Limity

Na­pros­to zá­kald­ní ma­te­ma­tic­kou zna­los­tí jsou li­mi­ty — ať už pro po­cho­pe­ní de­ri­va­cí či in­te­gra­cí, tak čas­to i pro po­cho­pe­ní ně­kte­rých prů­bě­hů funk­cí.

Zápis limity

Li­mi­ta má spe­ci­fic­ký ma­te­ma­tic­ký zá­pis, na­pros­to obec­ně vy­pa­dá např. tak­to:

$$ \lim_{x\to L} f(x) $$

Ten­to zá­pis nám do­slo­va ří­ká „vez­mě­te \(x\) a na­sta­vuj­te mu tak vel­kou hod­no­tu, aby se co nej­blí­že při­blí­ži­la k hod­no­tě \(L\) a sle­duj­te při tom, co funk­ce zá­vis­lá na \(x\) dě­lá.“

Několik příkladů k úplnému pochopení:

$$ \lim_{x\to 0} x = 0$$

To je snad jas­né — po­kud bu­du \(x\) při­bli­žo­vat nu­le, po­tom se… \(x\) bu­de při­bli­žo­vat nu­le 🙂 Při­tvr­dí­me…

$$ \lim_{x\to 0} 15x = 0$$

Zde sa­mo­zřej­mě pla­tí to­též, co vý­še — i kdy­bych to ná­so­bil li­bo­vol­ným re­ál­ným čís­lem, po­řád bu­du mít vý­sle­dek nu­lo­vý. Pro­střed­nic­tvím li­mit však mů­že­me za­pi­so­vat i vý­ra­zy, kte­ré bychom ji­nak v ma­te­ma­ti­ce na­zva­li ja­ko „chyb­né“ či „ne­dá­va­jí­cí smy­sl“. Nu­la za­psa­ná „s plu­sem“ zna­me­ná, že se k do­tyč­né nu­le po­stup­ně při­bli­žu­ji zpra­va, te­dy z klad­něj­ší čás­ti čí­sel­né osy — pro­to plus. U dru­hé­ho zna­mén­ka to pla­tí přes­ně opač­ně.

$$ \lim_{x\to0^+} \frac{1}{x} = \inf­ty $$

$$ \lim_{x\to0^-} \frac{1}{x} = -\inf­ty $$

ne­vlast­ních li­mit[1]to jsou ta­ko­vé, kte­ré ne­ma­jí „nor­mál­ní“ vý­sle­dek mů­že­me tak­to tvr­dit, že vý­sle­dek tzv. ros­te na­de všech­ny me­ze. Po­dob­ně (přes­ně in­verz­ně) to pla­tí i u vlast­ních li­mit v ne­vlast­ním bo­dě:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{1}{x} = 0$$

Limitní aritmetika

Když teď už ví­me, jak fun­gu­jí li­mi­ty, mů­že­me se po­dí­vat na pár pří­kla­dů, kte­ré se v pra­xi čas­to ob­je­vu­jí. Za­čně­me po­ly­no­mem:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{2x^3 – 6x^2-145x + 17}{3x^3 – 2x^2 – 6} $$

Po­kud bychom mě­li ur­čo­vat tře­ba vlast­nos­ti to­ho­to po­ly­no­mu, bu­de­me hle­dat ko­ře­ny rov­ni­ce v či­ta­te­li, ko­ře­ny rov­ni­ce ve jme­no­va­te­li, abychom ome­zi­li dě­le­ní nu­lou a po­dob­ně. Nicmé­ně ta­dy nás za­jí­má je­di­né — jak se bu­de da­ný vý­raz cho­vat, po­kud \(x\) bu­de­me zvět­šo­vat až k ne­ko­neč­nu.

Ny­ní však mu­sí­me udě­lat drob­nou od­boč­ku a uká­zat si pár ele­men­tár­ních zna­los­tí — např. jak se bu­dou cho­vat růz­né po­mě­ry a zlom­ky li­mit­ně:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{1}{x} = 0$$

To už zná­me. Nicmé­ně po­kud zde bu­de ta­ko­vý­to po­měr?

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x}{x} = ?$$

Ví­me, že dě­lit nu­lu nu­lou, stej­ně ja­ko ne­ko­neč­no ne­ko­neč­něm (což je vlast­ně to­též, po­kud mlu­ví­me o li­mi­tách), je troš­ku ne­ko­šer, co se ma­te­ma­ti­ky tý­če. Ale hleď­te! Zde se ře­ší li­mi­ty, zde nám vě­ci, ja­ko že bu­de mít po­ly­nom ve jme­no­va­te­li nu­lu, vlast­ně ne­va­dí! Mů­že­me te­dy do­tyč­ný zlo­mek s klid­ným svě­do­mím zkrá­tit a vy­jde:

 $$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x}{x} = \lim_{x\to \inf­ty} \frac{1}{1} = 1$$

Vy­řa­di­li jsme tím „ze hry“ te­dy ja­ké­ko­liv \(x\) a vý­sle­dek na něm vů­bec ne­zá­vi­sí. A co tře­ba ná­sle­du­jí­cí?

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x^n}{x^n} $$

Mů­že­me pros­tě po­krá­tit stej­ně, ja­ko v pří­pa­dě vý­še, vý­sle­dek je te­dy opět jed­nič­ka. Pří­pad­ně mů­že­me roz­lo­žit na :

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x^n}{x^n} = \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x}{x} \frac{x^{n-1}}{x^{n-1}} $$

a tak­to to ře­šit do ne­ko­neč­na 😉 S stej­ně tak lo­gic­ky od­vo­dí­me, že:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{nx}{mx}$$

bu­de rov­no \(\frac{n}{m}\) — pro­to­že „co­ko­liv“ krát jed­na je „co­ko­liv“ 😉

Zkus­me ny­ní dal­ší pří­pad:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x^2}{x} = ?$$

V ma­te­ma­ti­ce (ono i ve fy­zi­ce, ale v ma­te­ma­ti­ce ob­zvlášť) pla­tí, že po­kud ne­zná­te ře­še­ní kom­plex­ní­ho pro­blé­mu, de­kom­po­nuj­te ho na řa­du „men­ších“ pro­blé­mů, kte­ré ne­zá­vis­le ře­šit umí­te. Což mů­že­me udě­lat i zde. Vý­še uve­de­né te­dy mů­že­me pře­psat ja­ko sou­čin:

$$\lim_{x\to \inf­ty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x\to \inf­ty} x \frac{x}{x}$$

Dru­hý zlo­mek už ře­šit umí­me, to ví­me, že je \(1\), tak­že:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x\to \inf­ty} x = \inf­ty$$

Vi­dí­me te­dy, že po­kud je v či­ta­te­li vyš­ší moc­ni­na než ve jme­no­va­te­li, zlo­mek vy­stře­lí do ne­ko­neč­ných vý­šin. A co po­kud je to opač­ně? Sa­mo­zřej­mě už správ­ně tu­ší­te:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x\to \inf­ty} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} = \lim_{x\to \inf­ty} \frac{1}{x} = 0$$

Je to pros­té! 🙂 Vrať­me se ny­ní te­dy k na­še­mu pů­vod­ní­mu pří­kla­du:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{2x^3 – 6x^2-145x + 17}{3x^3 – 2x^2 – 6} $$

A ro­ze­piš­me si zlo­mek na 3 zlom­ky:

$$ \lim_{x\to \inf­ty} \frac{2x^3 – 6x^2-145x + 17}{3x^3 – 2x^2 – 6} = $$

$$ = \lim_{x\to \inf­ty} \frac{2x^3}{3x^3 – 2x^2 – 6}  + \lim_{x\to \inf­ty} \frac{ – 6x^2}{3x^3 – 2x^2 – 6} + \lim_{x\to \inf­ty} \frac{-145x}{3x^3 – 2x^2 – 6} +\lim_{x\to \inf­ty} \frac{17}{3x^3 – 2x^2 – 6} $$

Když se ny­ní po­dí­vá­me na po­sled­ní tři li­mi­ty, už vi­dí­me, kam smě­řu­jí — řek­li jsme, že po­kud je moc­ni­na či­ta­te­le men­ší než jme­no­va­te­le, zlo­mek bu­de li­mi­to­vat k nu­le. Mů­že­me te­dy vel­mi snad­no všech­ny ty­to tři li­mi­ty po­lo­žit rov­ny nu­le a zby­de tak pou­ze zlo­mek se stej­nou moc­ni­nou.

A co jsme si dá­le uká­za­li — že li­mi­ta \(\frac{x^n}{x^n}\) je rov­na jed­né! Či­li rov­nou krás­ně vi­dí­me, že vý­sle­dek li­mi­ty bu­de \(\frac{2}{3}\).

Zajímavé poměry

U po­ly­no­mu je te­dy snad už jas­né, nicmé­ně pojď­me se po­dí­vat na dal­ší „moc hez­ké“ li­mi­ty. Na­pří­klad ta­to:

$$ \lim_{x\to0} \frac{\sin(x)}{x}$$

Podíváme-li se na graf ta­ko­vé funk­ce, vi­dí­me (chce­me vi­dět), že li­mi­ta bu­de rov­ná jed­nič­ce. Gra­fic­ky te­dy mů­že­me to­to tvr­dit, nicmé­ně, jak to do­o­prav­dy spo­čí­tat?

Na po­moc si vez­me­me tzv. L’Hospitalovo pra­vi­dlo, te­dy pra­vi­dlo, kte­ré ří­ká ná­sle­du­jí­cí:

$$ \lim_{x\to0}\frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \lim_{x\to0}\frac{f_1^\prime(x)}{f_2^\prime(x)}$$

Te­dy že li­mi­ta po­mě­ru funk­cí je li­mi­tou po­mě­ru de­ri­va­cí těch­to funk­cí. O de­ri­va­cích si mů­že­te pře­číst v člán­ku o ki­ne­ma­ti­ce, zde te­dy po­u­ži­ji pou­ze rych­lou de­ri­va­ci:

$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)^\prime}{x^\prime} = \lim_{x\to0}\frac{\cos(x)}{1}$$

A to už je sna­né — budeme-li do \(\cos(x)\) za \(x\) do­sa­zo­vat nu­lu, bu­de se co­si­nus blí­žit k jed­nič­ce. Ve jme­no­va­te­li má­me jed­nič­ku — vý­sled­ný po­měr je te­dy jed­nič­ka 🙂

Poznámky pod čarou   [ + ]

1. to jsou ta­ko­vé, kte­ré ne­ma­jí „nor­mál­ní“ vý­sle­dek

1 komentář u „Limity

Komentáře nejsou povoleny.