Výška hladiny po vložení kostky ledu do vody

Ten­to pří­klad je vel­mi jed­no­du­chý, nicmé­ně sto­jí za uve­de­ní:

Za­dá­ní (pře­ko­pí­ro­va­né z Fa­ce­boo­ku zní): V ná­do­bě o pod­sta­vě s hra­na­mi 10 cm a 15 cm je přes­ně 1 li­tr vo­dy v ka­pal­ném sta­vu. Do ka­pa­li­ny je vho­ze­na krych­le vod­ní­ho le­du o hra­ně 4 cm. Ja­ká bu­de výš­ka hla­di­ny ihned po­tom, co se hla­di­na po vho­ze­ní le­do­vé kost­ky ustá­lí? Ja­ká bu­de výš­ka hla­di­ny po­tom, co se kost­ka roz­pus­tí? Pro jed­no­du­chost před­po­klá­dej­me hus­to­tu ka­pal­né vo­dy \(1 \frac{g}{cm^3}\) a le­du \(\frac{9}{10} \frac{g}{cm^3}\), a žád­né zá­vis­los­ti ob­je­mu na tep­lo­tě.

Ví­me, že ob­jem bu­de te­dy:

$$V = a b v$$

kde \(v\) od­po­ví­dá výš­ce. Z to­ho snad­no ur­čí­me:

$$v = \frac{V}{ab}$$

Ny­ní mu­sí­me zjis­tit vliv vlo­že­né kost­ky. Ob­jem ta­ko­vé kost­ky je:

$$V = 4^3$$

Pod­le Ar­chi­mé­do­va zá­ko­na bu­de pla­vat a vy­tla­čí množ­ství vo­dy v po­mě­ru hus­tot, te­dy vy­tla­čí:

$$V_{vytlaceno}=V_{led} \frac{\rho_{led}}{\rho_{voda}}$$

Te­dy vý­sled­ná výš­ka bu­de:

$$v = \frac{V_{vytlaceno}+V}{ab}$$

Do­sa­dí­me te­dy:

$$v = \frac{V_{led} \frac{\rho_{led}}{\rho_{voda}}+V}{ab}=\frac{4^3\frac{9}{10}+1000}{10 \cdot 15} = 7,051\ \mathrm{cm}$$

Před vy­tla­če­ním te­dy ne­byl ob­jem s le­dem:

$$v = \frac{V}{ab}=\frac{1000}{10 \cdot 15} = 6,667\ \mathrm{cm}$$

Roz­díl je te­dy ne­ce­lé \(4\ \mathrm{mm}\).

UPDATE: Jsem si vši­ml, že jsem za­dá­ní špat­ně opsal (ce­lý já), zá­klad­na je čtver­co­vá o hra­ně 10 cm — nicmé­ně to ne­ní pro­blém, to se snad­no do­sa­dí do vznik­nuvších vzta­hů a vy­jdou výš­ky \(10,576\ \mathrm{cm}\) a \(10\ \mathrm{cm}\), te­dy roz­díl zr­hu­ba ne­ce­lých 6 mi­li­me­t­rů 😉

UPDATE 2: Za­po­mněl jsem ješ­tě na část ře­še­ní — jak se změ­ní hla­di­na po­té, co se led roz­pus­tí. Lo­gic­ky — ne­změ­ní, hmot­nost le­du a hmot­nost vo­dy po roz­puš­tě­ní kost­ky bu­de stej­ná, te­dy vy­tla­čí se stej­né množ­ství.