Archiv pro štítek: polarizace

Polarizace a spin částice (1. část)

V mi­nu­lém člán­ku o En­t­ro­pii a ter­mo­dy­na­mi­ce jsem vám slí­bil, že se za­se vrá­tí­me zpět k „ně­ja­kým čás­ti­cím“. Ne­vrá­tí­me se však k ně­ja­kým kon­krét­ním, vrá­tí­me se totiž pou­ze k jed­né z je­jich vlast­nos­tí — spi­nu.

Ohled­ně spi­nu exis­tu­je ta­ko­vý pro­blém — on se (ja­ko vlast­nost) dá jen vel­mi těž­ko před­sta­vit. Můžu sa­mo­zřej­mě po­u­ží­vat růz­ných ana­lo­gií, ale jak si uká­že­me, když se troš­ku po­no­ří­me do pro­ble­ma­ti­ky, dost těch­to ana­lo­gií (buď­me upřím­ní — všech­ny) uká­žou dří­ve či poz­dě­ji ně­ja­ký zá­sad­ní smr­tel­ný pro­blém. Jak už je však zvy­kem, než se dá­me do sa­mých po­pi­sů spi­nů čás­tic a jak s ni­mi fun­go­vat, mu­sí­me si při­pra­vit leh­ké ma­te­ma­tic­ké pod­hou­bí, abychom po­cho­pi­li zákonitosti[1]Protože po­kud chce­me po­cho­pit spin, mu­sí­me po­cho­pit i ten zby­tek..

Matematické základy

Bu­de­me hoj­ně vy­u­ží­vat ma­tic, vek­to­růkom­plex­ních čí­sel. Bliž­ší po­pis vek­to­ro­vých a ma­ti­co­vých zá­klad­ních ope­ra­cí je mi­mo roz­sah člán­ku, v pří­pa­dě, že bys­te ne­vě­dě­li „kte­rá bi­je“, o ma­te­ma­tic­kých ope­ra­cích s vek­to­ry a ma­ti­ce­mi do­po­ru­čím ně­kte­rý z člán­ků či pre­zen­ta­cí vol­ně le­ží­cích na in­ter­ne­tu:

Pri­már­ní stu­di­um — te­dy zjis­tit jak co fun­gu­je:

Dal­ší ma­te­ri­á­ly (sekun­dár­ní stu­di­um):

Bo­hu­žel je pro po­cho­pe­ní člán­ku bez­pod­ní­neč­ně nut­né, abys­te ale­spoň zá­kald­ní ope­ra­ce s vek­to­ry zna­li. Ne­ní po­tře­ba žád­ných „hlu­bo­kých“ zna­los­tí, ale vy­svět­lo­vat co je to vek­tor či ma­ti­ce je bo­hu­žel mi­mo roz­sah to­ho­to člán­ku.

Ny­ní te­dy jen struč­ně — jed­na ze zá­kald­ních ope­ra­cí, kte­rou bu­de­me po­tře­bo­vat, je ma­ti­co­vý sou­čin:

$$ \begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}=a\cdot c + b \cdot d$$

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}b_1 + a_{12}b_2 \\ a_{21}b_1 + a_{22}b_2\end{pmatrix}$$

Ohled­ně kom­plex­ních čí­sel bu­de­me muset znát po­jem kom­plex­ně sdru­že­né čís­lo, což je ta­ko­vé čís­lo, je­hož ima­gi­nár­ní slož­ka je pře­vrá­ce­ná. Ozna­ču­je­me „hvěz­dič­kou“:

$$ X = a + \mathrm{i}b$$

$$ X^{*} = a – \mathrm{i}b$$

Diracova notace, systém bra-ket

Ny­ní, když ví­me, co bu­de­me po­tře­bo­vat ja­ko te­o­re­tic­ký zá­klad, mů­že­me se s chu­tí vrh­nout na to, co sli­bu­je sa­mot­ný pod­nad­pis, te­dy  na tzv. Diracovo[2]či Di­ra­co­vou, ale to se mi dost pří­čí no­ta­ci, nebo-li sys­tém bra-ket.

Jak jste si za­jis­té všimli, slo­vo „bra“ a „ket“ do­hro­ma­dy v an­g­lič­ti­ně da­jí slo­vo „bra/c/ket“ — te­dy „zá­vor­ky“ 🙂 Vel­mi roz­to­mi­lé. Kaž­do­pád­ně sys­tém je tvo­řen dvě­ma vek­to­ry:

Vek­tor bra (ano, pod­prsen­ka…), kte­rý vy­pa­dá ná­sle­dov­ně:

$$\langle{}a | = \begin{pmatrix}a_1 & a_2\end{pmatrix}^*$$

Te­dy jed­ná se o řád­ko­vý vek­tor, kde jsou čís­la na­víc kom­plex­ně sdru­že­ná. U re­ál­ných hod­not to­to sa­mo­zřej­mě ne­má vliv (po­kud kom­plex­ně sdru­ží­te re­ál­né čís­lo, zís­ká­te to sa­mé re­ál­né čís­lo), nicmé­ně v pří­pa­dě s vý­po­čty v kom­plex­ní ro­vi­ně na to ne­smí­te za­po­me­nout.

Vek­tor ket vy­pa­dá tak­to:

$$ |a\rangle = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix}$$

Sa­mo­zřej­mě bych mohl zo­bec­nit do \(n\) di­men­zí, ale pro zjed­no­du­še­ní teď uva­žuj­me pou­ze dvě. S ví­ce di­men­ze­mi se se­tká­me poz­dě­ji, až se to­to bu­de­me sna­žit prak­tic­ky uká­zat na po­la­ri­za­ci fo­to­nu a elek­tro­nu.

S tě­mi­to vek­to­ry mů­že­te pro­vá­dět veš­ke­ré ope­ra­ce, na kte­ré jste zvyklí od běž­ných vek­to­rů — např. sou­čet dvou ket vek­to­rů:

$$|a\rangle +|b\rangle= \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}$$

Co je pro nás však dů­le­ži­té (z hle­dis­ka fy­zi­ky), po­kud vy­ná­so­bí­me bra vek­tor vek­to­rem ket. Te­dy:

$$\langle{}a|b\rangle$$

To­to mů­že­me po­jme­no­vat ja­ko ska­lár­ní sou­čin[3]Pro po­tře­by to­ho­to člán­ku bu­du ozna­čo­vat tak­to, nicmé­ně ska­lár­ní sou­čin nor­mál­ně fun­gu­je bez kom­plex­ně sdru­že­ných čí­sel, tak­že to­to ve své pod­sta­tě ne­ní „až tak“ běž­ný ska­lár­ní sou­čin. Správ­ně bych měl tře­ba na­zý­vat kon­ju­go­va­ný sk. sou­čin, ale jsem moc lí­ný to psát tak­to dlou­hé — pro­to od­teď bu­du psát pou­ze „ska­lár­ní sou­čin“. Dě­ku­ji za po­cho­pe­ní. a vel­mi dob­ře ho zná­me z běž­ných vý­po­čtů s vektory[4]Pro dal­ší in­for­ma­ce do­po­ru­ču­ji bez­vad­ný zdroj všech mož­ných ma­te­ma­tic­kých in­for­ma­cí — web Mat­Fy­zu :-): http://wiki.matfyz.cz/index.php?title=16._Formalizmus_kvantov%C3%A9_teorie.

Mů­že­me te­dy psát (pro dvou­roz­měr­ný pro­stor):

$$\langle{}a|b\rangle = \begin{pmatrix} a_1^* & a_2^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1^*b_1+a_2^*b_2$$

Vý­sled­kem je te­dy čís­lo, ni­ko­liv vek­tor. Zkusíme-li ny­ní udělt kom­plex­ně sdru­že­nou va­ri­an­tu to­ho sou­či­nu:

$$\langle{}a|b\rangle^* = a_1b_1^* + a_2b_2^*$$

Ny­ní už asi vi­dí­me, že po­kud bych oto­čil vek­to­ry:

$$\langle{}b|a\rangle = a_1b_1^* + a_2b_2^*$$

do­sta­ne­me to­též. Mů­že­me te­dy s klid­ným svě­do­mím psát:

$$\langle{}a|b\rangle = \langle{}b|a\rangle^*$$

Než bu­de­me po­kra­čo­vat dá­le, mu­sí­me se lehce za­mě­řit na ma­ti­ce a ope­ra­ce nad ni­mi. Pro ilu­stra­ci po­u­ži­ji 3×3 ma­ti­ce, ale sa­mo­zřej­mě bu­de fun­go­vat v li­bo­vol­ných di­men­zích. Za­čně­me te­dy po­pi­sem ma­ti­ce — jak jis­tě ví­te, ma­ti­ce má hlav­ní di­a­go­ná­lu:

$$A_{ij} = \begin{pmatrix}a_{11} & … & … \\ … & a_{22} & … \\ …  & … & a_{33}\end{pmatrix}$$

A mů­že­me z ma­ti­ce udě­lat ma­ti­ci trans­po­no­va­nou, jed­no­du­še to zna­me­ná, že pře­ho­dí­me (zr­ca­dlo­vě) pod­le osy hlav­ní di­a­go­ná­ly hod­no­ty. Ji­ný­mi slo­vy pře­ho­dí­me řád­ky a sloup­ce. Zna­čí­me in­de­xem \(T\):

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}$$

Sa­mo­zřej­mě pla­tí, že transponujeme-li dva­krát za se­bou stej­nou ma­ti­ci, zís­ká­me zpět tu prv­ní.

Dá­le je snad sa­mo­zřej­mé, že po­kud bu­de­me chtít kom­plex­ně sdru­že­né hod­no­ty z ma­ti­ce, mu­sí­me udě­lat všech­ny kom­plex­ně sdru­že­né hod­no­ty všech prv­ků:

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}a_{11}^* & a_{12}^* \\ a_{21}^* & a_{22}^*\end{pmatrix}$$

Sa­mo­zřej­mě mů­že­me vý­še uve­de­né dvě ma­ti­ce „zkom­bi­no­vat“ — te­dy trans­po­no­vat a ješ­tě pře­vést na kom­plex­ně sdru­že­né hod­no­ty. Ta­ko­vou ma­ti­ci zna­čí­me „kříž­kem“ (v an­g­lič­ti­ně dag­ger — či­li dý­ka):

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}^\dagger = \begin{pmatrix} a_{11}^* & a_{21}^* \\ a_{12}^* & a_{22}^*\end{pmatrix}$$

Ny­ní pro­zkou­mej­me, co se sta­ne, po­kud po­u­ži­je­me např. ná­sle­du­jí­cí ma­ti­ci:

$$\begin{pmatrix}1 & 2+i3 \\ 2-i3 & 4\end{pmatrix}^\dagger$$

Po­kud udě­lá­me „kříž­ko­va­nou ma­ti­ci“, zjis­tí­me, že se bu­de rov­nat sa­ma so­bě, te­dy:

$$\begin{pmatrix}1 & 2+i3 \\ 2-i3 & 4\end{pmatrix}^\dagger = \begin{pmatrix}1 & 2+i3 \\ 2-i3 & 4\end{pmatrix}$$

Po­kud ně­co ta­ko­vé­ho na­sta­ne, mů­že­me o na­ší ma­ti­ci tvr­dit, že je her­mi­tov­ská.

Zkus­me ny­ní, co se sta­ne, zkusíme-li vy­ná­so­bit ma­ti­ci a ket vek­tor:

$$A|b\rangle=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\end{pmatrix}$$

a do­sta­ne­me:

$$A|b\rangle=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}v_1 + a_{12}v_2 \\ a_{21}v_1 + a_{22}v_2 \end{pmatrix}$$

Abychom ta­dy po­řád jen ne­pís­men­ko­va­li, zkus­me si to uká­zat prak­tic­ky na pří­kla­du:

$$\begin{pmatrix}1 & 1+i \\ 1-i & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + (1+i) \cdot 0 \\ (1-i) \cdot 1 + 2 \cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 1-i\end{pmatrix}$$

Zpátky k fyzice

Po krát­ké ces­tě do útrob ma­te­ma­ti­ky se opět mů­že­me vrá­tit k fy­zi­ce a k to­mu, k če­mu všech­ny ty­to ma­te­ma­tic­ké vě­ci vy­u­ži­je­me. Po ces­tě sa­mo­zřej­mě při­dá­me ješ­tě ně­ja­ké dal­ší, ale vý­še uve­de­né jsou ta­ko­vou „ma­te­ma­tic­kou star­to­va­cí čá­rou“ pro po­cho­pe­ní vě­cí dal­ších.

Bu­de­me se ba­vit o po­la­ri­za­ci čás­tic, kon­krét­ně svět­la, te­dy fo­to­nů. Co je to vlast­ně po­la­ri­za­ce? K če­mu slou­ží? Nej­jed­no­duš­še­ji si ji lze před­sta­vit pro­střed­nic­tvím ob­ráz­ku. Měj­me ně­ja­ký zdroj ne­po­la­ri­zo­va­né­ho svět­la — např. žá­rov­ku, LED[5]Nikdy pro­sím ne­piš­te LED di­o­du, to je ja­zy­ko­vě špat­ně., ně­co ta­ko­vé­ho.

zdroj světlaZ to­ho­to zdro­je se ší­ří ne­po­la­ri­zo­va­né svět­lo, tzn. že ne­má žád­nou „po­la­ri­tu“. Tím je myš­le­no, že je­ho vl­ny jdou „ve všech smě­rech“ sou­čas­ně. Ne­plést s ne­ho­mo­gen­ním svě­tel­ným zdro­jem, což je zdroj, kte­rý vy­sí­lá svět­lo „na všech frek­ven­cích“. Svě­tel­ný zdroj te­dy mů­že být po­la­ri­zo­va­ný ho­mo­gen­ní, ne­po­la­ri­zo­va­ný ho­mo­gen­ní, po­la­ri­zo­va­ný ne­ho­mo­gen­ní a ne­po­la­ri­zo­va­ný ne­ho­mo­gen­ní.

Abychom ta­ko­vé svět­lo „zpo­la­ri­zo­va­li“, po­tře­bu­je­me ně­ja­ký po­la­ri­zá­tor, pří­pad­ně po­la­ri­zač­ní fil­tr. Po­la­ri­zač­ní fil­tr je za­ří­ze­ní, kte­ré pro­pus­tí svět­lo pou­ze kte­ré má ně­ja­kou kon­krét­ní po­la­ri­za­ci. Pro zjed­no­du­še­ní si ny­ní ur­če­me tři zá­klad­ní smě­ry:

  • do­pra­va do­le­va se bu­de­me po­hy­bo­vat po ose \(x\).  Svět­lo po­la­ri­zo­va­ní po ose \(x\) bu­de svět­lo s ho­ri­zon­tál­ní po­la­ri­za­cí
  • na­ho­ru do­lů se bu­de­me po­hy­bo­vat po ose \(y\). Svět­lo tak­to po­la­ri­zo­va­né bu­de mít ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­ci.
  • do­pře­du a do­za­du se na­chá­zí­me na ose \(z\). Svět­lo tak­to po­la­ri­zo­va­né bu­de mít tak­též ho­ri­zon­tál­ní po­la­ri­za­ci.

Pro zjed­no­du­še­ní však nejdří­ve bu­de­me uva­žo­vat pou­ze dva smě­ry, te­dy doprava/doleva a nahoru/dolů. Při­dej­me pro­to do na­še­ho si­tu­ač­ní­ho plán­ku ta­ko­vý po­la­ri­zač­ní fil­tr a po­šle­me skrz ně­ho pa­prsek svět­la:

paprsek

Ten­to pa­prsek bu­de mít po prů­cho­du ta­ko­vým po­la­ri­zá­to­rem ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­ci, te­dy bu­de mít po­la­ri­za­ci po ose \(y\). Po­kud bychom ny­ní zkou­še­li, co se s ta­ko­vým pa­prskem dá­le sta­ne, zařadíme-li do ně­ho dal­ší po­la­ri­zá­tor, zjis­tí­me, že zařadíme-li dal­ší ver­ti­kál­ní \(y\) po­la­ri­zá­tor, svět­lo ne­ztra­tí nic ze své intenzity[6]samozřejmě v ide­ál­ních pod­mín­kách s ide­ál­ní­mi fil­try atd. a bu­de mít in­ten­zi­tu 100 % in­ten­zi­ty před dru­hým fil­trem:

dvojitá polarizace stejným směrem

Na­o­pak po­kud dru­hý fil­tr oto­čí­me o 90 °, bu­de vý­stu­pem 0% in­ten­zi­ta — všech­no svět­lo se bě­hem sekun­dár­ní po­la­ri­za­ce ztra­tí:

dvojitá polarizace různým směrem

Po­kud bu­de­me s dru­hým fil­trem růz­ně otá­čet, do­sta­ne se nám růz­né věl­kých in­ten­zit na vý­stu­pu ta­ko­vé kaská­dy; ty­to in­ten­zi­ty bu­dou do­kon­ce zá­vi­set pří­mo na roz­dí­lu úhlu těch­to fil­trů, konrét­ně fak­to­rem \(\cos^2(\alpha)\). Nicmé­ně zde kon­čí běž­ný „makro­sko­pic­ký“ svět na­šich dob­ře nám zná­mých před­stav.

Když si totiž uvě­do­mí­me, že in­ten­zi­ta svět­la od­po­ví­dá \(I = \mathrm{k}E^2\), po­tom by moh­lo vy­pa­dat, že s kle­sa­jí­cí in­ten­zi­tou bu­de kle­sat i ener­gie zá­ře­ní — a tím pod­le zná­mé­ho \(E=hf\) by mě­la kle­sat i frek­ven­ce zá­ře­ní. Nicmé­ně to se ne­dě­je. A již za oka­mžik si vy­svět­lí­me proč — jed­ná se totiž o kvan­to­vé je­vy, kte­ré jsou pro člo­vě­ka, kte­rý je zvyk­lý na běž­né makro­sko­pic­ké je­vy, po­měr­ně ne­při­ro­ze­né.

Je nut­né nad svět­lem (byť po­la­ri­zo­va­ným) uva­žo­vat ja­ko nad prou­dem čás­tic. Dru­hý po­la­ri­zá­tor ne­dě­lá nic ji­né­ho, než že pro­pus­tí ty fo­to­ny, kte­ré spl­ňu­jí pod­mín­ky pro­puš­tě­ní a „za­mít­ne“ fo­to­ny, kte­ré ne­spl­ňu­jí ta­ko­vé pod­mín­ky. Avšak ty fo­to­ny, kte­ré pro­pus­tí, těm ener­gii ne­mě­ní. Ne­na­stá­vá te­dy změ­na ener­gie fo­to­nu, pou­ze množ­ství fo­to­nů, kte­ré se pro­pus­tí. A to je dost zá­sad­ní roz­díl.

Pojď­me se ny­ní po­dí­vat, jak fun­gu­je svět­lo ja­ko proud čás­tic. Vy­u­žijme k to­mu vý­še uve­de­ných dvou po­la­ri­zač­ních fil­trů. Již jsme si před­sta­vi­li braket vek­to­ry, ny­ní je mů­že­me vy­u­žít prak­tic­ky. Troš­ku „ze vzdu­chu“ ny­ní vy­pus­tím je­den dů­le­ži­tý vztah — kte­rý sho­dou okol­nos­tí krás­ně po­pi­su­je kvan­to­vé je­vy:

$$H|a\rangle=\lambda|a\rangle$$

Rovnice[7]Někdo v tom za­jis­té uvi­dí emo­ti­ko­nu vy­ja­dřu­jí­cí pře­dek au­to­bu­su 🙂 vy­ja­dřu­je, ja­kým způ­so­bem se cho­va­jí čás­ti­ce v mi­k­ro­svě­tě. Zkus­me ny­ní po­mo­cí té­to rov­ni­ce vy­já­d­řiv vý­še uve­de­né si­tu­a­ce s dvě­ma po­la­ri­zač­ní­mi fil­try. Ze za­čát­ku bu­du há­zet tro­chu „ná­hod­né“ hod­no­ty do ma­tic, pro­sím za­tím mi dů­vě­řuj­te, po­stup­ně se do­sta­nu i k je­jich vy­já­d­ře­ní, ny­ní však chci, abychom se po­dí­va­li prak­tic­ky na vy­u­ži­tí rov­ni­ce.

Co jed­not­li­vé kom­po­nen­ty rov­ni­ce zna­me­na­jí? Ny­ní jen struč­ně:

  • \(\langle{}H|\) vy­ja­dřu­je matici[8]o kte­ré se ča­sem do­zví­me, že je Her­mi­tov­ská, kte­rá vy­ja­dřu­je ně­ja­ké „hod­no­ty v ex­pe­ri­men­tu“.
  • \(|a\rangle\) je tzv. vlast­ní vek­tor, kte­rý ur­ču­je stav sys­té­mu.
  • \(\lambda\) je tv. vlast­ní čís­lo, kte­ré ur­ču­je vý­stup z ex­pe­ri­men­tu.
  • \(|a\rangle\) je opět ten stej­ný vlast­ní vek­tor, ja­ko o ně­ko­lik bo­dů vý­še. Všim­ně­me si, že ten­to vek­tor je oprav­du stej­ný ja­ko na za­čát­ku re­ak­ce.

Po­kud bu­de­me te­dy uva­žo­vat ver­ti­kál­ně po­la­ri­zo­va­né svět­lo (či proud čás­tic obec­ně) a při­řa­dí­me ná­sle­du­jí­cí vek­to­ry:

  • ho­ri­zon­tál­ní po­la­ri­za­ce: \(|x\rangle= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)
  • ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­ce: \(|y\rangle= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)

Mů­že­me se ptát ná­sle­du­jí­cím bra-ketovým zá­pi­sem:

$$\langle{}x|y\rangle$$

Te­dy slo­vy: Ja­ká je prav­dě­po­dob­nost­ní am­pli­tuda, že připravíme-li čás­ti­ci, kte­rá bu­de mít \(y\) po­la­ri­za­ci, pro­jde ta­ko­vá čás­ti­ce fil­trem s \(x\) po­la­ri­za­cí? Sa­mo­zřej­mě se mů­že­me ptát pak i obec­ně na li­bo­vol­ný úhel, ale o tom až poz­dě­ji.

Proč však pou­ze „prav­dě­po­dob­nos­tí am­pli­tuda“? Pro­to­že abychom zís­ka­li prav­dě­po­dob­nost, mu­sí­me po­u­žít:

$$\langle{}x|y\rangle\langle{}y|x\rangle$$

Nicmé­ně jak jsme uká­za­li vý­še, to­to se dá za­psat i ja­ko:

$$\langle{}x|y\rangle\langle{}x|y\rangle^*$$

Vy­u­ži­je­me te­dy kom­plex­ně sdru­že­ných čí­sel. Budeme-li však uva­žo­vat pou­ze re­ál­ná čís­la, kde je ima­gi­nár­ní slož­ka nu­lo­vá, mů­že­me pak s klid­ným svě­do­mím psát, že prav­dě­po­dob­nost ta­ko­vé­ho je­vu je:

$$\langle{}x|y\rangle^2$$

Zpět k prak­tic­ké­mu pří­kla­du — ja­ká je te­dy prav­dě­po­dob­nost, že ho­ri­zon­tál­ně po­la­ri­zo­va­ná čás­ti­ce pro­jde fil­trem s ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­cí?

$$ \langle{}x|y\rangle^2 = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}^* \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = 0$$

Vý­po­čet te­dy od­po­ví­dá re­a­li­tě, pro­to­že pro kol­mé ro­vi­ny po­la­ri­za­ce čás­ti­ce a po­la­ri­zač­ní­ho fil­tru, je prav­dě­po­dob­nost oprav­du nu­lo­vá.

Stej­ně tak zjis­tí­me, že pro stej­nou po­la­ri­za­ci čás­ti­ce i směr fil­tru do­sta­ne­me:

$$ \langle{}x|y\rangle^2 = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}^* \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = 1$$

Či­li opět od­po­ví­da­jí­cí stav re­a­li­tě — v ta­ko­vém pří­pa­dě má­me 100% prav­dě­po­dob­nost, že ta­ko­vá čás­ti­ce pro­jde.

Vrať­me se ny­ní k na­še­mu (staré­mu zná­mé­mu) \(H|a\rangle=\lambda|a\rangle\).

Ny­ní opět „vy­stře­lím“ do vzdu­chu a na­píšu, jak ta­ko­vé \(H\) vy­pa­dá, vy­svět­le­ní však při­jde poz­dě­ji (od­vo­ze­ní). Mys­lím si, že pro po­cho­pe­ní to­ho, jak to od­vo­dit, je dob­ré nejdří­ve vě­dět, jak ta­to „věc“ fun­gu­je. Po­tom už je od­vo­ze­ní otáz­ka chvil­ky 🙂

Řek­ně­me, že ta­to Her­mi­tov­ská ma­ti­ce má tvar \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\).

Po­tom, co udě­lá­me \(H|x\rangle=\lambda|x\rangle\)  zjis­tí­me, že:

$$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

mů­že­me vy­ře­šit ja­ko:

$$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1 + 0\cdot 0 \\ 0 \cdot 1 – 1 \cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$$

Podíváme-li se na vý­še uve­de­nou for­mu­li:

$$\color{blue}H|\color{red}a\rangle=\color{pink}\lambda|\color{red}a\rangle$$

a zapíšeme-li ma­ti­co­vě te­dy ja­ko:

$$\color{blue}{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}}\color{red}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\color{red}{\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}}$$

a te­dy pou­ze do­pl­ní­me \(\color{pink}\lambda\) a zís­ká­me:

$$\color{blue}{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}}\color{red}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\color{pink}\lambda\color{red}{\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}}$$

Vi­dí­me, že \(\lambda=1\). Ny­ní se zkus­me po­dí­vat, co se sta­ne, po­kud po­u­ži­je­me ket \(|y\rangle\):

$$\color{blue}{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}}\color{red}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\color{pink}\lambda\color{red}{\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}}$$

Spočítáme-li sou­čin her­mi­tov­ské ma­ti­ce a ke­tu na le­vé stra­ně rov­ni­ce, do­sta­ne­me:

$$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot0 + 0\cdot 1 \\ 0 \cdot 0 – 1 \cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -1\end{pmatrix}$$

Abychom te­dy do­sta­li stej­ný vlas­ní vek­tor vpra­vo i vle­vo, vlast­ní čís­lo \(\lambda\) mu­sí být \(\color{pink}{\lambda=-1}\) a te­dy:

$$\color{blue}{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}}\color{red}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\color{pink}{-1}\color{red}{\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}}$$

Co nám te­dy hod­no­ta \(\lambda\) ří­ká? Prak­tic­ky si ji mů­že­me před­sta­vit ja­ko „krabičku“[9]Prostě blac­kbox 🙂 , kte­rá nám ně­ja­kým in­di­ká­to­rem (tře­ba LED) ří­ká, jest­li to, co na­sta­vu­je­me (stav sys­té­mu, te­dy ket) je v ex­pe­ri­men­tu (zde bra) po­tvr­ze­no (\(\lambda\)) či ni­ko­liv.

Polarizace s obecným úhlem

Zkus­me se ny­ní po­dí­vat na si­tu­a­ci, kdy má­me ně­ja­kým smě­rem (ať už ho­ri­zon­tál­ně či ver­ti­kál­ně) po­la­ri­zo­va­ný pa­pr­dek svě­la a pro­že­ne­me ho po­la­ri­zá­to­rem, kte­rý je na­to­če­ný ně­ja­kým obec­ným úhlem \(\phi\).

Za­čně­me nejdří­ve troš­ku „mé­ně obec­nou“ va­ri­an­tou, vlast­ně do­ce­la dost kon­krét­ní — na­stav­me po­la­ri­zač­ní fil­tr pod úhlem 45 °. Jen­že — vy­vstá­vá pro­blém, jak vek­to­ro­vě re­pre­zen­to­vat mož­nost na­to­če­ní pod tím­to úhlem. Na­bí­zí se (ne až tak špat­né) ře­še­ní, kte­ré má však své drob­né úska­lí, jež ale vel­mi zá­hy pře­ko­ná­me a vy­ře­ší­me.

Před­stav­me si te­dy ny­ní si­tu­a­ci, kdy má­me ver­ti­kál­ně po­la­ri­zo­va­ný pa­prsek svět­la a po­sta­ví­me před ně­ho po­la­ri­zá­tor v úhlu 45 ° „do­pra­va“ — te­dy ja­ko lo­mít­ko „/“ 🙂 Ja­kým způ­so­bem te­dy re­pre­zen­to­vat to­to „lo­mít­ko?“ Da­lo by se ří­ci (při­blí­žit se cí­li), že po­kud je po­la­ri­zá­tor pod ta­ko­vým­to úhlem, je na­sta­ven vlast­ně „ně­kde ako­rát me­zi“ — te­dy ani ne moc ho­ri­zon­tál­ně, ale ani ne moc ver­ti­kál­ně.

Moh­li bychom te­dy zku­sit vy­slo­vit hy­po­té­zu, že vý­sled­ná po­la­ri­za­ce bu­de ně­co ja­ko sou­čet ho­ri­zon­tál­ní­ho a ver­ti­kál­ní­ho po­la­ri­zá­to­ru — te­dy ně­co ja­ko \(|x\rangle + |y\rangle\). To je po­měr­ně dob­rá myš­len­ka, ale při­vá­dí nám ně­kte­rá úska­lí, kte­rá si ny­ní uká­že­me.

Ví­me, že vlast­ní vek­to­ry jsou vektory[10]Už jen pro­to, že se tak jme­nu­jí, ale hlav­ně se tak i cho­va­jí 🙂 , tak­že s ni­mi mů­že­me dě­lat i běž­né vek­to­ro­vé ope­ra­ce, ja­ko tře­ba sou­čet:

$$\color{blue}{|x\rangle} + \color{violet}{|y\rangle} =
\color{blue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}+\color{violet}{\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}}
=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Ny­ní však ex­pe­ri­ment — po­kud vez­me­me svět­lo po­la­ri­zo­va­né pod úhlem 45 ° a pro­že­ne­me ho fi­lrem pod stej­ným úhlem, mu­sí nám vy­jít, že má­me opět 100 % svět­la, kte­rá jsme tam vpus­ti­li, i na dru­hé stra­ně, te­dy označíme-li ta­ko­vý po­la­ri­zač­ní fil­tr ja­ko \(|/\rangle\) a zdroj svět­la ja­ko \(\langle/|\), do­sta­ne­me:

$$\left(|\langle{}/|/\rangle{}|\right)^2=\left(\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)^2 = 2^2 = 4$$

Či­li, jak vi­dí­me, vy­jde nám 400% prav­dě­po­dob­nost, že fo­ton pro­jde. To je si­ce dost pů­so­bi­vé, nicmé­ně po­tře­bo­va­li bychom (tak ně­jak lo­gic­ky) do­stat, že nám pros­tě vy­jde 100 %. A to­ho do­cí­lí­me me­to­dou nor­ma­li­za­ce.

Nej­jed­no­duš­še­ji bychom řek­li, že chce­me ze čtyř­ky udě­lat jed­nič­ku, tak­že pros­tě po­dě­lí­me čtyř­mi a má­me jed­nič­ku — ve své pod­sta­tě vlast­ně ano, ale po­kud bychom si chvil­ku s vek­try hrá­li a zjiš­ťo­va­li, čím vstup po­dě­lit, aby na vý­stu­pu by­lo 4krát men­ší čís­lo, při­šli bychom na vztah:

$$\frac{|x\rangle + |y\rangle}{\sqrt{2}}$$

Zkus­me ny­ní ově­řit:

$$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

Skvě­lé! Tak­že má­me před­pis, kte­rý pro ta­ko­vou po­la­ri­za­ci mů­že­me po­u­žít. Zce­la in­tu­i­tiv­ně též od­had­ne­me, jak bu­de vy­pa­dat vzo­rec pro po­la­ri­zač­ní fil­tr o 45 ° na dru­hou stra­nu, te­dy ja­ko lo­mít­ko „\“ — ver­ti­kál­ní slož­ka (te­dy \(|x\rangle\)) zů­sta­ne stej­ná, ho­ri­zon­tál­ní slož­ka bu­de opač­ná (te­dy \(-|y\rangle\)):

$$\frac{|x\rangle – |y\rangle}{\sqrt{2}}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$$

Ny­ní te­dy zkus­me, jak by do­padlo, po­kud bychom vza­li po­la­ri­zo­va­né svět­lo ve smě­ru „opač­né­ho lo­mít­ka \“ a pus­ti­li ho přes fil­tr „běž­né­ho lo­mít­ka /?“  Ví­me, že vý­sle­dek mu­sí být nu­lo­vý, ověř­me pro­to funk­ci:

$$
|\left\langle\color{red}/|\color{violet}\setminus\right\rangle|^2=
\left(
\color{red}{\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}}
\color{violet}{\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}}
\right)^2=
\left(
\color{red}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\cdot\color{violet}{\frac{1}{\sqrt{2}}}-
\color{red}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\cdot\color{violet}{\frac{1}{\sqrt{2}}}
\right)^2=0
$$

Ny­ní, když ví­me, že na­še vek­to­ry pro zá­pis po­la­ri­zač­ní­ho fil­tru jsou funkč­ní, mů­že­me opět stej­ně, ja­ko jsme mě­li vý­še, pro­vést po­kus s Her­mi­tov­skou maticí[11]tentokrát tro­chu ji­nou, poz­dě­ji se oprav­du do­sta­nu k od­vo­ze­ní to­ho, proč zrov­na ta­ko­vou 🙂 :

$$
H|/\rangle=\lambda|/\rangle
\\
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
=
\lambda\cdot
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
$$

Vi­dí­me te­dy, že vlast­ní vek­to­ry se opět rov­na­jí, a te­dy \(\lambda=1\) tak­též.

Krátké shrnutí

Shrň­me si ny­ní v krát­kos­ti, jak vy­pa­da­jí jed­not­li­vé vek­to­ry pro růz­né úh­ly po­la­ri­za­ce:

  • Ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­ce, te­dy „|“ : \(0|x\rangle+1|y\rangle=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\)
  • Ho­ri­zon­tál­ní po­la­ri­za­ce, te­dy „ – “ : \(1|x\rangle+0|y\rangle=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\)
  • Šik­má po­la­ri­za­ce „/“ : \(\frac{1}{\sqrt{2}}|x\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|y\rangle=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \)
  • Šik­má po­la­ri­za­ce „\“ : \(\frac{1}{\sqrt{2}}|x\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|y\rangle=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \)[12]Ve své pod­sta­tě je téměř jed­no, jest­li dá­te do zá­po­ru \(x\) ne­bo \(y\), pro­to­že vý­sle­dek bu­de prak­tic­ky stej­ný — stej­ně ja­ko je jed­no, jest­li udě­lá­te při např. ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­ci opač­ně \(y\), pro svět­lo je to jed­no 🙂

Mož­ná už je troš­ku z to­ho­to shr­nu­tí vi­dět, co vlast­ně re­pre­zen­tu­jí jed­not­li­vá čís­la za­psa­ná v těch­to tak­to za­psa­ných vlast­ních vek­to­rech. Jed­ná se (opět, na­ra­zi­li jsme na to ze za­čát­ku tex­tu) o prav­dě­po­dob­nost­ní am­pli­tu­du, což je ne­mě­ři­tel­ná ve­li­či­na, kte­rá prá­vě v kvan­to­vém svě­tě po­pi­su­je krás­ně ty­to je­vy. Po­kud umoc­ní­me ab­so­lut­ní hod­no­tu té­to ve­li­či­ny na dru­hou, do­sta­ne­me prav­dě­po­dob­nost, ja­kou pro­jde čás­ti­ce fil­trem prá­vě s ta­ko­vou prav­dě­po­dob­nost­ní am­pli­tu­dou.

Jak je to tedy s obecným vztahem pro obecný úhel?

Po­dí­vej­me se ny­ní na to, jak bychom obec­ně vy­já­d­ři­li vlast­ní vek­tor pro obec­ný úhel. Podíváme-li se na běž­ný graf, kde jsem za­kres­lil ně­ja­ký obec­ný jed­not­ko­vý vek­tor pod úhlem \(\phi\)…

Základní diagram obecného vektoru
Zá­klad­ní di­a­gram obec­né­ho vek­to­ru

Dá nám smy­sl, že ten­to jed­not­ko­vý vek­tor vy­tkne na ose \(x\) prá­vě \(\cos{\phi}\) a na ose \(y\) prá­vě \(\sin{\phi}\) jed­no­tek těch­to os.  Zkus­me te­dy před­po­klá­dat, že bychom moh­li tvr­dit ná­sle­du­jí­cí (což vy­pa­dá po­měr­ně lo­gic­ky):

$$
|\phi\rangle=
\begin{pmatrix}
\cos{\phi}\\\sin{\phi}
\end{pmatrix}
=
\cos{\phi}|x\rangle + \sin{\phi}|y\rangle
$$

Stej­ně ja­ko u všech vek­to­rů, po­kud chce­me vy­tvo­řit kol­mý vek­tor (v tom­to pří­pa­dě do­kon­ce or­to­go­nál­ní, te­dy ta­ko­vý, kte­rý má přes­ně opač­né vlast­nos­ti ja­ko prv­ní vektor[13]Či li­do­vě — vše, co je tu­to, přes­ně ne­ní tam­to 😀 ), udě­lá­me „trik“ s pro­ho­ze­ním a oto­če­ním, te­dy obec­ně vek­tor \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\) pře­ve­de­me na \(\begin{pmatrix}y \\ -x\end{pmatrix}\). Na­zvě­me si te­dy náš prv­ní vek­tor kupří­kla­du \(\phi_{\alpha}\) a náš dru­hý \(\phi_{\beta}\):

$$
\phi_{\alpha}=
\begin{pmatrix}
\cos{\phi}\\\sin{\phi}
\end{pmatrix}
$$

$$
\phi_{\beta}=
\begin{pmatrix}
\sin{\phi}\\-\cos{\phi}
\end{pmatrix}
$$

Ověř­me ny­ní hy­po­té­zu o prů­cho­du dvě­ma po­la­ri­zá­to­ry (pří­pad­ně hy­po­té­zu o prů­cho­du po­la­ri­zo­va­ných fo­to­nů kol­mo ori­en­to­va­ným po­la­ri­zá­to­rem):

$$
\left\langle \phi_{\alpha}|\phi_{\beta}\right\rangle=
\begin{pmatrix}
\cos{\phi} & \sin{\phi}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sin{\phi} \\ -\cos{\phi}
\end{pmatrix}
=
\cos{\phi}\sin{\phi}-\sin{\phi}\cos{\phi}
=
0
$$

Te­dy po­tvr­ze­no 🙂 Zkus­me pro jis­to­tu ješ­tě dvě stej­no­směr­né po­la­ri­za­ce:

$$
\left\langle \phi_{\alpha}|\phi_{\alpha}\right\rangle=
\begin{pmatrix}
\cos{\phi} & \sin{\phi}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos{\phi} \\ \sin{\phi}
\end{pmatrix}
=
\cos{\phi}\cos{\phi}+\sin{\phi}\sin{\phi}
=
\cos^2{\phi}+\sin^2{\phi}
=
1
$$

Ny­ní se po­dí­vej­me, ja­ká prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du čás­ti­ce bu­de, po­kud při­pra­ví­me čás­ti­ci s obec­nou po­la­ri­za­cí pod úhlem \(\phi\) a po­la­ri­zač­ní fil­tr na­sta­ví­me ho­ri­zon­tál­ně:

$$
\left(
|
\left\langle x | \phi \right\rangle
|
\right)^2
=
\left(
\begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos{\phi} \\ \sin{\phi}
\end{pmatrix}
\right)^2
=
\left(
1\cdot\cos{\phi} + 0\cdot\sin{\phi}
\right)^2
=
\cos^2{\phi}
$$

No, tak vý­bor­ně 🙂 Stej­ným způ­so­bem bychom moh­li spo­čí­tat prav­dě­po­dob­nost prů­cho­du, po­kud ne­ní po­la­ri­zač­ní fil­tr na­sta­ven ho­ri­zon­tál­ně, ale ver­ti­kál­ně, vy­jde to pros­tě stej­ně. Ny­ní te­dy ne­zbý­vá než udě­lat na­pros­to obec­ný pří­pad.

Měj­me te­dy zdroj ně­ja­ké­ho svět­la, kte­rý pro­že­ne­me dvě­ma po­la­ri­zač­ní­mi fil­try, kaž­dý na­sta­ven pod ur­či­tým obec­ným úhlem, prv­ní např. pod úhlem \(\phi_\alpha \) a dru­hý pod úhlem \(\phi_\beta\). Podrob­me na­še vý­po­čty to­mu­to tes­tu. Nej­pr­ve te­dy při­pra­ví­me svě­tel­ný pa­prsek fil­trem \(\phi_\alpha\), po­té po­kra­ču­je­me dá­le k fil­tru \(\phi_\beta\):

$$
\left|
\left\langle\beta|\alpha\right\rangle
\right|^2
=
\left(
\begin{pmatrix}
\cos\beta & \sin\beta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\alpha \\ \sin\alpha
\end{pmatrix}
\right)^2
=
\left(
\cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha
\right)^2
=
\cos(\alpha-\beta)^2
$$

Mož­ná se bu­de­te di­vit, jak jsem se do­stal k po­sled­ní­mu kro­ku — je to ně­ja­ký vzo­re­ček, stej­ně ja­ko \(\cos^x+\sin^2x=1\), pla­tí i ten­to vzo­re­ček 🙂 Dá­le — proč tam ne­ní roz­díl úh­lů tře­ba opač­ný — opět, je to jed­no, pro­to­že pla­tí \(\cos{x}=\cos{-x}\).

Tím jsme si te­dy po­tvr­di­li funk­ci těch­to „sta­veb­ních blo­ků“. Vrať­me se ny­ní na chvil­ku k pů­vod­ní­mu vzor­ci:

$$ H|a\rangle=\lambda|a\rangle$$

A prá­vě k Her­mi­tov­ské ma­ti­ci \(\hat{H}\). Vý­še jsme si uká­za­li ně­ja­ké pří­kla­dy na tu­to ma­ti­ci, nicmé­ně zkus­me ji ny­ní troš­ku zo­bec­nit. Nej­pr­ve na­píšu, jak „to s ní vy­pa­dá“ a po­té ro­ze­be­re­me, co se s ta­ko­vou ma­ti­cí dá dá­le dě­lat 🙂

$$
\hat{H}=
\begin{pmatrix}
\cos2\phi & \sin2\phi \\
\sin2\phi & -\cos2\phi
\end{pmatrix}
$$

Exis­tu­jí dva „vzo­reč­ky“, kte­ré zde vy­u­ži­je­me:

$$\cos2\phi=\cos^2\phi-\sin^2\phi$$

$$\sin2\phi=2\sin\phi\cos\phi$$

Těch zde vy­u­ži­je­me a pře­pí­še­me do ma­ti­ce. Pro zjed­no­du­še­ní teď vy­ne­chám ne­u­stá­lé psa­ní \(\phi\) a \(2\phi\):

$$
\hat{H}=
\begin{pmatrix}
\cos2\phi & \sin2\phi \\
\sin2\phi & -\cos2\phi
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos^2-\sin^2 & 2\cos\sin \\
2\cos\sin & \sin^2 – \cos^2
\end{pmatrix}
$$

Použijeme-li te­dy před­pi­su \(\hat{H}|\phi\rangle=\lambda|\phi\rangle\) a použijeme-li v něm nám již zná­mé prv­ky, do­sta­ne­me:

$$
\hat{H}|\phi\rangle=\lambda|\phi\rangle
\\
\begin{pmatrix}
\cos^2-\sin^2 & 2\cos\sin \\
2\cos\sin & \sin^2 – \cos^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \\ \sin
\end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
\cos \\ \sin
\end{pmatrix}
$$

Mě­lo by te­dy pla­tit, že pro­dukt na le­vé stra­ně bu­de stej­ný ja­ko vek­tor na pra­vé stra­ně. Udě­lej­me te­dy ně­ko­lik zá­klad­ních al­ge­braic­kých úprav:

$$
\begin{pmatrix}
\cos^2-\sin^2 & 2\sin\cos \\
2\sin\cos & \sin^2-\cos^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \\ \sin
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos^3-\sin^2\cos+2\sin^2cos \\
2\cos^2\sin + \sin^3 – \cos^2\sin
\end{pmatrix}
= \\ =
\begin{pmatrix}
\cos^3+\sin^2\cos \\
\cos^2\sin + \sin^3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\left(\cos^2+\sin^2\right) \\
\sin\left(\cos^2+\sin^2\right)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \\
\sin
\end{pmatrix}
$$

Vi­dí­me te­dy, že pro­dukt na le­vé stra­ně je oprav­du stej­ný, ja­ko vek­tor na stra­ně pra­vé, vlast­ní čís­lo je te­dy \(\lambda=1\) 🙂 Stej­ně tak to bu­de fun­go­vat i po­kud po­u­ži­je­me vek­to­ru or­to­go­nál­ní­ho, te­dy \(\begin{pmatrix}-\sin \\ \cos\end{pmatrix}\), jen sa­mo­zřej­mě vy­jde \(\lambda=-1\) dle oče­ká­vá­ní — kol­mý fil­tr na ro­vi­nu po­la­ri­za­ce ne­pro­pus­tí nic.

Další pokračování článku

V dal­ším po­kra­čo­vá­ní člán­ku, kte­rá vy­dám v ne­da­le­ké bu­douc­nos­ti, se bu­de­me vě­no­vat zvlášt­ní­mu ty­pu po­la­ri­za­ce, te­dy kru­ho­vé po­la­ri­za­ci, po­tom spi­nu čás­ti­ce a dal­ším za­jí­ma­vos­tem, tak se těš­te 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. Protože po­kud chce­me po­cho­pit spin, mu­sí­me po­cho­pit i ten zby­tek.
2. či Di­ra­co­vou, ale to se mi dost pří­čí
3. Pro po­tře­by to­ho­to člán­ku bu­du ozna­čo­vat tak­to, nicmé­ně ska­lár­ní sou­čin nor­mál­ně fun­gu­je bez kom­plex­ně sdru­že­ných čí­sel, tak­že to­to ve své pod­sta­tě ne­ní „až tak“ běž­ný ska­lár­ní sou­čin. Správ­ně bych měl tře­ba na­zý­vat kon­ju­go­va­ný sk. sou­čin, ale jsem moc lí­ný to psát tak­to dlou­hé — pro­to od­teď bu­du psát pou­ze „ska­lár­ní sou­čin“. Dě­ku­ji za po­cho­pe­ní.
4. Pro dal­ší in­for­ma­ce do­po­ru­ču­ji bez­vad­ný zdroj všech mož­ných ma­te­ma­tic­kých in­for­ma­cí — web Mat­Fy­zu :-): http://wiki.matfyz.cz/index.php?title=16._Formalizmus_kvantov%C3%A9_teorie
5. Nikdy pro­sím ne­piš­te LED di­o­du, to je ja­zy­ko­vě špat­ně.
6. samozřejmě v ide­ál­ních pod­mín­kách s ide­ál­ní­mi fil­try atd.
7. Někdo v tom za­jis­té uvi­dí emo­ti­ko­nu vy­ja­dřu­jí­cí pře­dek au­to­bu­su 🙂
8. o kte­ré se ča­sem do­zví­me, že je Her­mi­tov­ská
9. Prostě blac­kbox 🙂
10. Už jen pro­to, že se tak jme­nu­jí, ale hlav­ně se tak i cho­va­jí 🙂
11. tentokrát tro­chu ji­nou, poz­dě­ji se oprav­du do­sta­nu k od­vo­ze­ní to­ho, proč zrov­na ta­ko­vou 🙂
12. Ve své pod­sta­tě je téměř jed­no, jest­li dá­te do zá­po­ru \(x\) ne­bo \(y\), pro­to­že vý­sle­dek bu­de prak­tic­ky stej­ný — stej­ně ja­ko je jed­no, jest­li udě­lá­te při např. ver­ti­kál­ní po­la­ri­za­ci opač­ně \(y\), pro svět­lo je to jed­no 🙂
13. Či li­do­vě — vše, co je tu­to, přes­ně ne­ní tam­to 😀