\alpha^*+\beta\beta^*=1$$

A to už fun­go­vat bude:

$$1\cdot 1^*+i\cdot i^*=1\cdot 1 + i\cdot (-i) = 2$$

To si­ce tak­též ne­ní \(0\), ale už se blí­ží­me k cí­li, mu­sí­me pou­ze na­nor­mo­vat jed­not­li­vé ope­ran­dy, stej­ně ja­ko jsme dě­la­li v prv­ním člán­ku:

$$
\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1^*}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{i^*}{\sqrt{2}}=
\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
$$

Vek­tor kru­ho­vé po­la­ri­za­ce vpra­vo \(p_{kr+}\) a vle­vo \(p_{kr-}\) te­dy mů­že­me na­psat jako:

$$
|p_{kr+}\rangle=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\\
|p_{kr-}\rangle=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
$$

Zkus­me ny­ní kla­sic­ký po­kus s čás­ti­cí s jed­nou a fil­trem s dru­hou po­la­ri­za­cí a ověř­me, jest­li pro da­nou po­la­ri­za­ci pla­tí před­po­kla­da­né, te­dy že čás­ti­ce ne­pro­jde. Při­prav­me čás­ci­ci s po­la­ri­za­cí v pro­tismě­ru ho­di­no­vých ru­či­ček a přo­žeň­me ji fil­trem, kte­rý pro­pouš­tí pou­ze čás­ti­ce s po­la­ri­za­cí ve smě­ru hod. ru­či­ček. Uvě­do­m­me si tak­též, že pů­vod­ní před­pis pro ře­še­ní spo­čí­vá v po­u­ži­tí prv­ní­ho vek­to­ru v kon­ju­go­va­né formě!:

$$
\langle{}p_{kr-}|p_{kr+}\rangle=
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=
\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{i}{\sqrt{2}}=
\frac{1}{2}+\frac{-1}{2}=0
$$

Stej­ně tak, po­kud po­u­ži­je­me přes­ně in­verz­ní za­dá­ní, tedy:

$$
\langle{}p_{kr+}|p_{kr-}\rangle=
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=
\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{-i}{\sqrt{2}}\frac{-i}{\sqrt{2}}=
\frac{1}{2}+\frac{(-i)^2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0
$$

Zkus­me ny­ní ješ­tě po­kus s kru­ho­vě po­la­ri­zo­va­ným svět­lem a po­la­ri­zač­ním fil­trem pod ně­ja­kým obec­ným úhlem \(\phi\):

$$
\langle{}\phi|p_{kr+}\rangle=
\begin{pmatrix}\cos\left(\phi\right) & \sin\left(\phi\right)\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=
\cos(\phi)\frac{1}{\sqrt{2}}+\sin(\phi)\frac{i}{\sqrt{2}}
$$

Abychom z tu­té prav­dě­po­dob­nost­ní am­pli­tu­dy do­sta­li prav­dě­po­dob­nost, mu­sí­me samozřejmě:

$$
\left(\langle{}\phi|p_{kr+}\rangle\right)^2=
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\frac{i}{\sqrt{2}}\sin(\phi)\right)^2=\\=
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\frac{i}{\sqrt{2}}\sin(\phi)\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\phi)+\frac{-i}{\sqrt{2}}\sin(\phi)\right)=\\=
\left(\frac{1}{2}\cos^2(\phi)-\frac{i^2}{2}\sin^2(\phi)\right)=
\left(\frac{1}{2}\cos^2(\phi)+\frac{1}{2}\sin^2(\phi)\right)=
\frac{1}{2}\left(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)\right)=\frac{1}{2}
$$

Vy­u­žijme ješ­tě tes­tu s her­mi­tov­ským ope­rá­to­rem, kte­rý mů­že­me de­fi­no­vat takto[8]Viz https://www.eng.tau.ac.il/~shtaif/PolarizationClass.pdf.[9]Co to je, jsme ře­ši­li v mi­nu­lém člán­ku.:

$$
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
$$

A te­dy jest­li vy­ho­vu­je výrazu:

$$
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

Roznásobíme-li te­dy:

$$
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\frac{1}{\sqrt{2}} – i\frac{i}{\sqrt{2}} \\
i\frac{1}{\sqrt{2}}+0\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

A te­dy vi­dí­me, že vlast­ní vek­tor od­po­ví­dá mě­ře­né­mu a před­po­klá­da­né­mu, a te­dy \(\lambda=1\).

Třípolarizátorový paradox

Ten­to paradox[10]Viz http://​www​.in​for​mati​on​phi​lo​so​pher​.com/​s​o​l​u​t​i​o​n​s​/​e​x​p​e​r​i​m​e​n​t​s​/​d​i​r​a​c​_​3​-​p​o​l​a​r​i​z​e​rs/[11]Viz http://​ali​e​nry​der​flex​.com/​p​o​l​a​r​i​z​er/[12]Viz polarize.pdf uka­zu­je za­jí­ma­vou věc, kte­rá vy­pa­dá dost ne­mys­li­tel­ně; vezmeme-li dva polarizátory[13]Polarizační fil­try…, kte­ré na­sta­ví­me kol­mo na se­be (je­jich ro­vi­ny po­la­ri­za­ce), uka­zá­a­li jsme si, že prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du čás­ti­ce je \(0\). Nicmé­ně, zařadíme-li me­zi dva ta­ko­vé fil­try tře­tí po­la­ri­zá­tor pod ně­ja­kým úhlem, např. 45°, bu­de prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du čás­ti­ce \(P: \left(0;1\right)\). Jak je to­to mož­né? Vy­u­žijme již zná­mé­ho ma­te­ma­tic­ké­ho aparátu.

Ví­me už, že prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du fo­to­nem po­la­ri­zač­ním fil­trem o obec­ném úhlu \(\phi\) je \(p_{45}=\cos^2(\phi)=\cos^2(45)=\frac{1}{2}\). Připravíme-li pro­to po­la­ri­zo­va­ný proud čás­tic, kte­rý po­šle­me 1. po­la­ri­zá­to­rem se stej­ným úhlem po­la­ri­za­ce, ten­to nám da­ný pa­prsek ne­změ­ní (v rám­ci in­ten­zi­ty) a bu­de ne­u­stá­le \(100\%\) prav­dě­po­dob­nost, že pa­prsek pro­jde. Po 2. po­la­ri­zá­to­ru bu­de prav­dě­po­dob­nost po­lo­vič­ní, te­dy \(\frac{1}{2}\). No a po tře­tím, kte­rý je opět o oněch 45° oto­čen, bu­de pravděpodobnost:

$$
p_{II}=p_{45}\cos^2(45)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=25\ \%
$$

Prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du ta­ko­vé čás­ti­ce je te­dy \(45\ \%\). Ale po­zor! Jde o svět­lo, kte­ré už má­me po­la­ri­zo­va­né, po­kud do prv­ní­ho po­la­ri­zá­to­ru po­šle­me ně­ja­ké obec­né ne­po­la­ri­zo­va­né svět­lo, uvi­dí­me, že už po prv­ním fil­tru bu­de­me mít mno­hem men­ší prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du čás­ti­ce, kon­krét­ně \(\frac{1}{2}\), po­kud te­dy bychom mě­ři­li ně­ja­kou in­ten­zi­tu me­zi vstu­pu­jí­cím svět­lem a vý­stup­ním svět­lem, do­sta­ne­me se ješ­tě na po­lo­vi­nu z oněch \(25\ \%\), te­dy na \(12,5\ \%\).

Sa­mo­zřej­mě bychom moh­li do­po­čí­tat přes vlast­ní vek­tor, ale když jsme si už uká­za­li vý­stu­py z té­to me­to­dy, mů­že­me jen vhod­ně zkom­bi­no­vat vý­stu­py, nicmé­ně však by to vy­šlo na­pros­to stejně 🙂

Definice matic pro výpočet

Stej­ně ja­ko u po­la­ri­za­ce, i zde mů­že­me vy­u­žít her­mi­tov­ských ope­rá­to­rů a do­sa­zo­vat do rov­ni­ce. Po­la­ri­za­ce a spin se bu­dou cho­vat prak­tic­ky totožně[14]Až na pár vel­mi pod­stat­ných roz­dí­lů, kte­ré si sa­mo­zřej­mě zá­hy uká­že­me. (ma­te­ma­tic­ky), budeme-li de­te­ko­vat čás­ti­ce s ně­ja­kým spi­nem a do to­ho­to de­tek­to­ru bu­de­me po­sí­lat čás­ti­ce se spi­nem ji­ným či „pod ně­ja­kým úhlem“, vý­sled­né vý­po­čty bu­dou téměř stejné[15]Tedy pro­porč­ně bu­dou ja­ko \(\cos^2(\phi)\), nicmé­ně leh­ko odlišné..

Ma­ti­ce, kte­ré ve vý­po­čtu po­u­ží­vá­me se jme­nu­jí Pau­li­ho ma­ti­ce[16]Pod­le fy­zi­ka Pau­li­ho, kte­rý za svůj vy­lu­čo­va­cí prin­cip do­stal No­be­lo­vu ce­nu za fy­zi­ku. a ma­jí tvar[17]Viz http://​pla​netmath​.org/​P​a​u​l​i​M​a​t​r​i​ces pro smě­ry up/downright/leftin/out jako:

$$
\mathrm{\hat{H}}_{u/d}=\sigma_z=
\begin{pmatrix}
1  & 0\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}\\
\mathrm{\hat{H}}_{r/l}=\sigma_x=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}\\
\mathrm{\hat{H}}_{i/o}=\sigma_y=
\begin{pmatrix}
0 & -i\\
i & 0\\
\end{pmatrix}
$$

Vi­dí­te, že jsem ozna­čil jed­not­li­vé ma­ti­ce ja­ko \(\sigma_z\) a po­dob­ně — jed­no­du­še ma­ti­ce, kte­rá má osu \(z\) je ozna­če­ná ja­ko \(\sigma_z\) atd. 🙂 Prv­ní ma­ti­ce, up/down te­dy má osu \(z\) a pro­to je ozna­če­ná \(\sigma_z\). Po­dí­vej­me se však na tu­tu ma­ti­ci troš­ku po­drob­ně­ji. Proč jsou zvo­le­né zrov­na ty­to hodnoty?

Ví­me, že (chce­me, aby…) bu­de platit:

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
=
1
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
$$

Z to­ho mů­že­me vel­mi snad­no ur­čit ne­zná­mou ma­ti­ci (byť to na prv­ní po­hled ne­vy­pa­dá). Na­piš­me si, co ví­me, že bu­de pla­tit za vzta­hy pod­le to­ho, jak bychom ma­ti­ci roz­ná­so­bo­va­li. Prv­ní vztah te­dy bude:

$$a \cdot 1 + b \cdot 0 = 1 $$

Z to­ho je na­pros­to jas­ně vi­dět, že ať bu­de \(b\) co­ko­liv, \(a\) mu­sí být \(1\), aby byl sou­čet če­ho­ko­liv a nu­ly jed­nič­ka. Te­dy vi­dí­me, že \(a=1\). Pro dru­hý řá­dek máme:

$$ c \cdot 1 + b \cdot 0 = 0$$

Te­dy vi­dí­me, že \(c=0\). No­jo, ale co teď? 🙂 Po­řád nám chy­bí dva vý­ra­zy, tak si po­mů­že­me tím, že zná­me dva vlast­ní vek­to­ry pro ud spin, po­u­ži­je­me pros­tě jen „ten dru­hý“ vlast­ní vek­tor (jest­li jste prv­ní po­u­ži­li ten či onen je jed­no, samozřejmě 🙂 ):

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix}
=
-1
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}
$$

A opět stej­ným způsobem:

$$ a \cdot 0 + b \cdot 1 = 0$$

Te­dy vi­dí­me, že \(b=0\). No a pro po­sled­ní možnost:

$$ c \cdot 0 + d \cdot 1 = -1$$

No a ta­dy vi­dí­me, že \(d=-1\). Cel­ko­vá ma­ti­ce je tedy:

$$
\sigma_z
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
$$

A ta­ko­vá ma­ti­ce je Her­mi­tov­ská (viz před­cho­zí člá­nek).  Stej­ným způ­so­bem do­ká­že­me od­vo­dit i ostat­ní ma­ti­ce, sa­mo­zřej­mě tam vždy po­u­ži­je­me troš­ku ji­ný trik, ale v prin­ci­pu je to po­řád to sa­mé, vy­ře­šit ně­jak chytře rov­ni­ci o 4 neznámých:

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
-1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

Pro zjed­no­du­še­ní bu­du před­po­klá­dat, že rov­ni­ci s ma­ti­ce­mi mo­hu vy­ná­so­bit li­bo­vol­ným čís­lem na obou stra­nách a rov­nost zů­sta­ne za­cho­vá­na (chci se pros­tě zba­vit ne­u­stá­lé­ho ob­lud­né­ho psa­ní \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)). Mo­hu te­dy ří­ci, že:

$$
\begin{matrix}
a \cdot 1 &+& b \cdot 1 &= &1 \\
c \cdot 1 &+& d \cdot 1 &= &1 \\
a \cdot 1 &-& b \cdot 1 &= &-1 \\
c \cdot 1 &-& d \cdot 1 &= &1
\end{matrix}
$$

Ny­ní jen jed­no­du­še se­čtě­me rov­ni­ce spo­lu, hned prv­ní a tře­tí rov­ni­ci, vznik­ne nám \(a+a = 0\), te­dy je jas­ně vi­dět, že \(a=0\). Po­té se­čtě­me 2. a 4. rov­ni­ci, te­dy uvi­dí­me \(b+b = 2\), te­dy \(b=1\). Když to­to vi­dí­me, ve 4. rov­ni­ci rov­nou vi­dí­me, že \(1-d=1\), te­dy \(d = 0\). No a stej­ně po­kud vi­dí­me z 2. rov­ni­ce \(c=1\). Te­dy ma­ti­ce bude:

$$
\sigma_x
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}
$$

Na­ko­nec se po­dí­vej­me na vý­po­čet \(\sigma_y\). Ví­me, že mu­sí pla­tit ná­sle­du­jí­cí vztahy:

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
+1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
-1
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

Udě­lej­me to stej­né, co jsme dě­la­li výše:

$$
\begin{matrix}
a  &+& b i &= &1 \\
c  &+& d i &= &i \\
a &-& b i &= &-1 \\
c &-& d i &= &1
\end{matrix}
$$

Po­kud se­čte­me 1. a 2. rov­ni­ci, vi­dí­me, že \(2a = 0\), te­dy že \(a=0\). Po­kud je \(a=0\), po­té mu­sí pla­tit, že \(bi=1\), a te­dy \(b=\frac{1}{i}=-i\). Ny­ní se­čtě­me 2. a 4. rov­ni­ci, vy­jde, že \(2c=2i\), te­dy \(c=i\). A sa­mo­zřej­mě tím pá­dem vi­dí­me, že \(d=0\).

Spin obecně v obecném úhlu

Těch­to ma­tic mů­že­me vy­u­žít při ur­če­ní obec­ných pra­vi­del, jak se cho­vá spin, po­kud „ne­ví­me, co mě­ří­me“, ale pros­tě „to mě­ří­me“. Máme-li však ně­ja­kou čás­ti­ci (obec­ně) a nastavíme-li na­še mě­ří­cí za­ří­ze­ní „do obec­né­ho úhlu“ vů­či spi­nu té­to čás­ti­ce (pro­tže ne­tu­ší­me, jak to mů­že do­pad­nout). Označíme-li te­dy obec­ně ně­ja­ký náš vek­tor \(\mathrm{\mathbb{\vec{u}}}\) ja­ko vek­tor, po­té mů­že­me psát složkově:

$$
\vec{u}=u_x + u_y + u_z
$$

A pro­to­že vek­tor bu­de (chce­me, aby byl…) jed­not­ko­vý, po­té bu­de pla­tit pythagoras:

$$
u^2_x+u^2_y+u^2_z=1
$$

Zpět ale k rov­ni­ci vý­še, kde jsem ro­ze­psal pro jed­not­li­vé sou­řad­né osy. Asi vi­dí­te, kam tím mí­řím a proč jsem tak udě­lal; vek­to­ry pros­tě lze kla­sic­ky li­ne­ár­ně sčí­tat, no a pro­to­že ope­rá­to­ry už má­me od­vo­ze­né, mů­že­me jich rov­nou vy­u­žít v obec­ném zápisu:

$$
u_x\hat{\sigma_x}+u_y\hat{\sigma_y}+u_z\hat{\sigma_z}=\hat{\sigma_u}
$$

Tu­to li­ne­ár­ní su­per­po­zi­ci snad­no vy­ře­ší­me, obec­ně to vy­pa­dá takto:

$$
A\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}+
B\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}+
C\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Aa+Ba+Ca & Ab+Bb+Cb \\ Ac+Bc+Cc & Ad+Bd+Cd
\end{pmatrix}
$$

Tak­že:

$$
\hat\sigma_u =
u_x
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}
+
u_y
\begin{pmatrix}
0 & -i \\ i & 0
\end{pmatrix}
+
u_z
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
u_z & u_x-iu_y \\
u_x+iu_y & -u_z
\end{pmatrix}
$$

Rov­nou z té­to ma­ti­ce (dou­fám!) vi­dí­me, že je her­mi­tov­ská. Pro­to mů­že­me \(\hat{\sigma_u}\) po­u­žít ja­ko ope­rá­tor ve známém:

$$
\hat{\sigma_u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}$$

A sa­mo­zřej­mě mů­že­me psát:

$$
\hat{\sigma_u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=+1\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}$$

Ny­ní si bu­de­me ješ­tě muset lehce po­hrát s nor­ma­li­za­cí vek­to­ru \(\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\), pro­to­že ji­nak by nám opět vy­chá­ze­ly div­né hodt­no­ty prav­dě­po­dob­nos­tí, ty­pu 400 % a tak. Jak pro­vést te­dy normalizaci?

Abychom moh­li ta­ko­vou věc udě­lat obec­ně, mu­sí­me udě­lat opět ta­ko­vý ma­lý trik. Ne­ní to nic ne­le­gál­ní­ho, ale hod­ně nám to zjed­no­du­ší prá­ci. Po­kud ví­me, že vlast­ní vek­tor bu­de vy­pa­dat tak, jak jsem psal v před­cho­zí vě­tě, stej­ně tak, po­kud vím, že po­kud chci, aby byl nor­ma­li­zo­va­ný, bu­de jed­not­ko­vý a tím pá­dem mo­hu před­po­klá­dat, že i ně­ja­ký ji­ný vek­tor, kte­rý mís­to ně­ho po­u­ži­je­me (sub­sti­tu­cí), bude-li jed­not­ko­vý a bu­de mít stej­né vlast­nos­ti, bu­de po­u­ži­tel­ný stej­ně ja­ko vek­tor pů­vod­ní. Te­dy po­kud pro­hlá­sí­me, že:

$$
\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\alpha_0\end{pmatrix}
$$

a budeme-li dá­le pra­co­vat s tím­to vek­to­rem, uvi­dí­me, že si dost uleh­čí­me prá­ci a zpět­ně se do­sta­ne­me tam, kde jsme za­ča­li, ale bu­de­me mít vy­ře­še­nou nor­ma­li­za­ci. Co je te­dy ta­to hod­no­ta \(\alpha_0\)? Pojď­me se po­dí­vat, jak to­to od­vo­dit. Ví­me, že budeme-li pře­do­pklá­dat, že vek­tor \(\begin{pmatrix}1\\\alpha_0\end{pmatrix}\) bu­de nor­ma­li­zo­ván, bu­de se cho­vat ja­ko kte­ré­ko­liv ji­né vlast­ní vektory[18]to ne­zna­me­ná, že je to po­sta­ču­jí­cí pod­mín­ka ta­ko­vé funk­ce a bu­de platit:

$$
\begin{pmatrix}
u_z & u_x-iu_y \\
u_x + iu_y & -u_z
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
=
+1
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
$$

Zkus­me vy­tvo­řit prv­ní rovnici:

$$
u_z + \alpha_0(u_x-iu_y) =1
$$

Z to­ho jas­ně do­ká­že­me vy­já­d­řit \({}\alpha_0{}\): 🙂

$$
\alpha_0(u_x-iu_y)=1-u_z
\alpha_0=\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
$$

A mů­že­me dosadit:

$$
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
\end{pmatrix}
$$

Nicmé­ně ten­to vek­tor te­dy nej­spí­še po­řád ne­bu­de (s nej­vět­ší prav­dě­po­dob­nos­tí) nor­ma­li­zo­ván. A s tím si mu­sí­me po­ra­dit. Mu­sí te­dy sou­čas­ně pla­tit dva ná­sle­du­jí­cí vtazhy:

$$
|\phi\rangle=
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
\\
\phi\phi^*=1
$$

Mu­sí te­dy platit:

$$
\begin{pmatrix}
1 &\alpha_0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
=
1
$$

Bu­de­me chvil­ku před­po­klá­dat, že stá­le „nejsme nor­ma­li­zo­vá­ni“. Zvol­me si za nor­ma­li­zač­ní kon­stan­tu na­pří­klad \(\nu\). Po­tom bu­de pla­tit, že nor­ma­li­zo­va­ný vztah vý­še bu­de vy­pa­dat jako:

$$
|\phi\rangle=
\nu\begin{pmatrix}
1\\\alpha_0
\end{pmatrix}
$$

Mů­že­me te­dy psát:

$$
\nu
\begin{pmatrix}
1 & \alpha_0
\end{pmatrix}
\nu
\begin{pmatrix}
1 \\ \alpha_0
\end{pmatrix}
=
1
$$

a to ře­šit jako

$$
\nu^2
\left(
1+\color{red}{\alpha_0^*}\color{green}{\alpha_0}
\right)
= 1
$$

To vy­ře­ší­me (do­sa­dí­me za \(\alpha_0\)):

$$
\nu^2
\left[
1+
\color{red}{
\left(
\frac{1-u_z}{u_x+iu_y}
\right)
}
\color{green}{
\left(
\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
\right)
}
\right]
=1
$$

A teď na­sta­ne oprav­do­vý „hus­tý trik“ 🙂 Ví­me, nej­pr­ve roz­ná­so­bí­me (to trik ješ­tě není):

$$
\nu^2
\left[
1+
\left(
\frac{\left(1-u_z\right)^2}{u_x^2+u_y^2}
\right)
\right]
=1
$$

A ny­ní na­sta­ne vel­ký trik. Ví­me, že na­ho­ře jsme pro při­po­me­nu­tí psa­li, že u jed­not­ko­vé­ho vek­to­ru bu­de pla­tit pythagorské:

$$
\color{pink}{u_x^2+u_y^2}+u_z^2=1
$$

Ba­rev­ně má­me ozna­če­nou část, kte­rou však má­me ve jme­no­va­te­li! Mů­že­me te­dy mís­to jme­no­va­te­le psát:

$$
u_x^2+u_y^2=1-u_z^2
$$

A to nám (jak vi­dí­te) hod­ně zjed­no­du­ší práci 🙂

$$
\nu^2
\left[
1+
\left(
\frac{\left(1-u_z\right)^2}{1-u_z^2}
\right)
\right]
=1
$$

Ny­ní mů­že­me roz­lo­žit jme­no­va­te­le a zkrátit:

$$
\nu^2
\left[
1+
\left(
\frac{\left(1-u_z\right)^2}{\left(1-u_z\right)\left(1+u_z\right)}
\right)
\right]
=1
$$

$$
\nu^2
\left[
1+
\frac{\left(1-u_z\right)}{\left(1+u_z\right)}
\right]
=1
$$

$$
\nu^2
\left[
\frac{\left(1+u_z\right)}{\left(1+u_z\right)}
+
\frac{\left(1-u_z\right)}{\left(1+u_z\right)}
\right]
=1
$$

$$
\nu^2
\left[
\frac{2}{\left(1+u_z\right)}
\right]
=1
$$

Z to­ho už snad­no od­vo­dí­me \(\nu\) jako:

$$
\nu^2=
\frac{1+u_z}{2}
$$

a te­dy:

$$
\nu = \sqrt{\frac{1+u_z}{2}}
$$

A tím má­me nor­ma­li­zač­ní fak­tor vy­ře­še­ný. Ja­ko zkouš­ku si klid­ně (mů­že­te sa­mi) do­saď­te za \(u_x=1\) a ostat­ní prv­ky dej­te nu­lo­vé, vy­jdou vám vlast­ní vek­to­ry, kte­ré už jsme po­u­ží­va­li. Pou­ze do­saď­te do:

$$
|\phi\rangle=
\sqrt{\frac{1+u_z}{2}}
\begin{pmatrix}
1 \\
\frac{1-u_z}{u_x-iu_y}
\end{pmatrix}
$$

Uvi­dí­te, že to bu­de vycházet 🙂

To­lik asi k nor­ma­li­za­ci. Po­kud bychom obec­ně při­pra­vi­li ně­ja­kou čás­ti­ci v obec­ném sta­vu a úhlu, mě­ři­li ji v ji­ném obec­ném úhlu, vy­jde nám prav­dě­po­dob­nost \(P=\cos^2\frac{\phi}{2}\) (vy­u­ži­je­me při tom vý­po­čtů, kte­ré už jsme si ta­dy uka­zo­va­li, nic ji­né­ho). Ten­to člá­nek už je po­měr­ně dlou­hý, pro­to ho zde ny­ní utně­me (v nej­lep­ším pře­stat, že 🙂 ) a příš­tě se vě­nuj­me dal­ším vě­cem a zá­ko­ni­tos­tem, kte­ré s po­la­ri­za­ce­mi a spi­nem souvisejí.

 

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Pro dal­ší in­for­ma­ce roz­hod­ně do­po­ru­ču­ji ten­to po­pis ex­pe­ri­men­tu: ElektronovySpin.pdf.
2. Redukované planc­ko­vy kon­stan­ty, te­dy \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\).
3. Opět — osu bu­de mít pou­ze v makro­sko­pic­kém svě­tě, v pří­pa­dě spi­nu ho­vo­řit o ose ro­ta­ce je chyb­né.
4. Komplexně kon­ju­go­va­né čís­lo, pro zo­pa­ko­vá­ní, je čís­lo, kte­ré má stej­nou re­ál­nou část, ale opač­nou ima­gi­nár­ní. Sa­mi vi­dí­me, že u re­ál­ných čí­sel se jed­ná oprav­du o „umoc­ně­ní na dru­hou“.
5. vše vzta­že­no k ex­pe­ri­men­tu, kdy mě­ří­me „je to u?
6. Velmi po­dob­né or­to­go­nál­ním, jen ma­jí jed­not­ko­vou ve­li­kost. Or­to­go­nál­ní vek­to­ry nám ří­ka­jí, že po­kud je je­den „ně­čím“, pak ten dru­hý je vším jen ne „ně­čím“, te­dy např. po­kud je­den vek­tor po­pi­su­je stav u, po­té or­to­go­nál­ní po­pi­su­je stav přes­ně ne-u, te­dy d 🙂 (Ano, ty­to  vek­to­ry jsou te­dy li­ne­ár­ně ne­zá­vis­lé a tvo­ří bá­zi pro­sto­ru, ale li­ne­ár­ní al­ge­b­ru nech­me na jin­dy.)
7. Protože 2. moc­ni­na če­ho­ko­liv z $latex\mathbb{R}$ bu­de klad­né čís­lo.
8. Viz https://www.eng.tau.ac.il/~shtaif/PolarizationClass.pdf.
9. Co to je, jsme ře­ši­li v mi­nu­lém člán­ku.
10. Viz http://​www​.in​for​mati​on​phi​lo​so​pher​.com/​s​o​l​u​t​i​o​n​s​/​e​x​p​e​r​i​m​e​n​t​s​/​d​i​r​a​c​_​3​-​p​o​l​a​r​i​z​e​rs/
11. Viz http://​ali​e​nry​der​flex​.com/​p​o​l​a​r​i​z​er/
12. Viz polarize.pdf
13. Polarizační fil­try…
14. Až na pár vel­mi pod­stat­ných roz­dí­lů, kte­ré si sa­mo­zřej­mě zá­hy uká­že­me.
15. Tedy pro­porč­ně bu­dou ja­ko \(\cos^2(\phi)\), nicmé­ně leh­ko odlišné.
16. Pod­le fy­zi­ka Pau­li­ho, kte­rý za svůj vy­lu­čo­va­cí prin­cip do­stal No­be­lo­vu ce­nu za fy­zi­ku.
17. Viz http://​pla​netmath​.org/​P​a​u​l​i​M​a​t​r​i​ces
18. to ne­zna­me­ná, že je to po­sta­ču­jí­cí pod­mín­ka ta­ko­vé funk­ce